IMSO 2551 รอบ2

[square1zoa]

สวัสดีครับ เห็นว่าปีนี้ข้อสอบยากมากเลย เอาเป็นว่ามาเริ่มกันเลยดีกว่า (ไปถามรุ่นน้องมา)


วันแรก วิธีทำ (8คะแนน)

1. กำหนดฟังก์ชัน $f:\mathbf{N}\cup \left\{0\,\right\} \rightarrow \mathbf{N}\cup \left\{0\,\right\}$ โดยที่ $f(0)=0$ และ $$f(2n)-f(n)=f(2n-1)-f(n-1)=y = \cases{0 & , n\in E \cr 1 & , n\in O} $$ จงหาค่าสูงสุดของ $f(1),f(2),...,f(2008)$

นอกนั้นจำไม่ได้เเล้ว ยังไงก็ถ้าจำได้จะมาpostแล้วกันนะ

[square1zoa]

มาแล้ว วันที่2 (10คะแนน)

1. จงพิสูจน์ว่า $8\mid \sigma (2008n+2007),\forall n\in \mathbf{N} $

2. ให้ $x,y\in \mathbf{Z} $และ $a,b\in \mathbf{R} $ ให้ $S(a,b)$ เป็น เซต
ที่ทำให้ $$S(a,b)=\left\{(x,y)\in \mathbf{Z} \mid (2551x+2008y+a)^2+(2008x-2551y-b)^2\leqslant 1623^2\,\right\} $$
จงพิสูจน์ว่า $S(a,b)$ มีผลเฉลยอย่างมาก1ชุด

3. แก้สมการหนึ่งหน้ากระดาษ ผู้ที่ขยันกรุณา post ด่วน (น่าจะใช้เอกลักษณ์ได้)

4. มียา15ชนิด ทดลองกับหนูจำนวนหนึ่ง โดยหนูทุกตัวได้รับการทดลองยาจำนวนชนิดเท่ากันและในการทดลองแต่ละครั้งจะใช้ยา2ชนิดใดๆเพื่อทดลองกับ $\frac{1}{5}$ของหนูทั้งหมด จงหาว่าหนู1ตัวได้รับยากี่ชนิด

5. $ABC$ เป็นสามเหลี่ยม $G$ เป็นจุดเซนทรอยด์ $P$ เป็นจุดที่ทำให้ $PA-2PB+4PC=0$ (ทุกพจน์เป็นเวกเตอร์)
หา 1. พท. สี่เหลี่ยม $PGBC$ 2. $PA\cdot (PB+PC)$ 3. $PB\cdot PC$

6. กำหนดสามเหลี่ยม ABC สร้างวงกลมแนบใน จะเกิดจุดที่วงกลมสัมผัสกับสามเหลี่ยม3จุด ให้ลากเป็นสามเหลี่ยม สามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นเรียกว่า อนุพันธ์อันดับ1 จากนั้นสร้างวงกลมแนบในอนุพันธ์อันดับ 1 แล้วเชื่อมจุดสัมผัส จะได้สามเหลี่ยมที่เรียกว่า อนุพันธ์อันดับ 2 ทำเช่นนี้ไปเรื่อยๆ
จงพิสูจน์ว่า ถ้าอนุพันธ์คู่ใดๆ คล้ายกันแล้ว อนุพันธ์ทุกคู่ต้องคล้ายกัน

[llPROll]

ผมซุยมากครับ functionมั่วไปว่า11 555+

แต่ก็อยากติดอะนะ

[dektep]

วันสอง : โจทย์ข้อห้าอันแรกต้องพิสูจน์ว่าเป็นด้านขนานนะครับ
ข้อหนึ่ง ถ้า $2008n+2007$ เป็น prime จบ
สมมติว่ามันเป็นจำนวนประกอบ
ให้ $k | 2008n+2007$ $\therefore \frac{2008n+2007}{k}$ เป็นตัวประกอบของ $2008n+2007$ ด้วย
เห็นได้ชัดว่า $k$ เป็นจำนวนคี่
ได้ว่า $k^2 \equiv 1 (mod 8)$
$\therefore 8 | k+\frac{2008n+2007}{k}$
ข้อสอง
กระจายแล้วจัดในรูป $(x-h)^2+(y-k)^2 = r^2$

