TUGMOs

[faliona]

1. วันเกิดมหัศจรรย์ คือวันเกิดในปีที่เรามีอายุเท่าผลบวกของเลขโดดในปี ค.ศ. ที่เกิด เช่น คนที่เกิดปี 1899 จะมีวันเกิดมหัศจรรย์ใป 1926 และคนเกิดปี 1908 จะมีวันเกิดมหัศจรรย์ 1926 เช่นเดียวกัน จงหาปีที่ถัดจาก 1926 (ปีแรก)ซึ่งมีคนที่เกิด ค.ศ. ต่างกันแต่มีวันเกิดมหัศจรรย์ในปีเดียวกัน

2. จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของจำนวนเต็ม x ทั้งหมดที่ $(x+2)(x+4)/(x+3)^2 + 1/4$ สามารถเขียนได้ในรูป $a^2$ เมื่อ a เป็นจำนวนตรรกยะ โดยที่ -332 น้อยกว่าหรือเท่ากับ x และ x น้อยกว่าหรือเท่ากับ 326

3. จงหาจำนวนเต็มสามหลัก M ซึ่งมีสมบัติว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของจำนวน 6 จำนวน (แตกต่างกัน) ที่เกิอจากการเรียงสับเปลี่ยนตัวเลขให้หลักต่างต่างของ M จะมีค่าเท่ากับ M
ตัวอย่าง ตัวเลขที่เกิดจากการเรียงสับเปลี่ยนของ 123 คือ 123 132 213 231 312 321

4. จงหาจำนวนนับ 4 หลัก ที่มีค่าน้อยสุดที่สามารถเขียนในรูปของจำนวนเต็มบวก 18 ตัวเรียงกันบวกกัน หรือ 19, 20 ตัวเรียงกันบวกกัน

5.ให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงใดใด ซึ่งสอดคล้องระบบสมการ
$3x+4y+2z=8$
$12xy+8yz+6zx =19$
$xyz=1/2$
และ $x\ge y\ge z$ จงหา $(x,y,z)$
<ข้อนี้มี 2 คำตอบนะ เราคิดได้คำตอบนึงอีกคำตอบคิดไม่ออกงะ เอาสหายคิดดูสิออกปะ>

6. หลังจากการแข่งขัน TUGMOs ผู้จัดคิดว่าจะไปเที่ยวต่างจังหวัดโดยอยากไป พัทยา ระยอง ตราด และดำเนินการเลือกสถานที่โดยผู้จัดการแข่งขันทั้ง 20 คน เขียนชื่อสถานที่ที่อยากไปเรียงตามลำดับจากมากไปน้อยลงในกระดาษ พบว่า 11 คนอยากไปพัทยามากกว่าระยอง 12คนอยากไปตราดมากกว่าพัทยา และ 14คน อยากไประยองมากกว่าตราด อยากทราบว่าสถานที่ใดถูกเลือกเป็นอันดับแรกมากครั้งที่สุด ถ้าทราบว่าทุกลำดับการเรียงสถานที่ปรากฏในกระดาษอย่างน้อย 1 ใบ

[kanakon]

ข้อ 3 ที่คิดได้คือ 481,518,592,629
ข้อ 4 ผมคิดได้ 1007

[M@gpie]

นี่ข้อสอบระดับไหนครับนี่ ทำไมข้อ 5 มันซาดิสม์พอควรเลย $(x,y,z)=(4/3,1/2,1/2)$

[nooonuii]

ผมว่าข้อ $5$ ไม่ยากนะ ถ้ามองให้เป็นตัวแปรของ $3x,4y,2z$

[M@gpie]

ผมก็มองแบบนั้นครับ แต่ เด็กที่ไม่รู้เทคนิคนี้ จะมองไม่ออกน่ะสิครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ M@gpie

