Algebraic Number Field

[Spidamath]

ช่วยผมแก้ปัญหาหน่อยคับ
1. Let $K=Q(\theta )$, where $\theta$ is a root of the polynomial $x^3-18x-6=0$.
2. Let $K=Q(\theta )$, where $\theta$ is a root of the polynomial $x^3-35x-78=0$.
Show that in two cases, $\{1,\theta ,\theta ^2\}$ is an integral basis, and $\Delta K=22356.$

$\Delta K$ คือ discriminant of the set $K$ ครับ

[Spidamath]

ผมแก้ข้อ1. ได้แล้วครับ ใช้ Eisenstein criterion ช่วยแก้ ตอนนี้เหลือข้อ2. ติดตรงที่ $x^3-35x-78$ เป็น irreducible polynomial
ช่วยพิสูจน์หน่อยครับว่า $x^3-35x-78$ เป็น p-Eisenstein polynomial และ p เท่ากับเท่าไหร่ครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Spidamath

ผมแก้ข้อ1. ได้แล้วครับ ใช้ Eisenstein criterion ช่วยแก้ ตอนนี้เหลือข้อ2. ติดตรงที่ $x^3-35x-78$ เป็น irreducible polynomial
ช่วยพิสูจน์หน่อยครับว่า $x^3-35x-78$ เป็น p-Eisenstein polynomial และ p เท่ากับเท่าไหร่ครับ

พิสูจน์โดยใช้วิธีเช็คทางตรงก็ได้ครับ

เพราะ reducible polynomial degree 3 จะต้องมี linear factor

เพราะฉะนั้นใช้ Rational Root Test ก็ได้แล้ว

[Spidamath]

ขอบคุณครับ