[ด่วนๆ]ช่วยโจทย์อินทิเกรตข้อนี้ทีครับ

[artpiggo]

สอบพรุ่งนี้เเล้ว T_T

[★★★☆☆]

เพราะว่า $1/x^2(x^2+1)=1/x^2-1/(x^2+1)$

ดังนั้น

$\int \frac{\arctan(x)}{x^4+x^2}\,dx = \int \frac{\arctan(x)}{x^2}\,dx - \int \frac{\arctan(x)}{x^2+1}\,dx$

ก้อนหลังอินทิเกรตง่าย ๆ โดยเปลี่ยนเป็น d(arctan(x)) จะได้

$-\int \frac{\arctan(x)}{x^2+1}\,dx = -\frac{(\arctan (x))^2}{2}$

สำหรับก้อนแรก ใช้อินทิกรัล by part สมมติให้ $u = \arctan x , dv = dx/x^2$

พอ by part ออกมา จะได้ก้อนหลังเป็น $\int \frac{1}{(x^2+1)x}\,dx$

ซึ่งฟังก์ชันด้านในก็แยกออกเป็นเศษส่วนย่อยได้เป็น $-\frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{x}$ ซึ่งอินทิเกรตได้ง่าย ๆ เป็น $-\frac{1}{2}ln(x^2+1)+ln|x|$

(ตัวแรก เปลี่ยนเป็น $d(x^2+1)$)

ดังนั้นทั้งหมดจะได้

$-\frac{\arctan(x)}{x} - \frac{1}{2}ln(x^2+1) + ln|x| - \frac{(\arctan(x))^2}{2} + C$