ปัญหาของการพิสูจน์อสมการ

[คณิตศาสตร์]

อสมการข้อนี้อะครับผมทำแล้วมานไม่ออก
1.จงพิสูจน์ว่า $(a^2-b^2)(a^4-b^4)\leqslant (a^3-b^3)^2$

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คณิตศาสตร์

อสมการข้อนี้อะครับผมทำแล้วมานไม่ออก
1.จงพิสูจน์ว่า $(a^2-b^2)(a^4-b^4)\leqslant (a^3-b^3)^2$

ตอนแรกกระจายก่อนนะครับ
$(a^2-b^2)(a^4-b^4)\leqslant (a^3-b^3)^2$----------------(1)
$a^6-a^2b^4-a^4b^2+b^6\leqslant a^6-2a^3b^3+b^6$
$a^6+2a^3b^3+b^6\leqslant a^6+a^2b^4+a^4b^2+b^6$
$(a^3+b^3)^2\leqslant (a^2+b^2)(a^4+b^4)$-------------(2)
(1)+(2)
$(a^3+b^3)^2+(a^2-b^2)(a^4-b^4)\leqslant (a^3-b^3)^2+(a^2+b^2)(a^4+b^4)$
$(a^3+b^3)^2-(a^3-b^3)^2\leqslant (a^2+b^2)(a^4+b^4)-(a^2-b^2)(a^4-b^4)$
$4ab(ab)^2\leqslant 2(ab)^2(a^2+b^2)$
$2ab(ab)^2\leqslant (ab)^2(a^2+b^2)$
$0\leqslant (ab)^2(a^2+b^2)-2ab(ab)^2$
$0\leqslant (ab)^2(a^2-2ab+b^2)$
$0\leqslant (ab)^2(a-b)^2$ เนื่องจากมันเป็นกำลังสองสองตัว จึงมีค่าเป็นลบไม่ได้ครับ แต่เป็น 0 ได้ในกรณีที่ a=b หริอ a,b=0 ครับ

[CH!nn@MonZaN]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ตอนแรกกระจายก่อนนะครับ
$(a^2-b^2)(a^4-b^4)\leqslant (a^3-b^3)^2$----------------(1)
$a^6-a^2b^4-a^4b^2+b^6\leqslant a^6-2a^3b^3+b^6$
$a^6+2a^3b^3+b^6\leqslant a^6+a^2b^4+a^4b^2+b^6$
$(a^3+b^3)^2\leqslant (a^2+b^2)(a^4+b^4)$-------------(2)
(1)+(2)

บรรทัดนี้มันผิดนะครับ
เพราะรารู้แค่ว่า $(a^2-b^2)(a^4-b^4)\leqslant (a^3-b^3)^2 \Longleftrightarrow (a^3+b^3)^2\leqslant (a^2+b^2)(a^4+b^4) $ ครับ ดังนั้นจึงนำมาบวกกันไม่ได้

ที่ถูกควรใช้โคชีที่ สมการ 2 ตรงๆครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คณิตศาสตร์

อสมการข้อนี้อะครับผมทำแล้วมานไม่ออก
1.จงพิสูจน์ว่า $(a^2-b^2)(a^4-b^4)\leqslant (a^3-b^3)^2$

จัดรูปไปเรื่อยๆก็ออกแล้วครับไม่ต้องทำอะไรให้ยุ่งยากเลย

$(a^2-b^2)(a^4-b^4)\leq (a^3-b^3)^2$

$a^6-a^2b^4-a^4b^2+b^6\leq a^6-2a^3b^3+b^6$

$0\leq a^2b^4-2a^3b^3+a^4b^2$

$0\leq a^2b^2(a-b)^2$

[คณิตศาสตร์]

อืม ใช่ครับผมก็ยังงงว่าเอาสมการนั่นมาบวกกันทำไมอะครับ แล้วมานมาจากไหนผมก็ไม่ทราบครับ

ผมทำได้แล้วครับ ผมปรึกษาพี่ๆหน่อยครับพี่ทำยังไงให้ทำโจทย์พวกพิสูจน์อสมการเป็นอะครับ ผมยังไม่แตกฉานเลยครับแล้วผมว่ามานยากมากด้วยครับบางเอกลักษณ์ยังไม่เข้าใจเลยอะครับ

[LightLucifer]

จริงด้วยแหะๆผมจะบวกมันไปทำไมเนี่ยๆ เหอๆๆๆ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คณิตศาสตร์

อืม ใช่ครับผมก็ยังงงว่าเอาสมการนั่นมาบวกกันทำไมอะครับ แล้วมานมาจากไหนผมก็ไม่ทราบครับ

ผมทำได้แล้วครับ ผมปรึกษาพี่ๆหน่อยครับพี่ทำยังไงให้ทำโจทย์พวกพิสูจน์อสมการเป็นอะครับ ผมยังไม่แตกฉานเลยครับแล้วผมว่ามานยากมากด้วยครับบางเอกลักษณ์ยังไม่เข้าใจเลยอะครับ

