รากของสมการพหุนาม

[konkoonJAi]

ให้ $p(x)$ เป็นพหุนามดีกรี $n$ มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ และ $a,b$ เป็นจำนวนตรรกยะ ที่ $\sqrt{b}$ เป็นจำนวนอตรรกยะ จงแสดงว่า ถ้า $a+ \sqrt{b}$ เป็นรากของ p(x) แล้ว $a- \sqrt{b}$ จะเป็นรากของ $p(x)$ ด้วย
รบกวนช่วยพิสูจน์หน่อยนะคะ คิดไม่ออกเลยค่ะ

[M@gpie]

ลองดูวิธีผมก็แล้วกันนะครับ (มีที่ผิด)

พิสูจน์ : ให้ $p(x)$ เป็นพหุนามดีกรี $n$ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ ที่มี $a+\sqrt{b}$ เป็นรากของสมการ จะได้ว่า $p(a+\sqrt{b})=0$
ต่อไปสมมติว่า $a-\sqrt{b}$ ไม่เป็นรากของ $p(x)$ โดยทฤษฎีบทตัวประกอบจะได้ว่ามีพหุนาม $q(x)$ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะซึ่งไม่มี $a-\sqrt{b}$ เป็นรากและสามารถเขียน $p(x)$ ได้ในรูป
\[ p(x)=(x-(a+\sqrt{b}))q(x)\]
ถ้าเราคูณกระจายออกมาจะพบว่า $p(x)$ มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนอตรรกยะ ซึ่งขัดแย้ง แสดงว่า $p(x)$ ต้องมี $a-\sqrt{b}$ เป็นราก รากหนึ่ง

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ M@gpie

ลองดูวิธีผมก็แล้วกันนะครับ

โดยทฤษฎีบทตัวประกอบจะได้ว่ามีพหุนาม $q(x)$ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ

ถ้าจะใช้ทฤษฎีบทตัวประกอบ รากจะต้องเป็นจำนวนตรรกยะนะครับ
ในกรณีนี้รากเป็นจำนวนอตรรกยะเราจึงสรุปได้แค่ว่า $Q(x)$ มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงครับ

My Solution:

โดยขั้นตอนวิธีการหารพหุนามใน $\mathbb{Q}[x]$ เราจะได้
$$P(x)=(x^2-2ax+a^2-b)Q(x)+cx+d;c,d\in\mathbb{Q}$$
แทนค่า $x=a+\sqrt{b}$ ในสมการข้างบนจะได้
$$c(a+\sqrt{b})+d=0$$
สมมติว่า $c\neq 0$ เราจะได้ $\sqrt{b}=-a-\dfrac{d}{c}$ เป็นจำนวนตรรกยะซึ่งขัดแย้ง
ดังนั้น $c=0$ ซึ่งจะได้ $d=0$ ด้วย
ดังนั้น $a-\sqrt{b}$ เป็นรากของ $P(x)$

[M@gpie]

โอ้ วิธีผมมีที่สรุปผิด ขอบคุณพี่ Noonuii ที่ชี้แนะครับ

[konkoonJAi]

เป็นเทคนิคการพิสูจน์ที่ยอดเยี่ยมมากค่ะ แบบนี้คงเป็นการยากที่ข้าพเจ้าจะคิดเองได้
ขอบคุณมากนะคะ

[konkoonJAi]

ถ้าไม่เป้นการรบกวนมากขออีกซักข้อนะคะ
ถ้า $n$ เป็นจำนวนคี่ ที่ 3 หาร $n$ ไม่ลงตัว แล้ว $x^2+x+1 (x+1) | ^n-x^n-1$

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ konkoonJAi

ถ้าไม่เป้นการรบกวนมากขออีกซักข้อนะคะ
ถ้า $n$ เป็นจำนวนคี่ ที่ 3 หาร $n$ ไม่ลงตัว แล้ว $x^2+x+1 (x+1) | ^n-x^n-1$

ลองดูในกระทู้ที่ผมเคยตอบคุณ kanji ไปแล้วนะครับ.

Theory of Equations