เฉลยหนังสือ สอวน."อสมการและสมการเชิงฟังก์ชัน" (ส่วนที่ 2 สมการเชิงฟังก์ชัน)

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Switchgear

แม้แต่หนังสือ สอวน. เล่มนี้ ผมก็ไม่ค่อยประทับใจคำอธิบาย เพราะขาดความ
ต่อเนื่องทั้งเนื้อหาและเฉลยตัวอย่างต่างๆ เหมือนลอกๆ มารวมกันให้เสร็จไป
แต่ไม่ได้ลำดับความคิดให้เป็นระบบในการถ่ายทอดความรู้ให้กับผู้อ่านหน้าใหม่
จึงไม่เหมาะจะเป็นหนังสือเรียนรู้ตามขั้นตอน แต่ในแง่การรวมโจทย์ฝึกฝนก็
ถือว่ามีโจทย์เยอะดี!

ไม่อยากบ่นครับ เพราะบ่นแล้วเสียหมาทุกที

แต่ไหนๆมีคนเห็นเหมือนผมแล้วก็ขอลองอีกซักที

หนังสืออสมการของสอวน.เล่มนี้คงเป็นเหมือนที่คุณเล็กว่ามา

คือเป็นหนังสือรวบรวมโจทย์ ไม่ใช่หนังสือเรียน

หนังสือเล่มนี้มีแต่โจทย์ยากๆใส่ไว้เยอะมากซึ่งถือว่าดีสำหรับคนที่มีประสบการณ์มากพอ

แต่ถ้าจะเอามาใช้ในการเรียนการสอน ผมว่ายังห่างไกลจากการเป็นหนังสือเรียน

หนังสืออีกเล่มของสอวน. คือ ทฤษฎีจำนวน

กลับเป็นไปในทางตรงข้ามกัน คือ เนื้อหาที่มีอยู่ในหนังสือถือว่าเป็นหนังสือเรียนได้ดี

แต่มีโจทย์ระดับแข่งขันแทรกมาให้เห็นน้อยมากๆ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ไม่อยากบ่นครับ เพราะบ่นแล้วเสียหมาทุกที
...

มีข้อสังเกตครับ ถ้าไม่อยากเสียหมาคงต้องหันไปเลี้ยงหมู แมวแทนครับ ห้ามเลี้ยงหมาเด็ดขาดไม่งั้นอาจเป็นแบบเดิมอีกครับ

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Switchgear

ขอบคุณทุกคนที่ช่วยตอบและช่วยอ่านครับ :-)

ส่วนตัวแล้วผมว่าโจทย์ FE ท้าทายกว่าอสมการ อาจเป็นเพราะหนังสืออสมการ
มีเยอะแล้ว เลยหาอ่านได้ง่าย แต่ FE หาอ่านได้ยาก และยังไม่มีรูปแบบตายตัว
แต่การไม่มีแหล่งข้อมูลดีๆ ทำให้คนเก่งที่สนใจ FE ก้าวหน้าได้ยากกว่าอสมการ

แม้แต่หนังสือ สอวน. เล่มนี้ ผมก็ไม่ค่อยประทับใจคำอธิบาย เพราะขาดความ
ต่อเนื่องทั้งเนื้อหาและเฉลยตัวอย่างต่างๆ เหมือนลอกๆ มารวมกันให้เสร็จไป
แต่ไม่ได้ลำดับความคิดให้เป็นระบบในการถ่ายทอดความรู้ให้กับผู้อ่านหน้าใหม่
จึงไม่เหมาะจะเป็นหนังสือเรียนรู้ตามขั้นตอน แต่ในแง่การรวมโจทย์ฝึกฝนก็
ถือว่ามีโจทย์เยอะดี!

ผมเคยอ่านเล่มของ สสวท. ซึ่งอธิบายหลักการได้ดีกว่ามาก เสียดายที่หาซื้อ
ทั่วไปไม่ได้ (ผมได้สำเนาจากเพื่อนคนหนึ่ง) แม้ว่าโจทย์และเนื้อหาไม่มาก
เท่ากับเล่ม สอวน. แต่มีการลำดับความคิดในการถ่ายทอดความรู้ดีกว่าเยอะ

ขอโทษผู้เกี่ยวข้องด้วยครับ ที่ผมวิจารณ์ตรงๆ ... และเคยอ่านเจอหลายกระทู้
ก็มีผู้วิจารณ์ทำนองนี้เช่นกัน สำหรับเล่มอื่นของ สอวน. ผมประทับใจครับ!

