ทำเลย

[Spotanus]

สำหรับ $x,y,z \geq 0$ใดใด ที่ไม่มีสองตัวใดเป็นศูนย์พร้อมกัน จงแสดงว่า
$$\left(\frac{x}{x+y}\right)^{2}+\left(\frac{y}{y+z}\right)^{2}+ \left( \frac{z}{z+x}\right)^{2} \leq \left(\frac{x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x+3xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\right)^{2}+1$$

HINT

เป็นสมการก็ต่อเมื่อ มีหนึ่งตัวพอดีเป็น 0 เท่านั้น

[Spotanus]

กะไว้แล้วว่า โจทย์ซีรีส์ "ทำเลย" จะไม่มีคนทำได้

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Spotanus

กะไว้แล้วว่า โจทย์ซีรีส์ "ทำเลย" จะไม่มีคนทำได้

คงต้องเปลี่ยนชื่อหัวข้อแล้วมั้งครับ เพราะ "ทำเลย" เค้าเลยทำเลยข้อนี้ไปถึงไหนๆแล้วครับ
สงสัยต้องเปลียนเป็นชื่อว่า "ทำข้อนี้" หรือ "ทีข้อน้ำ"

[nooonuii]

ทำไม่ได้ กับ ยังไม่ได้ทำแตกต่างกันนะครับ

ช่วงนี้ผมยุ่งมากๆ คงอีกซักสองอาทิตย์ ปิดเทอมแล้วจะมาริ้อใหม่ครับ

โจทย์อสมการดีๆผมไม่พลาดอยู่แล้วครับ แต่จะคิดออกหรือไม่ก็อีกเรื่องนึง

[Spotanus]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ทำไม่ได้ กับ ยังไม่ได้ทำแตกต่างกันนะครับ

ช่วงนี้ผมยุ่งมากๆ คงอีกซักสองอาทิตย์ ปิดเทอมแล้วจะมาริ้อใหม่ครับ

โจทย์อสมการดีๆผมไม่พลาดอยู่แล้วครับ แต่จะคิดออกหรือไม่ก็อีกเรื่องนึง

ผมดีใจนะครับ ที่อันนี้เป็นอสมการดีๆ

[God Phoenix]

อ่า...ถ้าอสมการเป็นสมการที่ ตัวใดตัวหนึ่งเป็น 0 แล้ว
เราควรจะใช้ฟังก์ชันเข้าช่วยใช่มั้ยครับ

[nooonuii]

ลองมาหลายวิธีแล้วครับ ยังเจาะไม่เข้าเลย

[holmes]

ระัวังจะเสียเวลาทำโจทย์ผิดนะครับ ขอเตือน

[RoSe-JoKer]

เป็นโจทย์แต่งเองที่สนุกดีอีก 1 ข้อครับ คุณ Spot..Anus -*-
โจทย์สมมูลกับ
$\sum_{cyc} (\frac{x}{x+y})^2 \leq (\sum_{cyc} \frac{xy}{(x+y)(y+z)})^2+1$
ให้
$\frac{x}{x+y}=a$
$\frac{y}{y+z}=b$
$\frac{z}{z+x}=c$
โจทย์สมมูลกับ
$\sum_{cyc} a^2\leq (\sum_{cyc} ab)^2+1$
ก็ต่อเมื่อ
$\sum_{cyc} a \leq \sum_{cyc} ab+1$
แต่จาก $(1-a)(1-b)(1-c)=abc$
เราได้ว่า $\sum_{cyc} ab +1=a+b+c+2abc\geq a+b+c$
ดังนั้นเราได้ว่า $\sum_{cyc} a \leq \sum_{cyc} ab+1$ เป็นจริง
แจ้วหลบ!!

[วะฮ่ะฮ่ะฮ่า]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer

ดังนั้นเราได้ว่า $\sum_{cyc} a \leq \sum_{cyc} ab+1$ เป็นจริง

ผมแทน a=2 b=0 c=0 จะได้ $2 \leq 1$

ทำไม่ได้อย่าใช่อสมการมั่วสิครับ

[gnopy]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ วะฮ่ะฮ่ะฮ่า

ผมแทน a=2 b=0 c=0 จะได้ $2 \leq 1$

ทำไม่ได้อย่าใช่อสมการมั่วสิครับ

อ่านโจทย์ดีหรือยังครับ
สำหรับ x,y,z≥0 ใดใด ที่ไม่มีสองตัวใดเป็นศูนย์พร้อมกัน

[YESOVER]

