Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์มัธยมศึกษา > ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 18 ตุลาคม 2008, 18:32
B บ ....'s Avatar
B บ .... B บ .... ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 13 ตุลาคม 2008
ข้อความ: 251
B บ .... is on a distinguished road
Default พิสูจน์ ( a,b ) = ( a+b, [a ,b] )

ช่วยพิสูจน์ ว่า ( a,b ) = ( a+b, [a ,b] ) ให้ดูทีครับ
ขอบคุณณ ครับบบบ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 18 ตุลาคม 2008, 23:22
POSN_Psychoror's Avatar
POSN_Psychoror POSN_Psychoror ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 08 ตุลาคม 2008
ข้อความ: 84
POSN_Psychoror is on a distinguished road
Default

ให้ $d=(a,b)$
จะได้ว่า $(\frac{a}{d},\frac{b}{d})=1$
นั่นคือ $(\frac{a+b}{d},\frac{a}{d})=1$ และ $(\frac{a+b}{d},\frac{b}{d})=1$
จะได้ว่า $(\frac{a+b}{d},\frac{ab}{d^2})=1$
นั่นคือ $(a+b,\frac{ab}{d})=d$
แต่ $\frac{ab}{(a,b)}=[a,b]$
ดังนั้น $(a,b)=(a+b,[a,b])$ ตามต้องการ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 18 ตุลาคม 2008, 23:54
Ai-Ko Ai-Ko ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 17 กันยายน 2008
ข้อความ: 40
Ai-Ko is on a distinguished road
Default

สวัสดีเจ้าค่ะ...

หนึ่งในเทคนิคของการพิสูจน์ว่าจำนวนเต็มบวกสองจำนวนเท่ากันก็คือการพิสูจน์ว่าตัวนึงสามารถหารอีกตัวลงตัว และกลับกันได้เจ้าค่ะ ในที่นี้เราจะแสดงว่า
1. $(a,b) | (a+b,[a, b])$
2. $(a+b, [a,b]) | (a,b)$

สำหรับ 1. นั้นเราให้ $d = (a,b)$ จะได้ว่า $d|a$ และ $d|b$
นั่นคือ $d|a+b$ และเพราะว่า $a|[a,b]$ จะได้ว่า $d|[a,b]$ ด้วย จึงสรุปได้ว่า $d|(a+b,[a,b])$

สำหรับ 2. เราให้ $d' = (a+b,[a,b])$ จะได้ว่า $d'|a+b$ และ $d'|[a,b]$
สมมติว่า $d' \not| a$ และ $d'\not| b$ จะได้ว่าต้องมีจำนวนเฉพาะ $p$ ที่กำลังของ $p$ ใน $d'$ มีค่ามากกว่ากำลังใน $a$ และกำลังใน $b$
นั่นคือถ้าให้กำลังสูงสุดของ $p$ ใน $d', a, b$ เป็น $e_p(d'), e_p(a), e_p(b)$ แล้วจะได้ว่า $e_p(d') > e_p(a)$ และ $e_p > e_p(b)$
หรือว่า
$$e_p(d') > max\left\{\,e_p(a),e_p(b)\right\}$$
นั่นเองเจ้าค่ะ แต่การที่ $d'|[a,b]$ ย่อมแปลว่า $e_p(d') \leqslant max\left\{\,e_p(a),e_p(b)\right\}$ จึงเกิดข้อขัดแย้ง
จึงได้ว่า $d'|a$ หรือ $d'|b$ และเมื่อประกอบกับที่ $d'|a+b$ จะได้ว่า
$$d'|a, d'|b$$
จึงได้ว่า $d'|(a,b)$ ตามต้องการเจ้าค่ะ
__________________
Behind every beautiful proof lies a mountain of trash-turned calculation notes.

ไปเยี่ยมกันได้ที่ต่างๆ ต่อไปนี้นะเจ้าคะ
blog ดนตรีโดจิน: http://aiko-no-heya.exteen.com
"กลุ่มศึกษาดนตรีโดจิน": http://www.facebook.com/doujinmusiclife
"เส้นทางสู่โตได (วิชาเลข)": http://www.facebook.com/roadtotodai
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 03:17


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha