พิสูจน์ระบบจำนวนหน่อยครับ

[Beetle]

1.ให้ $A$ และ $B$ เป็นเซตที่ไม่ว่างของ $\mathbb{R}$ ที่มีขอบเขต จงพิสูจน์ว่า
a. ถ้า $A \subset B$ แล้ว $\sup A \leqslant \sup B$
b. ถ้า $A \subset B$ แล้ว $\inf A \geqslant \inf B$

2.ให้ $S \subset R$ และ $S \not= \emptyset$ และ $S$ มีขอบเขตและให้ $a \in \mathbb{R}$ จะได้ $a+S= \left\{\,\right. a+s | s \in S \left.\,\right\}$ จะแสดงว่า
a. $\sup (a+S)=a+\sup S$
b. $\inf (a+S)=a+\inf S$

3.ให้ $a,b \in \mathbb{Z}^+$ และ $(a,b)=1$ และ $[a,b]=105$ ถ้า $a>b$ จงหาว่า $a,b$ เป็นจำนวนใดได้บ้าง

4. จงพิสูจน์ว่าจำนวนเฉพาะทุกตัวยกเว้น 2 กับ 3 จะสามารถเขียนได้ในรูป $6k+1$ หรือ $6k-1$ เมื่อ $k \in \mathbb{N}$

5.บทนิยาม: ให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มซึ่งแตกต่างกันและต่างไม่เป็นศูนย์ $a$ และ $b$ จะเป็นตัวสมทบ ก็ต่อเมื่อ $a | b$ และ $b | a$
จงพิสูจน์ว่าจำนวนเต็มที่ไม่เท่ากับศูนย์ $m$ จะมี $-m$ เป็นตัวสมทบเพียงตัวเดียวเท่านั้น

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beetle

$$3.ให้a,b \in Z^+ และ(a,b)=1 และ[a,b]=105 ถ้าa>b จงหาว่า a,b เป็นจำนวนใดได้บ้าง$$

ทำข้อที่ได้ก่อนละกันครับ
$105=1\times3\times5\times7$
$(a,b)\ = (35,3),(21,5),(15,7),(105,1)$

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

ทำข้อที่ได้ก่อนละกันครับ
$105=3\times5\times7$
$(a,b)\ = (35,3),(21,5),(15,7),(105,1)$

น่าจะลืมหรือว่าผมทำผิด

[nongtum]

1. If $A,B$ are bounded in $\mathbb{R}$, then each set has supremum and infimum (why)?
Then, try to argument using contradiction.

2. Check using definition of infimum and supremum.

4. All odd primes greater than 3 cannot be of the form $6k+3$.

5. Suppose $m\ne0$ is associate to $n\ne m.$ Then $n=am, m=bn$ for some $a,b\in \mathbb{Z}$, also $m=bam.$
Then $ab=1$ and $a,b\in\mathbb{Z}$ imply $a=b=-1$ or $a=b=1$, where the latter case cannot be used.

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

น่าจะลืมหรือว่าผมทำผิด

อ่า...ลืมครับ
ขอบคุณคุณpolsk133 ครับผม

[Beetle]

ข้อ3เข้าใจแล้วครับแต่ข้ออื่นก็ยังงงอยู่ครับ
supย่อมาจากsupperSetรึเปล่าแต่infนี้ไม่รู้ว่ามาจากกอะไร

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

1. If $A,B$ are bounded in $\mathbb{R}$, then each set has supremum and infimum (why)?
Then, try to argument using contradiction.

2. Check using definition of infimum and supremum.

4. All odd primes greater than 3 cannot be of the form $6k+3$.

5. Suppose $m\ne0$ is associate to $n\ne m.$ Then $n=am, m=bn$ for some $a,b\in \mathbb{Z}$, also $m=bam.$
Then $ab=1$ and $a,b\in\mathbb{Z}$ imply $a=b=-1$ or $a=b=1$, where the latter case cannot be used.

ภาษาอังกฤษยิ่งงงเข้าไปใหญ่เลยครับขอผู้รู้ช่วยแปลอธิบายหน่อยนะครับ ขอบคุณครับ

[nooonuii]

ตอบไปก็คงช่วยอะไรได้ไม่มากเพราะคำว่า sup คนถามยังไม่รู้จักเลย

ซึ่งบ่งบอกว่าคนถามยังไม่ได้เริ่มต้นทำอะไรเลย

ลองอ่านเรื่องนี้ซักรอบก่อนดีไหม แล้วค่อยมาทำความเข้าใจที่คุณ nongtum บอกไป

อย่างน้อยต้องรู้ก่อนครับว่า sup คืออะไร inf คืออะไร

ถ้าพร้อมแล้วเดี๋ยวผมยินดีแปลเป็นไทยให้

[Beetle]