คุณวะฮ่ะฮ่ะฮ่า เมื่อไหร่จะเฉลยโจทย์ยอดมนุษย์ซะทีล่ะครับ login มาตั้งนานแล้ววันนี้ยังไม่เห็นตอบเลย
ขอชื่นชมคุณ gnopy ด้วยครับ ช่างเป็นคู่ต่อสู้ที่เหมาะสมกับคุณ วะฮ่ะฮ่ะฮ่า จริงๆ
ปล.รู้สึกคุณ วะฮ่ะฮ่ะฮ่า จะเมาบ่อยนะครับ ดูจากกระทู้นี้เป็นต้น เป็นเด็กเป็นเล็กอย่ากินเหล้าสิครับ อ่านโจทย์ผิดเลยเห็นมั้ย 555

[nooonuii]

โจทย์สมมูลกับ
$\sum_{cyc} a^2\leq (\sum_{cyc} ab)^2+1$
ก็ต่อเมื่อ
$\sum_{cyc} a \leq \sum_{cyc} ab+1$

หลังจากได้ลองอ่านอย่างละเอียดแล้ว

ผมงงบรรทัดนี้ครับ มีการอ้าง chain ของอสมการต่อไปนี้รึเปล่าครับ

$a^2+b^2+c^2\leq a+b+c\leq ab+bc+ca+1\leq (ab+bc+ca)^2+1$

ซึ่งถ้าเป็นอันนี้อสมการสุดท้ายไม่จริงนี่ครับ

จุดสังเกตอีกจุดนึงคือมีการใช้อสมการที่ไม่สอดคล้องเงื่อนไขการเป็นสมการ มาช่วยในการพิสูจน์

ซึ่งจะทำให้อสมการที่ได้ไม่มีสมการเกิดขึ้น แต่ตัวโจทย์มีสมการเกิดขึ้นเมื่อตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์

[RoSe-JoKer]

$\sum_{cyc} a^2\leq (\sum_{cyc} ab)^2+1$
ก็ต่อเมือ
$\sum_{cyc} a^2+2\sum_{cyc} ab\leq (\sum_{cyc} ab)^2+2\sum_{cyc} ab +1$
ก็ต่อเมื่อ
$(\sum_{cyc} a)^2\leq (\sum_{cyc} ab +1)^2$
หลังจากนั้นก็ใช้คุณสมบัติที่ว่า$(1-a)(1-b)(1-c)=abc$ ครับ
เราก็จะได้ว่า
$\sum_{cyc} ab+1 \geq a+b+c+2abc\geq a+b+c$ เป็นจริง
ซึ่งจากตรงนี้ถ้า a,b,c มีซักตัวหรือกี่ตัวก็ได้เป็น 0 อสมการก็จะเป็นสมการแต่จากเงื่อนไขที่บอกว่าไม่เป็น 0 พร้อมกัน 2 ตัวก็จะทำให้ได้ว่ามีตัวนึงใน a,b,c
เป็น 0 เท่านั้น จะได้ว่าอสมการเป็นสมการพอดี อ่อเห็นได้ว่า ถ้า a,b,c ตัวใดตัวนึงเป็น 0 จะมีซักตัวที่มีค่าเท่ากับ 1 เงื่อนไขที่ว่า $(1-a)(1-b)(1-c)=abc$
ก็ยังจริงอยู่นะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer

$\sum_{cyc} a^2\leq (\sum_{cyc} ab)^2+1$
ก็ต่อเมือ
$\sum_{cyc} a^2+2\sum_{cyc} ab\leq (\sum_{cyc} ab)^2+2\sum_{cyc} ab +1$
ก็ต่อเมื่อ
$(\sum_{cyc} a)^2\leq (\sum_{cyc} ab +1)^2$
หลังจากนั้นก็ใช้คุณสมบัติที่ว่า$(1-a)(1-b)(1-c)=abc$ ครับ
เราก็จะได้ว่า
$\sum_{cyc} ab+1 \geq a+b+c+2abc\geq a+b+c$ เป็นจริง
ซึ่งจากตรงนี้ถ้า a,b,c มีซักตัวหรือกี่ตัวก็ได้เป็น 0 อสมการก็จะเป็นสมการแต่จากเงื่อนไขที่บอกว่าไม่เป็น 0 พร้อมกัน 2 ตัวก็จะทำให้ได้ว่ามีตัวนึงใน a,b,c
เป็น 0 เท่านั้น จะได้ว่าอสมการเป็นสมการพอดี อ่อเห็นได้ว่า ถ้า a,b,c ตัวใดตัวนึงเป็น 0 จะมีซักตัวที่มีค่าเท่ากับ 1 เงื่อนไขที่ว่า $(1-a)(1-b)(1-c)=abc$
ก็ยังจริงอยู่นะครับ

clear แล้วครับ เป็นวิธีที่คาดไม่ถึงจริงๆครับ