ข้อสอบสอวน.ค่าย 1 part 5

[ปากกาเซียน]

รวบรวมโจทย์เก่าๆครับ ช่วยเฉลยกันหน่อยนะครับ

[Sirius]

จงหารากที่เป็นจำนวนจริงบวกของสมการ $(x+1)(x^2+1)(x^3+1)=30x^3$

จาก $(x+1)(x^2+1)(x^3+1)=30x^3$

$\therefore x^6+x^5+x^4+2x^3+x^2+x+1=30x^3$

$ x^6+x^5+x^4-28x^3+x^2+x+1=0$

เนื่องจาก $ x\not= 0 $ จึงสามารถหารตลอดทั้งสมการด้วย $x^3$ ได้

$ x^3+x^2+x-28+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}=0$

$ (x^3+\frac{1}{x^3})+(x^2+\frac{1}{x^2})+(x+\frac{1}{x})-28=0$

$ (x^3+3x+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^3})+(x^2+2+\frac{1}{x^2})-2(x+\frac{1}{x})-30=0$

ให้ $x+\frac{1}{x}=y$

จะได้ $ y^3+y^2-2y-30=0$

$(y-3)(y^2+4y+10)=0$

$y-3=0$ หรือ $y^2+4y+10=0$

$y=3$ หรือ $y=\frac{-4\pm \sqrt{-24}}{2}$

แต่ y เป็นจำนวนจริง (เพราะ x เป็นจำนวนจริง)

$\therefore y=3$

$x+\frac{1}{x}=3$

$x^2-3x+1=0$

$x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$

[กระบี่ทะลวงด่าน]

$(p,q)= (6,6),(-6,-6)$

เมื่อ$ x = 1,2,3 / x= -1,-2,-3$

เเนวคิดใช้ $vieta formula$

[Sirius]

จงหาจำนวนของจำนวนเต็ม $d=d_1d_2...d_m$ ที่น้อยกว่า $10^7$ เมื่อ $d_i$ เป็นเลขโดดใน d ซึ่ง $0<d_1\leqslant d_1\leqslant d_2\leqslant ...\leqslant d_m$

จาก $d<10^7$

$\therefore $ สามารถเขียน d อยู่ในรูป $a_1a_2a_3a_4a_5a_6a_7$ เมื่อ $0\leqslant a_1\leqslant a_2\leqslant ...\leqslant a_7$

ให้ $b_i$ เป็นจำนวนครั้งที่เลขโดด i ปรากฏใน d

$\therefore b_0+b_1+...+b_9=7$ และ $b_i\geqslant 0$

$\therefore$ มีจำนวนชุดของ $b_0,b_1,...,b_9$ ทั้งหมด $\binom{16}{7}$ ชุด

และเนื่องจากแต่ละชุดของ $b_i$ สมมูลกับจำนวนเต็ม d จำนวนหนึ่ง

ดังนั้น มีจำนวนเต็ม d ที่สอดคล้องเงื่อนไขทั้งหมด $\binom{16}{7}=11,440$ จำนวน

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Sirius

จงหาจำนวนของจำนวนเต็ม $d=d_1d_2...d_m$ ที่น้อยกว่า $10^7$ เมื่อ $d_i$ เป็นเลขโดดใน d ซึ่ง $0<d_1\leqslant d_1\leqslant d_2\leqslant ...\leqslant d_m$

จาก $d<10^7$

$\therefore $ สามารถเขียน d อยู่ในรูป $a_1a_2a_3a_4a_5a_6a_7$ เมื่อ $0\leqslant a_1\leqslant a_2\leqslant ...\leqslant a_7$

ให้ $b_i$ เป็นจำนวนครั้งที่เลขโดด i ปรากฏใน d

$\therefore b_0+b_1+...+b_9=7$ และ $b_i\geqslant 0$

$\therefore$ มีจำนวนชุดของ $b_0,b_1,...,b_9$ ทั้งหมด $\binom{16}{7}$ ชุด

และเนื่องจากแต่ละชุดของ $b_i$ สมมูลกับจำนวนเต็ม d จำนวนหนึ่ง

ดังนั้น มีจำนวนเต็ม d ที่สอดคล้องเงื่อนไขทั้งหมด $\binom{16}{7}=11,440$ จำนวน

ข้อนี้ดูเหมือนว่าคุณSirius จะพลาดนะครับ

ควรจะเป็น $b_1+b_2+...+b_9 = 1, 2, 3, ..., 7$ โดยที่ $b_i \ge0$

ซึ่งมีได้ทั้งหมด $\binom{9}{8} + \binom{9}{8} + ... + \binom{15}{8} = \binom{16}{9} - 1$

ข้อที่ดูเหมือนจะคล้ายกันคือ

จงหาจำนวนของจำนวนเต็ม $d=d_1d_2...d_m$ ที่น้อยกว่า $10^7$ เมื่อ $d_i$ เป็นเลขโดดใน d ซึ่ง $0<d_1 < d_2< d_3 < ... < d_m$

[polsk133]

9C1 +9C2+...+9C7

[Sirius]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

ข้อนี้ดูเหมือนว่าคุณSirius จะพลาดนะครับ

ควรจะเป็น $b_1+b_2+...+b_9 = 1, 2, 3, ..., 7$ โดยที่ $b_i \ge0$

ซึ่งมีได้ทั้งหมด $\binom{9}{8} + \binom{9}{8} + ... + \binom{15}{8} = \binom{16}{9} - 1$

ใช่ครับ ลืมลบกรณีที่เป็น 0000000 ครับ

[banker]

a+2b > AD

b+2c > BE

2a+c > CF

3(a+b+c) > AD+BC+CF

2(a+b+c) > $\frac{2}{3}$(AD+BE+CF)

AB+BC+CA > $\frac{2}{3}$(AD+BE+CF)

พิสูจน์ได้แค่นี้ครับ

[polsk133]

#8 ลากDEFดูครับ

สอบวันนี้ใครอ้วกปะครับ อสมการ 555

[กระบี่ทะลวงด่าน]

#9 อสมการ...พอเห็นข้อสอบเเล้วเกือบจะเดินออกจากทันที
ปล.กะจะเดินออกไปท้าต่อยกะอาจารย์หลังเซเว่นปิด555

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

#8 ลากDEFดูครับ

ลากแล้วทำยังไงต่อครับ

[polsk133]

AD<AE+ED=AE+AF ทำ3อัน บวกกัน จบอย่างสวยงามครับ

[ปากกาเซียน]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

AD<AE+ED=AE+AF ทำ3อัน บวกกัน จบอย่างสวยงามครับ

ขอบคุณครับ ผมกับเพื่อนนั่งคิดตั้งนาน

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

AD<AE+ED=AE+AF ทำ3อัน บวกกัน จบอย่างสวยงามครับ

ขอบคุณครับ