Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ข้อสอบโอลิมปิก
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #46  
Old 01 พฤษภาคม 2010, 06:42
Switchgear's Avatar
Switchgear Switchgear ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 มกราคม 2006
ข้อความ: 472
Switchgear is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง View Post
ไม่ใช่ คุณ Switchgear แสดงความเห็นได้มั้ยครับ ถ้าได้ค่อยอ่านบรรทัดต่อไป ถ้าไม่ได้ขออภัยครับ

เพียงแค่มาบอกว่าข้อมูลที่ให้มาครบแล้วครับ ลืมข้อมูลที่ว่า AB แบ่งครึ่งและตั้งฉากกับ XO หรือเปล่าครับ
ยิ่งมาร่วมโพสต์เยอะ ก็ยิ่งดีซิครับ ผมเองก็ตอบไม่ได้ทุกอย่าง แต่ยินดีร่วมแชร์ความเห็น :-)
คนที่เข้ามาแชร์ใน MathCenter เก่งๆ เยอะมาก ผมถึงอยากติดตามอ่านเสมอ ...

แม้แต่ข้อที่มีคนอื่นเฉลยแล้ว หากใครมีแนวคิดอื่นก็น่าจะโพสต์เพิ่มเติมอีก
สำนวนการเมืองปัจจุบัน ก็ต้องบอกว่า "แตกต่างได้ แต่ไม่แตกแยก" :-)
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #47  
Old 06 สิงหาคม 2010, 00:52
Onasdi's Avatar
Onasdi Onasdi ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 พฤษภาคม 2005
ข้อความ: 759
Onasdi is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Switchgear View Post
ข้อ 17. กำหนดลำดับฟิโบนักชี (Finbonacci) $F_1, F_2, F_3, ?$ โดยที่ $F_1 = F_2 = 1$ และ $F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$
เมื่อ $n \geqslant 2\;$ ให้ $X = \{n | 1 \leqslant n \leqslant 1000$ และ $13$ เป็นตัวประกอบของ $Fn \}$ จงหา $|X|$

เฉลยวิธีทำ: (อาศัยทฤษฎีบทที่แน่นอน)

อาศัยทฤษฎีบทที่ว่า ?สำหรับจำนวนเฉพาะ p ใดๆ, มีจำนวนฟิโบนักชีนับอนันต์ ที่สามารถหารด้วย p ลงตัว
และจำนวนทั้งหมดอยู่ห่างเท่าๆ กันในลำดับฟิโบนักชี (For any prime p, there are infinitely many
Fibonacci numbers that are divisible by p and these are all equally spaced in the
Fibonacci sequence)? ซึ่งผมอ้างอิงจากหน้า 287 ในหนังสือ Elementary Number Thoery,
David M. Burton, sixth edition, 2007. (มีบทพิสูจน์สมบูรณ์ในเล่มดังกล่าวด้วย)

ดังนั้นสิ่งที่เราต้องหา ก็คือ ลำดับของจำนวนฟิโบนักชีตัวแรกสุดที่หารด้วย $13$ ลงตัว ซึ่งเราพบว่า $7$ ตัวแรก
ของลำดับฟิโบนักชีมีดังนี้ $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13$ นั่นคือลำดับที่ $7$ หารด้วย $13$ ลงตัว แปลว่า ทุกตัวที่อยู่
ในลำดับซึ่งเป็นพหุคูณของ $7$ ย่อมหารด้วย $13$ ลงตัวด้วย

เนื่องจาก $1000 = 7 \times 142 + 6$ จึงมีจำนวนฟิโบนักชีอยู่ $142$ ตัวที่หารด้วย $13$ ลงตัวในช่วง
$1 \leqslant n \leqslant 1000$ ตามเงื่อนไขในโจทย์ นั่นคือ $|X| = 142$ เป็นคำตอบที่ต้องการ

หมายเหตุ: ข้อนี้หากไม่อ้างหรือไม่รู้ทฤษฎีบท ก็ไม่มีทางมั่นใจได้ว่าทุกๆ 7 ลำดับจะหารด้วย 13 ลงตัวหรือไม่
ต่อให้เราทดลองบวกไปถึงลำดับที่ 21 แล้วหาร 13 ลงตัว ก็ไม่ได้แปลว่าลำดับที่ 28 จะหารด้วย 13 ลงตัว
ดังนั้น ทฤษฎีบทดังกล่าวจึงจำเป็นและเพียงพอ
ขออนุญาตนำเสนอวิธีที่ไม่ใช้ทฤษฎีบท จริงๆแล้วก็อาจจะเป็นไอเดียการพิสูจน์ทฤษฎีบทนั้นก็ได้ครับ

พิจารณาลำดับ $F_n$ mod $13$
$1, 1, 2, 3, 5, 8, 0, 8, 8, ...$

เมื่อเกิด $0$ ขึ้นหลัง $x$ ซึ่ง $x\not= 0$ จะได้
$..., x, 0, x, x, 2x, 3x, 5x, 8x, 13x, ...$
ซึ่ง $13x$ คือ $0$ ใน mod $13$ นั่นเอง

ดังนั้นจะเกิด $0$ ขึ้นทุกๆ $7$ ตัว
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
ข้อสอบ สสวท. ป.3 2552 สดๆ คusักคณิm ข้อสอบในโรงเรียน ประถมต้น 9 18 ตุลาคม 2010 19:52
ร่วมเฉลยปัญหามุมนักคิดใน pratabong -SIL- ข้อสอบโอลิมปิก 45 28 สิงหาคม 2010 18:53
ข้อสอบ สสวท. ป.3 2552 สดๆ คusักคณิm ข้อสอบในโรงเรียน ประถมต้น 16 28 ธันวาคม 2009 12:13
เฉลย สสวท.2552 จากเวบ สสวท. kabinary ข้อสอบในโรงเรียน ประถมปลาย 4 19 พฤศจิกายน 2009 19:07
ปัญหาใน pratabong -InnoXenT- ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย 1 12 เมษายน 2009 12:20

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 03:47


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha