[พิสูจน์เรื่อง Subgroup/Coset] ขอความช่วยเหลือด้วยครับ

[bechamp]

Let G be a group, H < G, K < G and a, b in G
Prove that
1. Ha = Kb if and only if H = K(ba^-1) if and only if K = H(ab^-1)
2. if Ha = Kb, then H = K

ช่วยพิสูจน์หน่อยครับ
ขอบคุณครับ

[nooonuii]

ถ้ายังไม่ลืมจะกลับมาตอบครับ

[bechamp]

ขอบคุณมากครับ

[Lekkoksung]

1. เห็นชัดครับ เพียงแค่นำ $a^{-1}$ กระทำทั้งสองข้าง และนำ $b^{-1}$ กระทำทั้งสองด้านครับ

Let $x \in H$. Then
$x=xaa^{-1}=(xa)a^{-1} \in (Ha)a^{-1}=(Kb)a^{-1}=K(ba^{-1})$.

Let $y \in K(ba^{-1})$. Then $y=kba^{-1}$ for some $k \in K$.
Thus $y=kba^{-1} \in K(ba^{-1}) =(Kb)a^{-1}=Haa^{-1}=H$. Hence $y \in H$.

ลักษณะอย่างนี้ครับ

[nooonuii]

ถ้าได้ข้อ $1$ ข้อ $2$ ก็ง่ายแล้วครับ

$Ha=Kb\Leftrightarrow H=Kba^{-1}$

ให้ $e$ เป็นสมาชิกเอกลักษณ์ใน $G$

เนื่องจาก $e\in H=Kba^{-1}$ จะได้ว่ามีสมาชิก $k\in K$ ซึ่งทำให้

$e=kba^{-1}\Rightarrow ba^{-1}=k^{-1}\in K$

ดังนั้น $H=Kba^{-1}=K$

[bechamp]

ขอบคุณ คุณ nooonuii และ คุณ Lekkoksung มาก ๆ ครับ