เฉลยหนังสือ สอวน."อสมการและสมการเชิงฟังก์ชัน" (ส่วนที่ 2 สมการเชิงฟังก์ชัน)

[nooonuii]

โจทย์พวกนี้ใช้ trick เดียวกันหมดคือ แทนค่าตัวแปรโดย $g(x),g^2(x),g^3(x),...$

ซึ่ง $g(x)$ จะเป็น periodic 1-1 function เมื่อแทนค่าไปจนครบคาบสมการจะวนกลับมาที่เดิม

ที่เหลือก็แก้ระบบสมการออกมาครับ

ลองทำข้อง่ายข้อ $12$ ให้ดูละกัน

ให้ $g(x)=\dfrac{1}{1-x}$

จะได้ $g^2(x)=1-\dfrac{1}{x}$

$g^3(x)=x$

สมการเขียนได้ในรูป

$f(x)+f\circ g(x)=x$______(1)

แทนค่า $x=g(x),g^2(x)$ จะได้อีกสองสมการ

$f\circ g(x)+f\circ g^2(x)=g(x)$__________(2)

$f\circ g^2(x)+f(x)=g^2(x)$_____________(3)

แืทนค่า $f\circ g(x)=x-f(x)$ จาก (1) ลงไปใน (2) ได้

$x-f(x)+f\circ g^2(x)=g(x)$

$f\circ g^2(x)=f(x)+g(x)-x$

แทนค่ากลับไปใน (3) ได้

$f(x)+g(x)-x+f(x)=g^2(x)$

$f(x)=\dfrac{1}{2}\Big(x-g(x)+g^2(x)\Big)$

$=\dfrac{x^3-x+1}{2x(x-1)}$

[-Math-Sci-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

เล่นขุดกันขึ้นมาแบบนี้ เห็นทีคงต้องใช้เวลาครับ ถ้าหากสงสัยว่าผมทำผิด ก็ให้ถือว่าผิดไปเลยครับ ลองเอาคำตอบที่คุณได้ check กลับไปดูครับ ถ้าถูกก็คือถูกนั่นแหละ ผมเองก็ยอบรับว่าทำไปเเค่รอบเดียวพวกเปลี่ยน 1-1 ยังไม่ได้ลอง check ดูครับว่าสอดคล้องจริง

ส่วนข้อที่ถามมาอันนั้นจำได้ว่าทำไปตามปกติแหละครับ ไม่ได้ซับซ้อนอะไร (ทำแบบเดิมกำจัดให้เหลือแต่ $f(x)$) เเล้วก็ตรงคำตอบที่ผมได้ ผมจำได้ว่า check คำตอบเรียบร้อยเเล้วครับ

ขอบคุณครับ จะลองทำอีกทีครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

โจทย์พวกนี้ใช้ trick เดียวกันหมดคือ แทนค่าตัวแปรโดย $g(x),g^2(x),g^3(x),...$

ซึ่ง $g(x)$ จะเป็น periodic 1-1 function เมื่อแทนค่าไปจนครบคาบสมการจะวนกลับมาที่เดิม

ที่เหลือก็แก้ระบบสมการออกมาครับ

ลองทำข้อง่ายข้อ $12$ ให้ดูละกัน

ให้ $g(x)=\dfrac{1}{1-x}$

จะได้ $g^2(x)=1-\dfrac{1}{x}$

$g^3(x)=x$

สมการเขียนได้ในรูป

$f(x)+f\circ g(x)=x$______(1)

แทนค่า $x=g(x),g^2(x)$ จะได้อีกสองสมการ

$f\circ g(x)+f\circ g^2(x)=g(x)$__________(2)

$f\circ g^2(x)+f(x)=g^2(x)$_____________(3)

