\infty =\infty หรือไม่?

[It'S ME]

สง สัย ครับ..

[poper]

ไม่น่าจะเท่านะครับ
จริงๆแล้ว $\infty$ ไม่น่าจะถือว่าเป็นจำนวนมั้งครับ รู้แต่ว่ามันมีค่ามากจนไม่สามารถเขียนออกมาเป็นจำนวนได้
ถ้าผมบอกว่า $\infty+2=\infty$ ถูกมั้ยครับ (ถูก)
แต่ถ้าย้ายข้างสมการจะได้ $\infty-\infty=2$ ถ้าหาก $\infty$ เท่ากันแล้ว $0=2$ ซึ่งไม่เป็นจริง
ดังนัน $\infty\not=\infty$ ครับ

[It'S ME]

รู้ได้ไงครับว่า $\infty$ + 2 = $\infty$
ถ้าพี่ชายท่านนี้บอกว่า $\infty$ + 2 = $\infty$ จริง
แล้วทำไมผมจะสมมุติให้ $\infty$ + 0 = $\infty$ ไม่ได้ละครับ? (กลายเป็นว่าไม่ได้พิสูจน์ซะงั้น)
ถ้าผมทำตามที่พี่บอก พอย้ายข้างสมการปุ๊บผมจะได้ว่า $\infty$ - $\infty$ = 0
และเพราะว่า $\infty$ = $\infty$ (ตามที่ผมพึ่งสมมุติไป) ก็จะได้ว่า 0 = 0 ..ซึ่งจริง!?
แสดงว่าที่ผมสมมุตินั้นถูกต้อง?? -- ซึ่งผมคิดว่า ไม่น่าจะใช่นะครับ
อันที่จริงถ้าเราไม่ถือว่า $\infty$ เป็นจำนวน เราก็ไม่น่าจะใช้การ + หรือ - กับ $\infty$
ผมเข้าใจถูกมั้ยครับ?

[It'S ME]

ผมพยายามหา mathematical definition of infinity ใน google ครับ
แต่หายังไงก็หาไม่เจอ สุดท้ายก็ยังสงสัยว่า แท้ที่จริงแล้ว $\infty$ มันคืออะไรกันแน่?

[poper]

งั้นเพื่อให้เข้าใจง่ายขึ้น ถ้าเราสมมุติว่า $\infty$ มีขอบเขตจำกัด (สมมุตินะครับ)
$\infty_1+2=\infty_2$ ก็จะเห็นชัดเจนว่า $\infty_2$ มากกว่า $\infty_1$ แน่ๆ
แต่เนื่องจากว่า $\infty$ ไม่มีขอบเขตจำกัด เราเรียกว่าค่าอนันต์ เราก็จะได้ค่าอนันต์ที่ไม่มีขอบเขตทั้งคู่ (เขียนเหมือนกันแต่ค่าไม่เท่ากัน)
ส่วนความเห็นที่บอกว่า $\infty$ ไม่เป็นจำนวนนั้น ผมเองก็ไม่แน่ใจจึงใช้คำว่า "น่าจะ" ,"มั้ง" ไงครับ
(แต่ถ้าใช้การ +,- กับ $\infty$ ได้ก็คงต้องยอมรับว่ามันคือจำนวนจริง)
พอเป็นแบบนี้สิ่งที่คุณ It'S ME พิสูจน์จะใช้สมบัติของ 0 ซึ่งเป็นเอกลักษณ์การบวกได้
ทำให้ $\infty$ ทั้ง 2 ตัวมีค่าเท่ากันครับ

[t.B.]