ผมว่าสิ่งแรกที่จะต้องมีคือเอกลักษณ์พีชคณิตต่างๆครับ

ฝึกใช้ให้เคยชิน อย่างเช่น ถ้าอสมการมีเทอม

$(1+a)(1+b)(1+c)$ อยู่

เราต้องรู้ทันทีว่ามันมีอีกรูปหนึ่งคือ

$1+a+b+c+ab+bc+ca+abc$

อย่างที่สองคือ ความสามารถในการมองตัวแปรที่ยุ่งๆ

ให้กลายเป็นตัวแปรอีกชุดนึงซึ่งทำให้เราทำอะไรได้ง่ายกว่า

เช่นถ้าเราต้องพิสูจน์อสมการ

$(a-b)(a^2-b^2)\leq (\sqrt{a^3}-\sqrt{b^3})^2$

ควรมองให้ออกว่าน่าจะเปลี่ยนตัวแปรไปอีกรูปแบบนึง

เพราะอสมการมีเทอมที่ติดรากที่สองทำให้ดูยุ่งๆ

ถ้้าเราให้ $x=\sqrt{a},y=\sqrt{b},z=\sqrt{c}$

จะทำให้เราได้อสมการในรูปของ $x,y,z$ เป็น

$(x^2-y^2)(x^4-y^4)\leq (x^3-y^3)^2$

ซึ่งก็เป็นอสมการเดียวกันกับที่เราเพิ่งพิสูจน์ไปนั่นเอง

อย่างที่สามคือ ความรู้เกี่ยวกับอสมการพื้นฐาน อันนี้ผมถือว่าจำเป็นมากๆ

เพราะผิดกันบ่อยมาก แม้แต่ผมเองซึ่งทำโจทย์อสมการมานับไม่ถ้วนก็ยังผิดอยู่บ่อยครั้ง

อสมการพื้นฐานคืออะไร? ก็อสมการอย่างเช่น

ถ้า $a\leq b$ แล้ว $a^2\leq b^2$ เป็นต้น

เราต้องรู้ว่าเมื่อไหร่อสมการจริง เมื่อไหร่ไม่จริง

หรืออย่างกรณีที่ผิดกันบ่อยๆก็อย่างเช่น

ถ้า $a\leq b$ แล้ว $\dfrac{1}{b}\leq\dfrac{1}{a},-b\leq -a$

อย่างที่สี่คือ ความสามารถในการจัดรูปครับ อันนี้ไม่ต้องการทักษะอะไรเลย

ใช้ความอึดอย่างเดียว บางอสมการแค่จัดรูปย้อนกลับก็ออกแล้วครับ

แต่ถ้าเป็นระดับผู้ที่ชำนาญแล้วการจัดรูปจะทำได้หลากหลายวิธี

อันนี้ต้องฝึกฝนกันเยอะหน่อยครับ

อย่างที่ห้า คือ อสมการสำเร็จรูปทั้งหลาย อันนี้คงไม่ต้องแนะนำอะไรมาก

เพราะส่วนใหญ่จะต้องเรียนกันอยู่แล้ว ฝึกใช้ให้คล่องก็แล้วกัน

ที่เหลือก็อยู่ที่ประสบการณ์ในการทำโจทย์แล้วล่ะครับ

อีกอย่างที่แนะนำให้ทำคือ ลองฝึกสร้างอสมการขึ้นมาด้วยตัวเองโดยใช้ความรู้ที่เรามีอยู่

จะช่วยให้เราชำนาญมากขึ้น

[คณิตศาสตร์]

พี่อธิบายโจทย์เกี่ยวกับอสมการโคชีได้มั๊ยครับว่ามองยังไงจัดรูปยังไง แล้วพี่ให้โจทย์ง่ายๆก่อนก็ได้ครับผมจะฝึกเรื่องนี้ให้แตกฉานครับ

แล้วของ สอวน มานบอกตั้งแต่พื้นฐานมั๊ยครับผมจะได้ซื้อมาทำ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คณิตศาสตร์

พี่อธิบายโจทย์เกี่ยวกับอสมการโคชีได้มั๊ยครับว่ามองยังไงจัดรูปยังไง แล้วพี่ให้โจทย์ง่ายๆก่อนก็ได้ครับผมจะฝึกเรื่องนี้ให้แตกฉานครับ

แล้วของ สอวน มานบอกตั้งแต่พื้นฐานมั๊ยครับผมจะได้ซื้อมาทำ

โจทย์ที่จะใช้อสมการโคชีได้คือ โจทย์ในรูป $A\leq B$

โดยที่ฝั่ง $B$ มีเทอมในรูป $\sqrt{x^2+y^2+\cdots}$ อยู่สองเทอมคูณกัน

ถ้าโจทย์ยากๆ รูปแบบที่ว่าไม่ได้ให้มาตรงๆ เราอาจจะต้องจัดรูปแล้วก็มองให้อยู่ในรูปนี้

