Every group of order 15 is cyclic ?

[MINGA]

ทุก ๆ กรุป ขนาด 15 จะเป็นกรุปวัฏจักร หรือเปล่าครับ คิดยังไงครับ ?
ป.ล. ผมเรียน Sylow Thm. แล้วครับ

[passer-by]

ออกตัวก่อนว่า ตอนนี้ ผมไม่ค่อยได้จับงานทาง abstract algebra ดังนั้น ผมคงช่วยอะไรไม่ได้มาก นอกจากจะฝาก link 2 links นี้ ให้ลองอ่านดูนะครับ (ถ้ามีข้อสงสัยเพิ่มเติม อาจต้องถามสมาชิกท่านอื่นแล้วล่ะ)

PROOF(1)

PROOF(2)

p.s. ถ้าให้ prove ว่า ทุก proper subgroup ของ group ดังกล่าว เป็น cyclic จะง่ายกว่านี้มากๆเลยครับ

[nooonuii]

ถ้าเรียน Sylow's Theorem มาแล้วก็น่าจะอ่านวิธีพิสูจน์ต่อไปนี้ได้ไม่ยากครับ

ถ้า $G$ เป็น group ที่มีขนาด $pq$ โดยที่ $p<q$ เป็นจำนวนเฉพาะ และ $p\nmid q-1$ แล้ว $G$ จะเป็น cyclic group

Proof:

Let $H$ and $K$ be Sylow p-subgroup and Sylow q-subgroup respectively. By Sylow's Theorem, $H$ and $K$ are the only one Sylow $p$ and $q$ subgroups of $G$. Thus $H$ and $K$ are normal subgroups of $G$. Note that $H$ and $K$ are cyclic groups and $H\cap K = \{e\}$. Let $a,b$ be generators of $H$ and $K$ respectively. Then $aba^{-1}b^{-1}\in H\cap K =\{e\}$. Thus $ab=ba$. This implies $(ab)^n=a^nb^n$ and hence $(ab)^n=e\Leftrightarrow pq\mid n$. Therefore, $ab$ has order $pq$ and hence $G$ is cyclic.

มีวิธีพิสูจน์ความจริงอันนี้เยอะแยะขึ้นอยู่กับระดับความรู้ที่เรามีอยู่ครับ บ้างก็ใช้ Sylow's Theorem บ้างก็ใช้ Fundamental Theorem of Abelian Groups ถ้ายากกว่านี้ก็ใช้ semidirect product วิธีพิสูจน์นี้ผมเรียบเรียงตามความเข้าใจของผมซึ่งอาจจะขาดรายละเอียดบางอย่างไป ถ้าไม่เข้าใจตรงจุดไหนก็ถามเพิ่มเติมได้ครับ

[MINGA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ถ้าเรียน Sylow's Theorem มาแล้วก็น่าจะอ่านวิธีพิสูจน์ต่อไปนี้ได้ไม่ยากครับ

ถ้า $G$ เป็น group ที่มีขนาด $pq$ โดยที่ $p<q$ เป็นจำนวนเฉพาะ และ $p\nmid q-1$ แล้ว $G$ จะเป็น cyclic group

Proof:

Let $H$ and $K$ be Sylow p-subgroup and Sylow q-subgroup respectively. By Sylow's Theorem, $H$ and $K$ are the only one Sylow $p$ and $q$ subgroups of $G$. Thus $H$ and $K$ are normal subgroups of $G$. Note that $H$ and $K$ are cyclic groups and $H\cap K = \{e\}$. Let $a,b$ be generators of $H$ and $K$ respectively. Then $aba^{-1}b^{-1}\in H\cap K =\{e\}$. Thus $ab=ba$. This implies $(ab)^n=a^nb^n$ and hence $(ab)^n=e\Leftrightarrow pq\mid n$. Therefore, $ab$ has order $pq$ and hence $G$ is cyclic.

มีวิธีพิสูจน์ความจริงอันนี้เยอะแยะขึ้นอยู่กับระดับความรู้ที่เรามีอยู่ครับ บ้างก็ใช้ Sylow's Theorem บ้างก็ใช้ Fundamental Theorem of Abelian Groups ถ้ายากกว่านี้ก็ใช้ semidirect product วิธีพิสูจน์นี้ผมเรียบเรียงตามความเข้าใจของผมซึ่งอาจจะขาดรายละเอียดบางอย่างไป ถ้าไม่เข้าใจตรงจุดไหนก็ถามเพิ่มเติมได้ครับ

อืม..เข้าใจครับ ขอบคุณมากครับ
ช่วยดูให้หน่อยครับว่าวิธีนี้ใช้ได้มั้ย
ให้ $x \in G$ จะได้ว่า $o(x)=1,p,q,pq$ เนื่องจาก จำนวน Sylow p-subgroup และ Sylow q-subgroup มีแค่เพียงอันเดียว ดังนั้น สมาชิกใน G ที่มี order p จะมี p-1 ตัว และ ที่มี order q จะมี q-1 ตัว เมื่อรวมกัน e ก็ได้ว่า มีจำนวน p+q-1 ซึ่งน้อยกว่า pq ดังนั้น G มีสมาชิกที่มี order pq นั่นคือ G เป็น cyclic group

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MINGA

ให้ $x \in G$ จะได้ว่า $o(x)=1,p,q,pq$ เนื่องจาก จำนวน Sylow p-subgroup และ Sylow q-subgroup มีแค่เพียงอันเดียว ดังนั้น สมาชิกใน G ที่มี order p จะมี p-1 ตัว และ ที่มี order q จะมี q-1 ตัว เมื่อรวมกัน e ก็ได้ว่า มีจำนวน p+q-1 ซึ่งน้อยกว่า pq ดังนั้น G มีสมาชิกที่มี order pq นั่นคือ G เป็น cyclic group

เยี่ยมครับ