ใครที่อ่านภาษาอังกฤษได้คล่อง ผมแนะนำหนังสือ FE ที่อธิบายเป็นลำดับขั้น
คือ Lectures on Functional Equations and Their Applications
แต่งโดย J. Aczel ปี 1966 สำนักพิมพ์ Academic Press ซึ่งเป็นหนังสือ
อ้างอิงเล่มแรกสุดในเล่ม สสวท. (แต่ไม่อยู่ในอ้างอิงของ สอวน. ???)

ขอบคุณมากครับ ช่วงนี้อยากหาหนังสือ FE อ่านอยู่พอดี
ซึ่ง ผมเองก็ไม่ค่่อยดูบรรณานุกรมหนังสือ เลยไม่รู้จักหนังสือแปลกๆน่ะคับ
ว่าแต่ หนังสือพวกนี้มันมีขายที่ไหนบ้างอ่ะครับ หรือในประเทศไทยก็คงไม่มี
เคยหาทั่วงานสัปดาห์หนังสือแห่งชาติก็ไม่เห็นมีซักเล่ม

[PP_nine]

ว่าไป สมการเชิงฟังก์ชันแบบ $f : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ ก็หาหนังสือได้ยากนะ
ถ้ามีเล่มเฉพาะเลยก็แจ่มสิ

[Switchgear]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

ขอบคุณมากครับ ช่วงนี้อยากหาหนังสือ FE อ่านอยู่พอดี
ซึ่ง ผมเองก็ไม่ค่่อยดูบรรณานุกรมหนังสือ เลยไม่รู้จักหนังสือแปลกๆน่ะคับ
ว่าแต่ หนังสือพวกนี้มันมีขายที่ไหนบ้างอ่ะครับ หรือในประเทศไทยก็คงไม่มี
เคยหาทั่วงานสัปดาห์หนังสือแห่งชาติก็ไม่เห็นมีซักเล่ม

หนังสือ FE คงหาซื้อในไทยยาก ขนาดศูนย์หนังสือจุฬาฯ ยังไม่มีรายชื่อซักเล่ม
แต่เล่มที่ผมแนะนำไว้ ผมเช็คแล้วว่ามีอยู่ที่ ห้องสมุดคณะวิทย์ จุฬาฯ

ตามข้อมูลต่อไปนี้ (เป็นเล่มที่ Dover นำมาพิมพ์ใหม่ปี 2006)

Author Aczel, J.
Title Lectures on functional equations and their applications/ J.Aczel
Imprint Mineola, N.Y., Dover Publications, 2006

LOCATION: Sci Math
CALL #: QA431 L471a 2006
STATUS: CHK SHELVES

Descript xxi, 510p. ill,; 22 cm
Bibliog. Includes bibliography references and index
Subject Functional equations
ISBN 0486445232 (pbk.)

หากสนใจ FE เล่มอื่นอีก ก็ตามไปดู link ต่อไปนี้

http://library.car.chula.ac.th/searc...ions&1%2C10%2C

ปกติแล้ว ผมจะสั่งซื้อหนังสือที่อยากเก็บสะสมจากเว็บข้างล่างนี้
http://www.abebooks.com/
ผมสั่งมาหลายสิบเล่มแล้ว ในช่วงเวลาหลายปี (หมดตังค์ไปหลาย )

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ขอบคุณครับคุณSwitchgear ถ้ามีโอกาสผมก็อยากสะสมด้วยคนครับ
ทีนี้วันนี้ผมจะลงเฉลยข้อ 6 หัวข้อ2.2 AMOC 2000
จาก $f(x)+xf(1-x)=x^2-1...(1)$
ให้แทน x ด้วย 1-x จะได้ $f(1-x)+(1-x)f(x)= (1-x)^2-1....(2)$
นำ x มาคูณ(2) จะได้ $xf(1-x)+(x-x^2)f(x)= x^3-2x^2....(3)$
นำ (3)-(1) จะได้ $f(x)=\frac{x^3-3x^2+1}{-x^2+x-1} $

[Keehlzver]

ผมขออนุญาตลงข้อที่ทำได้ไว้ก่อนนะครับ

ข้อ $6$ $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชั่น $f(x)+xf(1-x)=x^2-1$

Solution

ใช้การเปลี่ยนตัวเเปรเเบบหนึ่งต่อหนึ่ง $x\rightarrow 1-x$ ได้ $f(x)=-\frac{x^3-3x+1}{x^2-x+1}$

