IMSO วิชาคณิตศาสตร์ (สสวทรอบ2) 2550

[M@gpie]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JokerteamZ

วันที่สอง
3. กำหนดเซต $A=\{x\in\mathbb{R}; x^3<3\}$
3.1 พิสูจน์ว่า $A$ มีขอบเขตบนค่าน้อยสุด
3.2 ถ้า $m$ เป็นขอบเขตบนค่าน้อยสุดของ $A$ แล้ว พิสูจน์ว่า $m$ เป็นจำนวนอตรรกยะ

ขอทำข้อง่ายๆ มั่งนะครับ ข้ออื่นๆคิดไม่ออกเลย
ข้อ 3.1 เห็นได้ชัดว่า $A$ เป็นเซตที่มีขอบเขต ดังนั้น $sup_{x\in A}A$ หาค่าได้

ข้อ 3.2 เราจะแสดงว่าสมาชิกใน $A$ ไม่สามารถเป็น supremum ได้โดยสมมติว่า มี supremum ซึ่ง $x^3 <3$
พิจารณา \[ \left( x+\frac{1}{n}\right)^3 = x^3+\frac{3x^2}{n}+\frac{3x}{n^2} +\frac{1}{n^3}<x^3+\frac{3x^2+3x+1}{n} \]
เลือกจำนวนนับซึ่ง $ \frac{3x^2+3x+1}{3-x^3} < n$ จะได้ว่า $\left(x+\frac{1}{n}\right)^3 < 3 $ จะได้ว่า $ x+ \frac{1}{n} \in A$ ขัดแย้งกับการเป็นขอบเขตบนค่าน้อยสุดของ $x$
เราสามารถแสดงได้ว่า $x^3>3$ เป็นไปไม่ได้ด้วยการให้เหตุผลในทำนองเดียวกัน ดังนั้น $x^3=3$
และจากทฤษฎีบทคำตอบที่เป็นจำนวนตรรกยะ สรุปได้ทันทีว่า $x$ ไม่เป็นจำนวนตรรกยะ

[M@gpie]

ข้อ 3 ตอนที่ 1 วันแรก ตอบ $D=(1,e)$

[kanakon]

ข้อ 1.2 ของวันที่ 2
ให้ N เป็นเลขสองตัวท้ายของ $7^{2007}+8$ จงแสดงว่า $N +1$ เขียนในรูปผลบวกของ perfect squre 5 จำนวนได้หรือไม่ ถ้าได้จงแสดง

solution

$N+1=52=6^2+2^2+2^2+2^2+2^2$

[Art_ninja]

ไม่แน่ใจว่าข้อที่สองของวัีนที่สอง สามารถใช้ Induction ได้ไหมครับ
ถ้าจะพิสูจน์ว่า $x^n \vert a^n+b^n$ สำหรับทุก $n \in \mathbb{N}$ จะเป็นไปได้ไหมครับ

[kanakon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Art_ninja

ไม่แน่ใจว่าข้อที่สองของวัีนที่สอง สามารถใช้ Induction ได้ไหมครับ
ถ้าจะพิสูจน์ว่า $x^n \vert a^n+b^n$ สำหรับทุก $n \in \mathbb{N}$ จะเป็นไปได้ไหมครับ

ใช้ได้คับ เพื่อนๆที่ทำส่วนมากใช้ strong induction กันครับ

[Mathophile]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kanakon

ข้อ 1.2 ของวันที่ 2
ให้ N เป็นเลขสองตัวท้ายของ $7^{2007}+8$ จงแสดงว่า $N +1$ เขียนในรูปผลบวกของ perfect squre 5 จำนวนได้หรือไม่ ถ้าได้จงแสดง

รู้สึกข้อนี้จะเขียนได้หลายแบบนะครับ

another solution

$N+1=52=3^2+3^2+3^2+3^2+4^2=1^2+1^2+3^2+4^2+5^2$

[nongtum]

คุณ M@gpie ครับ ข้อ 3.2 เลขชี้กำลังเป็น 3 นะครับ ไม่ใช่ 2

[M@gpie]

แก้ไขแล้วครับผม ขอบคุณพี่ nongtum ครับ ผมดันอ่านโจทย์ผิดซะได้

[กรza_ba_yo]

ข้อสอบอยากเนอะของประถมหรือมัธยมอะ(ไม่รู้จริงๆ)

[kanakon]

เป็นข้อสอบระดับมัธยมแต่เนื้อหาประมาณต้นๆมหาลัยครับ

[RoSe-JoKer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

โจทย์ให้หาความยาวฐานที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้รึเปล่าครับ ถ้าความยาวฐานที่มากที่สุดผมว่ามันไม่น่าจะหาได้นะครับ(จากการลองวาดรูปดู)