ลองแปลงอสมการในกรณีง่ายๆเก็บไว้ใช้ก็ดีครับ เช่นสำหรับ 3 ตัวแปร

$ax+by+cz\leq\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

ลองเอาตัวอย่างไปฝึกดูก่อนครับ

1. $2ab\leq a^2+b^2$

2. $a+2b+2c\leq 3\sqrt{a^2+4b^2+4c^2}$

3. $ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2$

4. $abc(a+b+c)\leq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$

สิ่งสำคัญคือมองตัวแปรสองชุดให้ออก $a,b,c$ กับ $x,y,z$
และตัวแปรที่ว่าอาจจะเป็นตัวเลขก็ได้นะครับ

หนังสือของ สอวน. เหมาะสำหรับผู้ที่เคยทำโจทย์มาบ้างแล้ว
โจทย์จะเน้นปัญหายากๆ จริงๆแล้วหนังสือให้เทคนิคการทำโจทย์เยอะมาก
แต่เราต้องสกัดเอาเองจากการศึกษาวิธีคิดในโจทย์ที่หนังสือนำมาเฉลยให้ส่วนหนึ่งครับ

ผมแนะนำหนังสือ อสมการ เล่มเล็กๆของ สสวท. ครับ เล่มนั้นจะมีปัญหาสำหรับผู้เริ่มต้นค่อนข้างเยอะ

[[SIL]]

เอ่อพี่ nooonuii ครับแล้วเล่มปรนัย 29กับ30 ของอาจารย์ดำรงค์นี่เป็นอย่างไรหรอครับเหมาะสำหรับนำมาฝึกหรือไม่เพราะเล่ม สสวท. ไม่มีเฉลยเลยครับ

[Mathephobia]

ผมไม่เข้าใจที่พูดว่าเล่ม สสวท. ไม่มีเฉลยครับ มันก็เหมือนกับเล่ม สอวน. นั่นแหละครับ มีทั้งมีเฉลยไม่มีเฉลยปนกัน
ส่วนตัวผมคิดว่าเล่ม 29 และ เล่ม 30 ก็ดีนะครับ เพราะช่วงนี้ต้องฝึกอยู่ครับ เดี๋ยวต้องเข้า สอวน. อีกครับปีหน้า

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

เอ่อพี่ nooonuii ครับแล้วเล่มปรนัย 29กับ30 ของอาจารย์ดำรงค์นี่เป็นอย่างไรหรอครับเหมาะสำหรับนำมาฝึกหรือไม่เพราะเล่ม สสวท. ไม่มีเฉลยเลยครับ

เล่มของอาจารย์ดำรงค์ ทิพย์โยธา ผมยังไม่ได้อ่านเลยครับ
เพราะไม่ได้กลับเมืองไทยมานานหลายปีแล้ว
แต่ได้ข่าวว่ามีสองส่วนคือ algebraic กับ analytic
ผมอยากอ่านส่วนของ analytic อยู่้หมือนกันครับ

[คณิตศาสตร์]

ข้อแรกครับ
$2ab\leqslant a^2+b^2$
$0\leqslant a^2-2ab+b^2$
$0\leqslant (a-b)^2$

ข้อ2.
$a+2b+2c\leqslant \sqrt{1^2+2^2+2^2}\sqrt{a^2+4b^2+4c^2}$
$a+2b+2c\leqslant \sqrt{9} \sqrt{a^2+4b^2+4c^2}$
$a+2b+2c\leqslant 3 \sqrt{a^2+4b^2+4c^2}$

ข้อ3.
$(a)(b)+(b)(c)+(c)(a)\leqslant\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{b^2+c^2+a^2}$
$(ab)+(bc)+(ca)\leqslant (\sqrt{a^2+b^2+c^2})^2$
$ab+bc+ca\leqslant a^2+b^2+c^2$

[คณิตศาสตร์]

ข้อ4.
$(ab)(ac)+(bc)(ab)+(ac)(bc)\leqslant \sqrt{(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2}\sqrt{(ac)^2(ab)^2(bc)^2}$
$abc(a+b+c)\leqslant \sqrt{(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2}^2$
$abc(a+b+c)\leqslant a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2$

พี่ขอโจทย์แนวอสมการโคชีหน่อยครับ เอาตามระดับความง่ายยากเลยนะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คณิตศาสตร์

ข้อแรกครับ
$2ab\leqslant a^2+b^2$
$0\leqslant a^2-2ab+b^2$
$0\leqslant (a-b)^2$

ข้อนี้ใช้อสมการโคชีก็ได้ครับ

Hint

$2ab=ab+ba$