ข้อ $9$ (HK MO 1987-1988) จงหา $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชั่น $f(x)f(y)-f(xy)=x+y$ $(x,y\in \mathbb{R} )$

Solution

เเทน $x=y=0$ จะได้ว่า $f(0)=1,f(0)=0$ ถ้า $f(0)=1$ เเทน $x=0$ ได้ $f(y)=y+1$
ถ้า $f(0)=0$ เเทน $x=0,y=1$ ได้ $0f(0)f(1)-f(0)=1$ เป็นข้อขัดเเย้ง ดังนั้นได้ $f(x)=x+1$ เป็นคำตอบเดียว

ข้อ $10$ ให้ $a\not= \pm 1$ จงหา $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชั่น $f(\frac{x}{x-1})=af(x)+b(x) (x\not=1)$ เมื่อ $b(x)$ เป็นฟังก์ชั่นที่กำหนดมาให้

Solution

ใช้การเปลี่ยนตัวเเปรเเบบหนึ่งต่อหนึ่ง เเล้วจัดรูปได้ $f(x)=\frac{ab(x)+b(\frac{x}{x-1})}{1-a^2}$

ข้อ $11$ ฟังก์ชั่นจริงใดที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชั่น $xf(x)+2xf(-x)=-1$

Solution

เปลี่ยนตัวเเปรเเบบหนึ่งต่อหนึ่ง $x\rightarrow-x$ ได้ $f(-x)=\frac{1}{x}$ $x\not=0$ เป็นคำตอบ

ข้อ $12$ จงหาฟังก์ชั่นจริงที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชั่น $f(x)+f(\frac{1}{1-x})=x$ $(x,y \in \mathbb{R}$ ที่ $x,y$ ต่างไม่เท่ากับ $0,1$)

Solution

เปลี่ยนตัวเเปรเเบบหนึ่งต่อหนึ่ง $x\rightarrow\frac{1}{1-x},x\rightarrow\frac{x-1}{x}$ ได้ $f(x)=x+\frac{1}{x-1}+\frac{x-1}{x}$

ข้อ $13$ จงหาฟังก์ชั่นจริงทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชั่น $\frac{f(-x)}{x}+f(\frac{1}{x})=x$ $(x \in \mathbb{R}$ ที่ $x$ ต่างไม่เท่ากับ $0$)

Solution

ใช้การเปลี่ยนตัวเเปรเเบบหนึ่งต่อหนึ่ง ได้ $f(x)=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2x}$

ข้อ $15$ (Korean MO 1979) จงหา $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชั่น $f(\frac{x-3}{x+1})+f(\frac{3+x}{1-x})=x (x\not=\pm 1)$

Solution

(จากหนังสือ) เปลี่ยนตัวเเปรเเบบหนึ่งต่อหนึ่ง $x\rightarrow\frac{x-3}{x+1},x\rightarrow\frac{3+x}{1-x}$ จับสมการที่ได้มาบวกกัน เเก้หา $f(x)$ ได้ $f(x)=\frac{4x}{1-x^2}-\frac{t}{2}$

ข้อ $16$ (Lithunia MO 2000) $f:$จำนวนจริงบวก$\rightarrow \mathbb{R}$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชั่น $f(x^{2000})=5f(x^{-2000})+sin x$ เมื่อ $x$ เป็นจำนวนจริงบวก

Solution

เปลี่ยนตัวเเปรเเบบหนึ่งต่อหนึ่ง $x\rightarrow-x$ ได้ื $f(x^{2000})=-\frac{5}{24}sin(\frac{1}{x})-\frac{1}{24}sin x$

ข้อ $17$ ให้ $c$ เป็นค่าคงตัว จงหา $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชั่น $f(x)+cf(2-x)=(x-1)^3$

Solution

เปลี่ยนตัวเเปรเเบบหนึ่งต่อหนึ่ง จะได้ $f(x)=\frac{(x-1)^3}{c+1}$ เมื่อ $c$ เป็นค่าคงตัว

ข้อ $24$ จงหา $f:$จำนวนจริงยกเว้น$0,1$ $\rightarrow\mathbb{R}$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน

Solution

เปลี่ยนตัวเเปรเเบบหนึ่งต่อหนึ่ง $x\rightarrow\frac{1}{1-x},x\rightarrow\frac{x-1}{x}$ ได้ $f(x)=\frac{x+1}{x-1}$

ข้อ $25$ (AMOC 2001) $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชั่น $f((x-y)^2)={f(x)}^2-2xf(y)+y^2$ $(x\in \mathbb{R})$