สำหรับผม อินฟินิตี้ เป็นแค่ สัญลักษณ์ ที่บ่งบอกถึงจำนวนที่มากๆๆ(ซึ่งไม่รู้ว่ามากแค่ไหน) แค่นั้นเองครับ เลยไม่แปลกที่จะไม่มีสมบัติในการมาเปรียบเทียบกัน ว่าอินฟินิตี้สองตัวมันจะเท่าหรือไม่เท่าหรือจะยังไง ฯลฯ

[poper]

อีกตัวอย่างที่เห็นได้ชัดคือ ลิมิตครับ
ทำไม $\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^2}=0$
พิจารณาแยกเศษส่วนจะเห็นว่า $\lim_{n\to\infty}n=\infty$ และ $\lim_{n\to\infty}n^2=\infty$
ดังนั้น $\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^2}=\frac{\infty}{\infty}$
ถ้าหาก $\infty$ เท่ากันแล้ว จะได้ค่าลิมิตเท่ากับ 1 ซึ่งไม่เป็นจริง
เพราะทุกค่าของการเข้าใกล้ $\infty$ นั้น $n<n^2$ เสมอ ดังนั้น ตัวส่วนจะมากกว่าตัวเศษเสมอแม้จะเป็น $\infty$ ก็ตาม
จึงทำให้ได้ว่าเมื่อตัวส่วนมากกว่าตัวเศษมากๆค่าก็จะเข้าใกล้ 0 ครับ

[It'S ME]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

อีกตัวอย่างที่เห็นได้ชัดคือ ลิมิตครับ
ทำไม $\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^2}=0$
พิจารณาแยกเศษส่วนจะเห็นว่า $\lim_{n\to\infty}n=\infty$ และ $\lim_{n\to\infty}n^2=\infty$
ดังนั้น $\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^2}=\frac{\infty}{\infty}$
ถ้าหาก $\infty$ เท่ากันแล้ว จะได้ค่าลิมิตเท่ากับ 1 ซึ่งไม่เป็นจริง
เพราะทุกค่าของการเข้าใกล้ $\infty$ นั้น $n<n^2$ เสมอ ดังนั้น ตัวส่วนจะมากกว่าตัวเศษเสมอแม้จะเป็น $\infty$ ก็ตาม
จึงทำให้ได้ว่าเมื่อตัวส่วนมากกว่าตัวเศษมากๆค่าก็จะเข้าใกล้ 0 ครับ

กรณี $\lim_{x \to \infty} f(x) =\infty$

ควรเข้าใจว่า "$\infty$ " ไม่ใช่จำนวน และลิมิตนี้ไม่มีอยู่จริง

เพราะงั้นโดยทั่วไปแล้ว

สมบัติ $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$ = $\frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}$ โดยที่ $\lim_{x \to a} g(x)$ $\not= 0$

จึงใช้ไม่ได้กับกรณีนี้ครับ

[poper]

สรุปว่า $\infty$ ไม่ใช่จำนวน
จึงไม่มีสมบัติต่างๆของจำนวน ไม่สามารถเปรียบเทียบ ,บวก ,ลบ ได้
เป็นเพียงสัญลักษณ์แสดงค่าที่มากๆไม่มีที่สิ้นสุดเท่านั้น

[It'S ME]

น่านสิครับ สงสัยจะเปรียบเทียบกันไม่ได้ซะแล้ว

[Mathopolis]

อินฟินิตี้แต่ละตัวไม่เท่ากันครับ สงสัยลองไปศึกษาเพิ่มเติมเกี่ยวกับสิ่งที่ Cantor คิดนะครับ

ลองวาดวงกลมเล็กวงนึง ซึ่ง่ร่วมจุดศูนย์กลางกับวงกลมใหญ่อีกวงนึง
พิจารณาพื้นที่ของวงกลมเล็ก ซึ่งเกิดจากการวาดรัศมีมากพอ(อินฟินิตี้นั่นเอง)จนได้เต็มพื้นที่วงกลมเล็ก
ทีนี้ลองต่อเส้นรัศมีเหล่านั้นให้ยาวขึ้นจนถึงเส้นรอบวงของวงกลมใหญ่ จะเห็นว่าระหว่างเส้นรัศมีเหล่านั้น จะเกิดช่องว่างขึ้น
ซึ่งถ้าต้องการจะทำให้ไม่เกิดช่องว่าง ก็ต้องเพิ่มจำนวนรัศมีเข้าไป ทำให้เกิดเป็นอินฟินิตี้ตัวใหม่ต่อไปอีก
แต่ละอินฟินิตี้เลยไม่เท่ากัน

ปล. ผมไม่ได้คิดเองนะครับ เอาของท่าคันทอร์มาอีกที