แืทนค่า $f\circ g(x)=x-f(x)$ จาก (1) ลงไปใน (2) ได้

$x-f(x)+f\circ g^2(x)=g(x)$

$f\circ g^2(x)=f(x)+g(x)-x$

แทนค่ากลับไปใน (3) ได้

$f(x)+g(x)-x+f(x)=g^2(x)$

$f(x)=\dfrac{1}{2}\Big(x-g(x)+g^2(x)\Big)$

$=\dfrac{x^3-x+1}{2x(x-1)}$

ได้เท่านี้แหละครับ ขอบคุณครับ พี่ nooonuii

edit :: เอ่อ วิธีนี้ ใช้ยังไงอ่ะครับ ไม่ค่อยเข้าใจ

$g^2(x)=1-\dfrac{1}{x}$ หมายถึง g(x) * g(x) รึเปล่าครับ ??

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -Math-Sci-

ได้เท่านี้แหละครับ ขอบคุณครับ พี่ nooonuii

edit :: เอ่อ วิธีนี้ ใช้ยังไงอ่ะครับ ไม่ค่อยเข้าใจ

$g^2(x)=1-\dfrac{1}{x}$ หมายถึง g(x) * g(x) รึเปล่าครับ ??

$g^2(x)=g\circ g(x)$ ครับ

[-Math-Sci-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

$g^2(x)=g\circ g(x)$ ครับ

ดูยังไงว่าใช้ วิธีนี้ได้เสมอ อ่ะครับ พี่ nooonuii

แนะนำให้ด้วยครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -Math-Sci-

ดูยังไงว่าใช้ วิธีนี้ได้เสมอ อ่ะครับ พี่ nooonuii

แนะนำให้ด้วยครับ

ส่วนใหญ่จะมีฟังก์ชันคาบโผล่มาในสมการครับ

ลองสังเกตดูนะครับว่าในโจทย์หลายข้อเลยจะมีฟังก์ชันคาบปรากฎอยู่

6. $g(x)=1-x$

10. $g(x)=\dfrac{x}{x-1}$

11. $g(x)=-x$

12. $g(x)=\dfrac{1}{1-x}$

13. $g(x)=\dfrac{1}{x}$

15. $g(x)=\dfrac{x-3}{x+1}$

17. $g(x)=2-x$

รูปแบบทั่วไปของฟังก์ชันเหล่านี้คือ $g(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d},ad-bc\neq 0$

เรียกชื่อเท่ห์ๆว่า linear fractional transformation หรือ Mobius transformation ครับ

ฟังก์ชันพวกนี้บางครั้งก็ไม่เป็นฟังก์ชันคาบ แต่โจทย์ส่วนใหญ่จะเลือกที่เป็นฟังก์ชันคาบ ไม่เช่นนั้นจะหาคำตอบได้ยาก

ตอนแก้สมการ ถ้าจับจุดได้แล้วอาจจะ drop ตัวแปร $x$ ทิ้งไปเลยก็ได้ แล้วก็หันมาแก้สมการ(เชิงฟังก์ชัน)แทน

เช่นในข้อ $12$ อาจจะเขียนสมการเป็น

$f+f\circ g=I$ เมื่อ $I$ เป็นฟังก์ชันเอกลักษณ์

จากนั้นก็สร้างอีกสองสมการโดยการ composite ด้วย $g,g\circ g$ (อาจจะต้องระวังเรื่องการเข้าทำนิดนึง เพราะ composition มันสลับที่ไม่ได้)

$f\circ g+f\circ g^2=I\circ g$

$f\circ g^2+f\circ g^3=I\circ g^2$

ทำไมสร้างแค่สองสมการถึงพอ? เพราะเรารู้ว่า $g\circ g\circ g =I$ ครับ ถ้าสร้างต่อไปก็จะได้สมการเดิม

เมื่อแก้สมการจะได้คำตอบในรูป $f=\dfrac{1}{2}(I-g+g^2)$

คราวนี้น่าจะพอมองเห็นภาพแล้วนะครับว่าทำไมเราถึงเรียกสมการพวกนี้ว่า สมการเชิงฟังก์ชัน