Solution

เเทน $x=y=0$ ได้ $f(0)=0$ หรือ $f(0)=1$ ถ้า $f(0)=0={f(x)}^2-2xf(x)+x^2$ จะได้ $f(x)=x$ ถ้า $f(0)=1={f(x)-x}^2$ จะได้ $f(x)=x+1$ หรือ $f(x)=x-1$ เมื่อนำไปตรวจคำตอบพบว่า $f(x)=x$ หรือ $f(x)=x+1$ เท่านั้นที่เป็นคำตอบ

ข้อ $32$ (Jensen's functional equation) จงหา $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชั่น $f(\frac{x+y}{2})=\frac{f(x)+f(y)}{2}$

Solution

ให้ $g(x)=f(x)-f(0)$ จากโจทย์ได้ว่า $g(\frac{x+y}{2})=f(\frac{x+y}{2})-f(0)=\frac{f(x)+f(y)}{2}-f(0)$ ให้ $x=0$ จะได้ $f(\frac{x}{2})=\frac{1}{2}f(x)+\frac{1}{2}f(0)$ ในทำนองเดียวกัน $f(\frac{y}{2})=\frac{1}{2}f(y)+\frac{1}{2}f(0)$ นำสมการทั้งสองมาบวกกัน จะได้ $f(\frac{x}{2})+f(\frac{y}{2})=\frac{1}{2}[f(x)+f(y)]+f(0)$ พิจารณา $g(\frac{x}{2})+g(\frac{y}{2})=f(\frac{x}{2})+f(\frac{y}{2})-2f(0)=\frac{1}{2}[f(x)+f(y)]-f(0)=g(\frac{x+y}{2})$ ซึ่งสอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชันของโคชี ดังนั้น $f(x)=g(x)+f(0)$ เมื่อ $g$ เป็นฟังก์ชั่นที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชั่นของโคชี ถ้ามีเงื่อนไขเพิ่มเติมมาว่า $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องอย่างน้อยหนึ่งจุด,เป็นฟังก์ชั่นมีขอบเขต หรือเป็นฟังก์ชั่นทางเดียวเเล้ว $f(x)=ax+b$

ข้อ $33$ (South African MO 2000) จงหาฟังก์ชันจริง f(x) ที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชั่น $f(x)+3f(1-x)=x^2$

Solution

เปลี่ยนตัวเเปรเเบบหนึ่งต่อหนึ่ง จะได้ $f(x)=\frac{1}{4}x^2-\frac{3}{4}x+\frac{3}{8}$

สำหรับข้อ $3$ ผมติดใจตรงการเปลี่ยนตัวเเปรน่ะครับว่าทำไมเราเปลี่ยน $y=y^2$ ได้ มันไม่ใช่การเปลี่ยนตัวเเปรเเบบหนึ่งต่อหนึ่งไม่ใช่เหรอครับ

[Switchgear]

คุณ Keehlzver ช่วยเฉลยเพิ่มอีกเยอะเลย ... ขอบคุณมากครับ!

สำหรับหนังสือต่างๆ เห็นมีกระทู้แจก E-Book Math อยู่ 2 กระทู้ ซึ่งผมเองก็เคย
เข้าไปลองดึงมาอ่านหลายเล่ม เป็นการประหยัดตังค์ และได้รู้ก่อนว่าเนื้อหาในเล่ม
ดีหรือตรงกับที่เราต้องการหรือไม่ ?

ผมเจอ Link ที่รวมหนังสือ E-Book Math ทั้งหลายไว้เยอะมาก ใครสนใจลองดู
http://www.4shared.com/dir/6095945/5..._problems.html

[Siren-Of-Step]

Alfred Posamentier - Challenging Problems In Algebra.djvu ของผมมันโหลดไม่ได้

[PP_nine]

บังเอิญผมไปเจอเล่มนี้ในเน็ตเข้า (หายากมากกก ) ไม่รู้ว่าใช่เล่มที่พูดถึงป่าวว

http://www.4shared.com/account/file/...l_Equatio.html

อีกอันเป็นอสมการนะครับ แต่เล่มนี้ดีมากๆเลยอัพโหลดเผื่อ

http://www.4shared.com/account/docum...ts_in_Ine.html

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

บังเอิญผมไปเจอเล่มนี้ในเน็ตเข้า (หายากมากกก ) ไม่รู้ว่าใช่เล่มที่พูดถึงป่าวว

http://www.4shared.com/account/file/...l_Equatio.html

อีกอันเป็นอสมการนะครับ แต่เล่มนี้ดีมากๆเลยอัพโหลดเผื่อ

http://www.4shared.com/account/docum...ts_in_Ine.html

ขอบคุณมากๆครับ ชอบเล่มอสมการมาก

[kongp]

