โจทย์แคลครับลองทำดู

[Beta]

1 จงหาฟังก์ชันกำลังสาม f(x)ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้
(1)เมื่อหารด้วย $ (x-2)^2 $ แล้วเหลือเศษ 2x+1
(2)มีค่าสุดขีดสัมพัทธ์เท่ากับ2 ที่ x=1

2 กำหนดเส้นตรง y=ax+b ผ่านจุด (1,2) จงหาค่าของ aและb ที่ทำให้อินทิกรัลจำกัดเขต $ \int_{-1}^{1}(ax+b)^2\,dx $ มีค่าต่ำสุด

3 จงหาช่วงของค่า a ที่ทำให้สมการ $ x^3-3a^2x+2 $ มีรากจริงที่ต่างกัน3ราก

[แมวสามสี]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beta

1 จงหาฟังก์ชันกำลังสาม f(x)ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้
(1)เมื่อหารด้วย $ (x-2)^2 $ แล้วเหลือเศษ 2x+1
(2)มีค่าสุดขีดสัมพัทธ์เท่ากับ2 ที่ x=1

เมื่อ $f(x)$ หารด้วย $ (x-2)^2 $ แล้วเหลือเศษ $2x+1$

ดังนั้นกำหนดให้ $f(x) = (ax + b)(x-2)^2 + 2x + 1$

$f '(x) = (ax + b)(2)(x-2) + a(x-2)^2 + 2$

มีค่าสุดขีดสัมพัทธ์เท่ากับ2 ที่ x=1 แสดงว่า $f(1) = 2 $ และ $f '(1) = 0 $

จาก $f(1) = 2 $

$(a + b)(-1)^2 + 2 + 1 = 2$

$a + b = -1$.........................(1)

และจาก $f '(1) = 0 $

$(a + b)(2)(-1) + a(-1)^2 + 2 = 0 $

$-2(a + b) + a + 2 = 0 $..........(2)

แทนค่า $a + b = -1$ ลงใน (2) ได้

$a = -4 $ และจะได้ $ b = 3 $

ดังนั้น $f(x) = (-4x + 3)(x-2)^2 + 2x + 1$

[แมวสามสี]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beta

2 กำหนดเส้นตรง y=ax+b ผ่านจุด (1,2) จงหาค่าของ aและb ที่ทำให้อินทิกรัลจำกัดเขต $ \int_{-1}^{1}(ax+b)^2\,dx $ มีค่าต่ำสุด

เส้นตรง$ y=ax+b $ผ่านจุด (1,2) ได้ $a+b = 2$

$\int_{-1}^{1}(ax+b)^2\,dx = \frac{1}{3a}(ax+b)^3\left.\,\right| ^1_{-1}$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad= \frac{(a+b)^3}{3a}\quad-\quad \frac{(-a+b)^3}{3a}\quad;$ แทนค่า$a+b = 2$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad= \frac{(2)^3}{3a}\quad-\quad \frac{(2-2a)^3}{3a}$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=\frac{1}{3}(4a^2-12a+12)$

จะได้ $f(a) = \frac{1}{3}(4a^2-12a+12)$

$f'(a) = \frac{1}{3}(8a-12)$

$8a-12\quad=\quad0$

ได้ $ a = \frac{3}{2},b =\frac{1}{2} $

จาก $f''(a) = \frac{8}{3}$ ซึ่งมากกว่าศูนย์

ดังนั้น$ a = \frac{3}{2}$ และ $b =\frac{1}{2} $ทำให้ $ \int_{-1}^{1}(ax+b)^2\,dx $ มีค่าต่ำสุด