ไปหาหนังสือในห้องสมุดมาอ่านแล้วครับพอเข้าใจอยู่บ้างแต่ก็พิสูจน์ไม่เป็นข้อ3กับข้อ5พิสูจน์ได้แล้วครับเหลือข้อ1,2กับ4ที่เป็นจำนวนเฉ พาะเหมือนจะง่ายแต่ไม่รู็จะใช้วิธีไหนพิสูจน์ครับ ช่วยแสดงการพิสูจน์ข้อ1,2,3ให้หน่อยนะครับแล้วจะพยายามทำความเข้าใจครับ ขอบบนขอบล่าง

[polsk133]

ข้อ 1,2 ทำไม่เป็น

แต่ข้อ3 ใช้ความจริงที่ว่า

Hint

ab=(a,b)[a,b]

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beetle

1.ให้ $A$ และ $B$ เป็นเซตที่ไม่ว่างของ $\mathbb{R}$ ที่มีขอบเขต จงพิสูจน์ว่า
a. ถ้า $A \subset B$ แล้ว $\sup A \leqslant \sup B$

2.ให้ $S \subset R$ และ $S \not= \emptyset$ และ $S$ มีขอบเขตและให้ $a \in \mathbb{R}$ จะได้ $a+S= \left\{\,\right. a+s | s \in S \left.\,\right\}$ จะแสดงว่า
a. $\sup (a+S)=a+\sup S$

เป็นเรื่องของตรรกศาสตร์ล้วนๆครับ

1. ให้ $a\in A$ เนื่องจาก $A\subset B$ จะได้ $a\in B$

ดังนั้น $a\leq\sup B$ (ทำไม?)

จึงได้ว่า $\sup B$ เป็นขอบเขตบนตัวหนึ่งของ $A$

ดังนั้น $\sup A\leq\sup B$ (ทำไม?)

2. ต้องพิสูจน์ก่อนว่า $\sup (a+S)$ มีอยู่จริง อันนี้ให้ลองใช้ Completeness axiom มาอ้างครับ

ทริกยอดฮิตในการพิสูจน์ $a=b$ คือพิสูจน์ว่า $a\leq b$ และ $b\leq a$

ให้ $x\in (a+S)$ จะได้ว่า $x=a+y$ บาง $y\in S$

แต่ $y\leq \sup S$ (ทำไม?) จึงได้

$x=a+y\leq a+\sup S$

จึงได้ว่า $a+\sup S$ เป็นขอบเขตบนตัวหนึ่งของเซต $(a+S)$

ดังนั้น $\sup(a+S)\leq a+\sup S$

ต่อไปให้ $x\in S$ จะได้ว่า

$x=(a+x)-a\leq \sup(a+S)-a$ (ทำไม?)

ดังนั้น $\sup(a+S)-a$ เป็นขอบเขตบนตัวหนึ่งของ $S$

จึงได้ว่า $\sup S\leq \sup(a+S)-a$

$a+\sup S\leq \sup(a+S)$

ดังนั้น $\sup(a+S)=a+\sup S$

โจทย์ข้อนี้จะเข้าใจได้ง่ายขึ้นถ้ากำหนดเซต $a+S$ ให้เป็นเซตอื่นเช่น $X$

ส่วนที่เหลือให้ลองทำความเข้าใจสิ่งที่ผมเขียนให้ได้แล้วลอกออกมาเลยครับต่างกันนิดหน่อยเอง

[Beetle]

ขอบคุณมากๆครับข้อ3ได้แล้วครับข้างบนพิมพ์ผิดจริงๆเป็นข้อ4ครับที่จะบอกว่าpที่มากกว่า3สามารถเขียนในรูป6k+1กับ6k-1อะครับผมดูว่าจำนวนเฉพาะที่p>3เป็นจำนวนคี่ ผมเริ่มที่ให้ pที่มากกว่า3เท่ากับ2k+1แล้วไม่รู้ทำไงต่อหรือมันไม่ได้คิดแบบนี้ครับ

[nooonuii]

แทนที่จะเขียนจำนวนคี่เป็น $2k+1$ ก็เขียนเป็น

$6k+1,6k+3,6k+5$

แทนครับ แต่เราตัด $6k+3$ ออกไปได้ (ทำไม?)

[Beetle]

เข้าใจแล้วครับขอบคุณครับจะพยายามศึกษาต่อไปว่าจะใช้บทนิยามหรือทฤษฏีบทไหนมาอ้างอิงที่ว่า(ทำไม?)ครับ
บางอันก็รู้แล้วบางอันเดี๋ยวขอไปเปิดหนังสือก่อนครับ