นี่ข้อสอบระดับไหนครับนี่ ทำไมข้อ 5 มันซาดิสม์พอควรเลย $(x,y,z)=(4/3,1/2,1/2)$

เห็นด้วยครับว่ามัน.... แต่ผมได้คำตอบ

คำตอบและแนวคิด

$(1,1,\frac{1}{2})$ กับ $(\frac{4}{3},\frac{3}{4},\frac{1}{2})$
ผมทำโดย ให้ $a =3x , b=4y, c= 2z$ แล้วจัดอยูในรูปผลบวกของราก ผลคูณของราก ในรูปของพหุนามกำลังสาม หารากได้ 3 ค่า คือ 1,3,4
ซึ่งสับเปลี่ยนกันได้อีก 6 รูปแบบของ a, b, c และหาค่า x,y,z ตามเงื่อนไขของโจทย์ที่กำหนดให้

[M@gpie]

โอ๊ะผมคิดเลขผิดไปครับ ต้องเป็นแบบที่คุณหยินหยางทำ ขอบคุณครับ

[nooonuii]

ข้อ 3 ผมว่าน่าจะรวมเลขที่มีเลขโดดเป็นศูนย์ด้วยนะครับ อย่างเช่น $407$

[kanakon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ข้อ 3 ผมว่าน่าจะรวมเลขที่มีเลขโดดเป็นศูนย์ด้วยนะครับ อย่างเช่น $407$

ผมลืมคิดกรณีที่มี 0 ในจำนวนนี้เลยตกไปครับ

[teamman]

ผมงงโจทย์ข้อ 4 อ่าครับ ช่วยอธิบายหน่อบครับ

[nongtum]

ข้อสี่ผมว่าไม่น่ามีคำตอบนะครับ เพราะถ้ามีจำนวนเต็ม $N$ ที่ว่า จะมีจำนวนเต็ม $a,b,c$ ที่ทำให้
$\quad a+(a+1)+\dots+(a+17)=18a+153=N$
$\quad b+(b+1)+\dots+(b+18)=19b+171=N$
$\quad c+(c+1)+\dots+(c+19)=20c+190=N$
ซึ่งเห็นได้ชัดว่าบรรทัดแรกเป็นเลขคี่เสมอ ในขณะบรรทัดที่สามเป็นเลขคู่เสมอครับ

ข้อสามลืม 370 ไปอีกตัวหรือเปล่าครับ

[faliona]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kanakon

ข้อ 3 ที่คิดได้คือ 481,518,592,629
ข้อ 4 ผมคิดได้ 1007

ได้เหมือนกันเลยคะ แต่ว่าเฉลยไม่มี 481 อะดิ ก็เลยม่ายรู้ว่าเพราะอะไร ทำไม 481ไม่ได้เหมือนกัน

[faliona]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ M@gpie

นี่ข้อสอบระดับไหนครับนี่ ทำไมข้อ 5 มันซาดิสม์พอควรเลย $(x,y,z)=(4/3,1/2,1/2)$

ระดับ ม.3ขึ้น ม.4คะแต่โหดมากๆๆๆๆๆๆๆๆ ไปหน่อย

[faliona]

เออ แต่ละข้อช่วยอธิบายแนวคิดหน่อยได้ไหมคะ อยากได้คำแนะนำอะคะ คือว่าถ้าบอกแต่คำตอบเนี่ยก็ยังไม่รู้เรื่องอยู่ดี ช่วยสอนบ้างได้ไหม

[titletam]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

เห็นด้วยครับว่ามัน.... แต่ผมได้คำตอบ

คำตอบและแนวคิด

$(1,1,\frac{1}{2})$ กับ $(\frac{4}{3},\frac{3}{4},\frac{1}{2})$
ผมทำโดย ให้ $a =3x , b=4y, c= 2z$ แล้วจัดอยูในรูปผลบวกของราก ผลคูณของราก ในรูปของพหุนามกำลังสาม หารากได้ 3 ค่า คือ 1,3,4
ซึ่งสับเปลี่ยนกันได้อีก 6 รูปแบบของ a, b, c และหาค่า x,y,z ตามเงื่อนไขของโจทย์ที่กำหนดให้

ไอ้ตรงจัดอยู่ในรูปผลบวกรากผลคูณรากในรูปพหุนามกำลังสามมันทำไงครับขอละเอียดนิดนึงไม่เคยเหน