2 คำถาม ครับ

[passer-by]

ใครมีไอเดียดีๆ สำหรับ 2 ข้อด้านล่างนี้ ก็ช่วยตอบให้หน่อยนะครับ (หรือจะ hint อย่างเดียวก็ได้ครับ)

1. หาตัวอย่าง $ a_n ,b_n $ ที่มีคุณสมบัติทั้ง 3ข้อด้านล่าง

(i) $ a_n , b_n > 0 $ และเป็น decreasing sequences
(ii) $ \sum a_n , \sum b_n $ เป็น divergent series
(iii) $ \sum min\{a_n,b_n\} $ เป็น convergent series

2. พิสูจน์ว่ามีจำนวนนับ $ n $ ที่ทำให้ $ 0 < \sin n < 10^{-10} $ โดยไม่ใช้แคลคูลัส หรือ taylor series

ขอบคุณล่วงหน้าสำหรับทุกคำตอบ / ความเห็นครับ

[nongtum]

ข้อสองผมคิดว่าน่าจะใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันไซน์ที่มุมขนาดเล็กมากๆได้ เพราะถ้ามี $n$ ที่ว่าจริงจะต้องมีจำนวนเต็ม $k$ ที่ทำให้ $0<n-2k\pi<10^{-10}$ หรือมีจำนวนเต็ม $k'$ ที่ทำให้ $0<(2k'+1)\pi-n<10^{-10}$ (อาศัยวงกลมหนึ่งหน่วยครับ)
ข้อแรกตอนแรกผมก็นึกถึง $(a_n)=(b_n)=1/n$ แต่มันไม่ผ่านเงื่อนไขข้อสาม เลยไม่รู้เหมือนกันครับว่าจะเอาไงต่อดี

[warut]

ขอออกความเห็นดังนี้ครับ

ข้อ 1. ไม่อยากเชื่อว่ามี sequences เช่นนั้นอยู่จริงเลย แต่ผมพยายามพิสูจน์ก็ไม่สำเร็จครับ

ข้อ 2. อาศัยความเป็นอตรรกยะของ $\pi$ และเทคนิคแบบเดียวกับที่ใช้ทำโจทย์ข้อ 16. ใน Number Theory มาราธอน ของคุณ nooonuii น่าจะทำได้นะครับ

ให้ $k$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่ทำให้ $$0< \lceil 2k\pi \rceil - 2k\pi < 10^{-10} $$ เราจะได้ $n= \lceil 2k\pi \rceil $ ที่ทำให้ $$ 2k\pi <n< 2k\pi + 10^{-10} $$ และ $$ 0< \sin n < \sin 10^{-10} < 10^{-10} $$ ตามต้องการครับ

[passer-by]

ขอบคุณมากๆสำหรับทั้ง 2 ความเห็นครับ

สำหรับข้อ 1 ดูเหมือนจะง่ายแต่ผมก็ติดมาเป็นอาทิตย์แล้วครับ โดยข้อนี้ ผมได้มาจาก exercise ใน textbook วิชา Analysis ระดับ ป.ตรี ครับ

[warut]

ผมทราบวิธีทำข้อ 1. แล้วครับ แต่ต้องถามคุณ passer-by ก่อนว่า ที่ว่าเป็น decreasing sequences นี่คือเป็น strictly decreasing ใช่ไหมครับ หรือเป็นแค่ monotonic decreasing ก็ใช้ได้

[passer-by]

strictly decreasing sequence ครับ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ passer-by:
1. หาตัวอย่าง $ a_n ,b_n $ ที่มีคุณสมบัติทั้ง 3ข้อด้านล่าง

(i) $ a_n , b_n > 0 $ และเป็น decreasing sequences
(ii) $ \sum a_n , \sum b_n $ เป็น divergent series
(iii) $ \sum min\{a_n,b_n\} $ เป็น convergent series

ตัวอย่างลำดับต่อไปนี้ ผมสร้างขึ้นโดยได้แนวคิดพื้นฐานมาจากคนอื่นอีกทีนะครับ ลำดับนี้ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปง่ายๆได้ ดังนั้นผมจะเขียนพจน์แรกๆให้ดูก่อนหวังว่าคุณ passer-by คงจะเข้าใจได้ไม่ยากครับ $$ \matrix {a_n & 1 & \frac12 & \frac13 & \frac14 & \frac{1}{5^2} & \frac{1}{6^2} & \cdots & \frac{1}{33^2} & \frac{1}{33^2+1} & \frac{1}{33^2+2} & \cdots & \frac{1}{33^2+1873} & \frac{1}{1907^2} & \cdots \\ b_n & 1 & \frac{1}{2^2} & \frac{1}{3^2} & \frac{1}{4^2} & \frac{1}{17} & \frac{1}{18} & \cdots & \frac{1}{45} & \frac{1}{34^2} & \frac{1}{35^2} & \cdots & \frac{1}{1906^2} & \frac{1}{1906^2+1} & \cdots \\ c_n & 1 & \frac{1}{2^2} & \frac{1}{3^2} & \frac{1}{4^2} & \frac{1}{5^2} & \frac{1}{6^2} & \cdots & \frac{1}{33^2} & \frac{1}{34^2} & \frac{1}{35^2} & \cdots & \frac{1}{1906^2} & \frac{1}{1907^2} & \cdots }$$ ให้สังเกตว่า $$\frac12 + \frac13 + \frac14 > 1$$ $$ \frac{1}{17} + \frac{1}{18} + \cdots + \frac{1}{45} > 1$$ $$ \frac{1}{33^2+1} + \frac{1}{33^2+2} + \cdots + \frac{1}{33^2+1873} >1$$

[passer-by]

ขอบคุณ คุณ warut มากๆครับ

ตอนแรกก็คิดถึง $ c_n $ ตัวเดียวกับคุณ warut เป๊ะเลยครับ แต่นึก $ a_n ,b_n $ ไม่ออก

ส่วนตัวที่มาคั่น นี่ก็ต้องเช็คจากโปรแกรมเอาใช่ไหมครับ ว่า ควรจะบวกถึง $ \frac{1}{4^2+29} $ หรือ $ \frac{1}{33^2+1873} $ ซึ่งเป็นเทอมแรกที่ทำให้ผลบวกเกิน 1

สรุปว่า แนวทางการสร้างก็คือ พยายามทำให้ partial sum ของ $ a_n , b_n $ unbounded นั่นเอง

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ passer-by:
ส่วนตัวที่มาคั่น นี่ก็ต้องเช็คจากโปรแกรมเอาใช่ไหมครับ ว่า ควรจะบวกถึง $ \frac{1}{4^2+29} $ หรือ $ \frac{1}{33^2+1873} $ ซึ่งเป็นเทอมแรกที่ทำให้ผลบวกเกิน 1

ใช่ครับ ถ้าจะไม่ใช้คอมพ์ ก็อาจใช้ความจริงที่ว่า สำหรับทุกจำนวนนับ $k$ $$ \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2} + \cdots + \frac{1}{k+k} \ge \frac12 $$ แทนได้ครับ