คือถ้าโจทย์ที่ผมอ่านๆมาผมเข้าใจว่า เรากำหนดมุม A มาแล้วถ้าสามเหลี่ยมมีด้านประกอบมุม A เป็นค่าคงที่
ผมคิดว่าเราหาความยาวด้านที่มากที่สุดได้นะครับเพราะ เราจะได้ว่าพท สามเหลี่ยม = $\frac{1}{2}abSinA\leqslant \frac{1}{2}ab$ นั้นก็คือสามเหลี่ยมที่มี พท มากที่สุดตามที่กำหนดก็คือสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วนั้นเอง แล้วทีนี้เราก็สามารถหาด้านตรงข้ามมุมฉาก (ด้านที่ยาวที่สุด) ได้ ... ผิดยังไงก็ช่วยชี้แนะทีนะครับ ผมเองก็จำโจทย์ไม่ได้แล้วเหมือนกัน

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gools

ข้อ 5 วันที่ 1 ครับ
ในวงกลมที่มีรัศมี $2$ หน่วยมีจุดสามจุดบนวงกลมที่แตกต่างกันคือ $A,B$ และ $C$
ให้ $H$ และ $G$ คือจุดตัดของเส้นจากจุดยอดไปตั้งฉากด้านของสามเหลี่ยม $ABC$ และเซนทรอยด์ของสามเหลี่ยม $ABC$ ตามลำดับ
ให้ $F$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $HG$ หาค่าของ $AF^2+BF^2+CF^2$

OUTLINE :
1. พิสูจน์ให้ได้ว่า AH = 4cosA และท้ายที่สุดจะนำไปสู่ G อยู่ระหว่าง circumcenter (say O) และ H

2. พิสูจน์ $AF^2 = \frac{1}{9}(AO^2+4AH^2+4(AO)(AH)\cos (B-C)) $

3. หา $ BF^2 \,\, , CF^2 $ นำมาบวกกันแล้วใช้สูตรตรีโกณมิติอีกนิดหน่อย จนสุดท้าย เทอมที่เป็นตรีโกณจะหายไป เหลือแต่ค่าคงที่ (ถ้าผมคิดเลขไม่ผิด ข้อนี้จะตอบ 12 ครับ)

[Anonymous314]

ข้อ 1 ตอน 1 วันแรกทำอย่างไรครับ
ใครจำข้อ 5,6 วันที่ 2 ได้บ้างครับ
ปล. ข้อ 6 วันที่ 2 จำได้ก็สุดยอดแล้ว โจทย์ยาวจริง ๆ เลยให้รูปมา 1 รูป เติมตารางหารัศมีวงกลมอะไรซักอย่าง

[tatari/nightmare]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gools

ข้อ 5 วันที่ 1 ครับ
ในวงกลมที่มีรัศมี $2$ หน่วยมีจุดสามจุดบนวงกลมที่แตกต่างกันคือ $A,B$ และ $C$
ให้ $H$ และ $G$ คือจุดตัดของเส้นจากจุดยอดไปตั้งฉากด้านของสามเหลี่ยม $ABC$ และเซนทรอยด์ของสามเหลี่ยม $ABC$ ตามลำดับ
ให้ $F$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $HG$ หาค่าของ $AF^2+BF^2+CF^2$

ข้อ 4 วันที่ 2 ครับ
บนสามเหลี่ยม $ABC$ จุด $D$ เป็นจุดบนด้าน $AC$ ที่ทำให้ $BD=CD$ ให้ $E$ เป็นจุดบนด้าน $BC$ ลากเส้นตรงผ่านจุด $E$ ขนานกับ $BD$ ตัดเส้นตรง $AB$ ที่จุด $F$ และ $AE$ ตัด $BD$ ที่จุด $G$ โดยที่ $\angle BCA = 50^o$ และ $\angle CFE = 17^o$ มุม $\angle BCG$ มีค่าเท่าใด

short solution
ข้อ 5 วันที่ 1:เราจะใช้เวกเตอร์ในการทำโจทย์ข้อนี้ เราให้จุดกำเนิดอยู่ที่จุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม
และพยายามพิสูจน์ว่า $AF^2+BF^2+CF^2=3R^2$ โดย $R$คือรัศมีวงกลมล้อมรอบ $\bigtriangleup ABC$
ซึ่งในที่นี้ $R=2$
ข้อ 4 วันที่ 2:ใช้ Ceva"s trigo กับสามเหลี่ยมสองรูป(สังเกตง่ายมากว่าเป็นสองรูปไหน)

[Anonymous314]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

short solution
ข้อ 5 วันที่ 1:เราจะใช้เวกเตอร์ในการทำโจทย์ข้อนี้ เราให้จุดกำเนิดอยู่ที่จุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม
และพยายามพิสูจน์ว่า $AF^2+BF^2+CF^2=3R^2$ โดย $R$คือรัศมีวงกลมล้อมรอบ $\bigtriangleup ABC$
ซึ่งในที่นี้ $R=2$
ข้อ 4 วันที่ 2:ใช้ Ceva"s trigo กับสามเหลี่ยมสองรูป(สังเกตง่ายมากว่าเป็นสองรูปไหน)

รูปไหนเหรอครับ