ขอบคุณสำหรับลิงค์หนังสือต่างๆ ครับ อยู่ตจว. ที่จังหวัดเลยโน่น แต่ชอบมาเข้าสังคมที่นี่ครับ แก่แล้วแต่ยังมีไฟศึกษากะเค้า รูปสมการต้องจำใช่มั้ยครับ
และประโยชน์ของโจทย์ มีต่อสายอาชีพไหนบ้างครับเนี่ย

หนังสือผมเห็นแล้วแต่ยังไม่ได้ซื้อ วิชาอื่นก็อ่านตำราภาษาอังกฤษมาตลอด แต่ไม่จบซะที ผมเข้าใจจุดประสงค์จึงไม่ทิ้งคณิตศาสตร์ไป แม้หนังสือทางวิศวกรรมจะบอกตรงๆ กว่า แถมมีภาพ มีสูตรฟิสิกส์ให้ดูแบบเน้นๆ ชัดๆ

[-Math-Sci-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

ผมขออนุญาตลงข้อที่ทำได้ไว้ก่อนนะครับ

ข้อ $6$ $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชั่น $f(x)+xf(1-x)=x^2-1$

Solution

ใช้การเปลี่ยนตัวเเปรเเบบหนึ่งต่อหนึ่ง $x\rightarrow 1-x$ ได้ $f(x)=-\frac{x^3-3x+1}{x^2-x+1}$

:

พจน์ -3x ต้องเป็น $-3x^2$ รึเปล่าครับ

[-Math-Sci-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

ข้อ $10$ ให้ $a\not= \pm 1$ จงหา $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชั่น $f(\frac{x}{x-1})=af(x)+b(x) (x\not=1)$ เมื่อ $b(x)$ เป็นฟังก์ชั่นที่กำหนดมาให้

Solution

ใช้การเปลี่ยนตัวเเปรเเบบหนึ่งต่อหนึ่ง เเล้วจัดรูปได้ $f(x)=\frac{ab(x)+b(\frac{x}{x-1})}{1-a^2}$

ข้อ $12$ จงหาฟังก์ชั่นจริงที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชั่น $f(x)+f(\frac{1}{1-x})=x$ $(x,y \in \mathbb{R}$ ที่ $x,y$ ต่างไม่เท่ากับ $0,1$)

Solution

เปลี่ยนตัวเเปรเเบบหนึ่งต่อหนึ่ง $x\rightarrow\frac{1}{1-x},x\rightarrow\frac{x-1}{x}$ ได้ $f(x)=x+\frac{1}{x-1}+\frac{x-1}{x}$

ข้อ $13$ จงหาฟังก์ชั่นจริงทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชั่น $\frac{f(-x)}{x}+f(\frac{1}{x})=x$ $(x \in \mathbb{R}$ ที่ $x$ ต่างไม่เท่ากับ $0$)

Solution

ใช้การเปลี่ยนตัวเเปรเเบบหนึ่งต่อหนึ่ง ได้ $f(x)=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2x}$

ช่วยดูข้อ 12 หน่อยครับ ได้ไม่ตรง แล้วก็ ข้อ 10 ช่วยแสดงวิธีทำหน่อยได้มั๊ยครับ พอดีไปไม่ถูกเลย

ขอบคุณครับ

[Keehlzver]

เล่นขุดกันขึ้นมาแบบนี้ เห็นทีคงต้องใช้เวลาครับ ถ้าหากสงสัยว่าผมทำผิด ก็ให้ถือว่าผิดไปเลยครับ ลองเอาคำตอบที่คุณได้ check กลับไปดูครับ ถ้าถูกก็คือถูกนั่นแหละ ผมเองก็ยอบรับว่าทำไปเเค่รอบเดียวพวกเปลี่ยน 1-1 ยังไม่ได้ลอง check ดูครับว่าสอดคล้องจริง

ส่วนข้อที่ถามมาอันนั้นจำได้ว่าทำไปตามปกติแหละครับ ไม่ได้ซับซ้อนอะไร (ทำแบบเดิมกำจัดให้เหลือแต่ $f(x)$) เเล้วก็ตรงคำตอบที่ผมได้ ผมจำได้ว่า check คำตอบเรียบร้อยเเล้วครับ