ข้อห้า
เลื่อนขนานเวกเตอร์ $BP$ ให้จุด $P$ ทับจุด $B$ ได้เวกเตอร์ $B'B$ ได้ว่า $BB'=BP$
ได้ว่า $-2PB=B'P$
$\therefore B'A = 4CP$ ได้ว่า $B'A$ ขนานกับ $CP$ ให้ $CP \cap AB =C'$
ได้ว่า $\triangle{ABB'} \sim \triangle{BCC'}$ แล้ว $AB=BC'=BC$ ได้ว่า $B$ เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมล้องรอบสามเหลี่ยม $ACC'$ โดยมี $AC'$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ได้ว่า $\hat{ACC'} = 90$ จะได้ว่า $CP$ ขนานกับ $BG$
ต่อไปพิสูจน์โดยไล่ด้านว่า $BG = CP$ ได้ว่าสี่เหลี่ยม $BCPG$ เป็นสี่เหลีี่ยมด้านขนาน ส่วน dot ก็ไล่ๆ เอาครับ
ส่วนข้อสี่ผมได้ 7 ชนิดครับ ไม่แน่ใจว่าถูกหรือเปล่า

[dektep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ llPROll

ผมซุยมากครับ functionมั่วไปว่า11 555+

แต่ก็อยากติดอะนะ

เก่งครับเก่ง

ติดอยู่แล้วครับ

[llPROll]

พวกพี่หรือน้องที่โปรช่วยเฉลยหน่อยครับ ผมกาก

ข้อ ชนิดผมก็มั่วว่า7 555555+

[square1zoa]

เออ ดีใจด้วยครับที่เก่ง

[llPROll]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ dektep

เก่งครับเก่ง

ติดอยู่แล้วครับ

ซะงั้นมากครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ square1zoa

เออ ดีใจด้วยครับที่เก่ง

ซะงั้นอีกคนครับ

[dektep]

ว่าแต่คุณ ||PRO|| ทำได้กี่ข้อครับ ทั้งวันแรกและวันที่สอง
จะได้เอามาเปรียบเทียบกัน(กับข้อที่ทำได้อันน้อยนิดของผม)ครับ

[YESOVER]

โหคุณ dektep ได้น้ิอยแล้วผมไปสอบจะรอดมั้ยรอบนี้
ปล.ผมตกรอบเรียบร้อยแล้วครับ ชิวมากไปหน่อย 555((()))

[owlpenguin]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ llPROll

พวกพี่หรือน้องที่โปรช่วยเฉลยหน่อยครับ ผมกาก

ข้อ ชนิดผมก็มั่วว่า7 555555+

ทำไมมั่วเก่งจังครับ ดูเหมือนจะถูกหมดเลย... เทพจิงๆ

[dektep]

นั่นสิครับ แต่คงไม่มีใครเก่งไปกว่าคุณ owlpenguin หรอกครับ
ได้ตั้งสามข้อ 5555+

[CmKaN]

ท่านเทพๆ ช่วยเฉลยหน่อยครับ พอดีทำไม่ได้อะครับอยากเห็นเฉลย

[Onasdi]

ข้อ 4. ได้ 7 เหมือนกันครับ

ให้มีหนูอยู่ m ตัว และให้หนูแต่ละตัวได้ยา a ชนิด
ให้ $S=\{(i,\{x,y\})|$ หนูตัวที่ i ได้รับยาชนิด x และ y $\}$
นับแบบแรก: สำหรับแต่ละ i มี {x,y} อยู่ $\dbinom{a}{2}$ เซต จึงได้ $n(S)=m\dbinom{a}{2}$
นับแบบที่สอง: สำหรับแต่ละ {x,y} มี i อยู่ $\displaystyle{\frac{m}{5}}$ ตัว จึงได้ $n(S)=\displaystyle{\frac{m}{5}}\dbinom{15}{2}$
จับเท่ากัน ได้ a=7

[passer-by]

ที่ผมได้ยินมา โจทย์ข้อ 2, 6 มันมีใจความเหมือนข้างล่างน่ะครับ ก็เลย quote มาแก้ให้นิดหน่อย (ถ้าผมเข้าใจผิดก็บอกด้วยนะครับ)

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ square1zoa

มาแล้ว วันที่2 (10คะแนน)

2. ให้ $x,y\in \mathbf{Z} $และ $a,b\in \mathbf{R} $ ซึ่ง

$ (2551x+2008y+a)^2+(2008x-2551y-b)^2 \leq 1623^2 $
จงพิสูจน์ว่าทุก $ a,b \in \mathbf{R} $ จะมี $ (x,y) \in \mathbf{Z \times Z} $ ที่ทำให้ อสมการ เป็นจริงอย่างมาก1 คู่อันดับ

6. กำหนดสามเหลี่ยม $ABC$ สร้างวงกลมแนบใน จะเกิดจุดที่วงกลมสัมผัสกับสามเหลี่ยม3จุด ให้ลากเป็นสามเหลี่ยม สามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นเรียกว่า อนุพันธ์อันดับ1 จากนั้นสร้างวงกลมแนบในอนุพันธ์อันดับ 1 แล้วเชื่อมจุดสัมผัส จะได้สามเหลี่ยมที่เรียกว่า อนุพันธ์อันดับ 2 ทำเช่นนี้ไปเรื่อยๆ
จงพิสูจน์ว่า ถ้าอนุพันธ์คู่ใดๆ คล้ายกันแล้ว อนุพันธ์ทุกคู่ต้องคล้ายกัน

ถ้าโจทย์เป็นแบบนี้แล้ว ข้อ 2 ผมจัดรูปได้เป็น $$ \big(x+ \frac{2551a-2008b}{2008^2+2551^2}\big)^2 + \big(y+ \frac{2008a+2551b}{2008^2+2551^2}\big)^2 \leq \frac{1623^2}{2008^2+2551^2}$$

เพราะ $ \frac{1623^2}{2008^2+2551^2} < \frac{1}{4} $

แสดงว่าวงกลมรัศมีน้อยกว่า $ \frac{1}{2}$ หน่วย

และเห็นได้ชัดว่าวงกลม เส้นผ่านศูนย์กลางน้อยกว่า 1 หน่วย ไม่สามารถ cover lattice หรือคู่อันดับของจำนวนเต็มได้มากกว่า 1 จุด เนื่องจาก lattice 2 จุดใดๆห่างกันมากกว่าหรือเท่ากับ 1 หน่วยเสมอ
-------------------------------------------------------------------------------------
6. ถ้าให้ $ A_1, B_1, C_1 $ เป็นจุดยอดมุมของอนุพันธ์อันดับ 1 โดย $A_1,B_1,C_1$ ตรงข้ามมุม A,B,C ตามลำดับ และสำหรับ $n > 1$ แล้ว $ A_n ,B_n ,C_n$ เป็นจุดยอดมุมของอนุพันธ์อันดับ n โดย $A_n,B_n,C_n$ ตรงข้ามมุม $A_{n-1},B_{n-1},C_{n-1}$ ตามลำดับ

เราสามารถเขียน recurrence relation ได้ไม่ยากว่า $ A_{n+1} = \frac{-1}{2}A_n +\frac{\pi}{2}$ (ส่วน $B_n ,C_n$ define คล้ายกัน ) subject to $ A_0=A , B_0=B ,C_0=C$

solve ออกมาจะได้ $$A_n = \frac{\pi}{3}+ (\frac{-1}{2})^n(A- \frac{\pi}{3})$$ $$B_n = \frac{\pi}{3}+ (\frac{-1}{2})^n(B- \frac{\pi}{3})$$ $$C_n = \frac{\pi}{3}+ (\frac{-1}{2})^n(C- \frac{\pi}{3})$$

จากสูตรที่ได้ เรา impose condition ที่ว่ามี 2 คู่เป็นสามเหลี่ยมคล้ายเข้าไป จากนั้นทำอะไรจุกจิกเกี่ยวกับพีชคณิตนิดหน่อย จะพบว่า สามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าครับ ดังนั้น อนุพันธ์ที่ตามมาทุก n ก็จะเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าด้วย
p.s. ส่วนใครที่ post ว่า มั่วข้อ 4 ถูกเนี่ย ถ่อมตัวไปหรือเปล่าครับ ผมคนนึงล่ะที่ไม่เชื่อว่าเลข 7 มาจากการมั่ว