ช่วยคิดหน่อยนะครับคิดไม่ออก ^^

[titletam]

1. กำหนดให้ $x^2 = yz+1$, $y^2 = zx+2$ เเละ $z^2 = xy+4$ ค่ามากที่สุดของ x+y+z เป็นเท่าไร
2.จงหาคำตอบของระบบสมการ $x-\sqrt{yz} = 42$ , $y-\sqrt{zx} = 6$ เเละ $z-\sqrt{xy} = -30$
3. ค่าของ $\frac{1 + \frac{1}{2^4}-\frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4}+\frac{1}{5^4}-\frac{1}{6^4}...}{1-\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}-\frac{1}{4^4}+\frac{1}{5^4} -\frac{1}{6^4}+...}$ เป็นเท่าไร
4. กำหนด $1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}+... = \frac{\pi^2}{6}$ ค่าของ $1+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\frac{1}{49}+...$ เป็นเท่าไร
5.จงเเยกตัวประกอบของ $a^3+b^3+c^3-3abc$
6.สัมประสิทธิ์ของพจน์ $x^{2007}$ จากการกระจาย $(x+1)^7(x^2+1)^5(x^4+1)^3(x^8+1)(x^{16}+1)(x^{32}+1)(x^{64}+1)(x^{128}+1)(x^{256}+1)(x^{512}+1)(x^{1024}+1)$
เป็นเท่าไร
7.กำหนด a,b,c เป็นจำนวนจริงที่เเตกต่างกันทั้งหมดเเละเป็นค่าคงที่จงหาคำตอบของสมการ $\frac{ab(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}+\frac{bc(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+\frac{ca(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)} = 0$
8.กำหนด x,y,z เป็นจำนวนเต็มบวก จงหาคำตอบทั้งหมดของสมการ $2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2-x^4-y^4-z^4 = 3591$
9.จงหา n ทั้งหมดที่ทำให้ n+20 เเละ n-20 เป็นกำลังสองสมบูรณ์ทั้งคู่
10.จงหา n ทั้งหมดที่ทำให้ n+9 , 16n+9เเละ 27n+9 เป็นกำลังสองสมบูรณ์ทั้งคู่

เเค่นี้ก่อนนะครับเมื่อย ยังไงถ้าคิดได้เเล้วช่วยลงวิธีทำด้วยนะครับ ^^

[M@gpie]

นี่คงไม่ใช่โจทย์ ม.ต้นกระมังครับเนี่ย ทำไมโหดพอสมควรเลย

[titletam]

ม.ต้นครับ - -

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ titletam

3. ค่าของ $\frac{1 + \frac{1}{2^4}-\frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4}+\frac{1}{5^4}-\frac{1}{6^4}...}{1-\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}-\frac{1}{4^4}+\frac{1}{5^4} -\frac{1}{6^4}+...}$ เป็นเท่าไร

7.กำหนด a,b,c เป็นจำนวนจริงที่เเตกต่างกันทั้งหมดเเละเป็นค่าคงที่จงหาคำตอบของสมการ $\frac{ab(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}+\frac{bc(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+\frac{ca(x-b)(x-a)}{(b-c)(b-a)} = 0$

เเค่นี้ก่อนนะครับเมื่อย ยังไงถ้าคิดได้เเล้วช่วยลงวิธีทำด้วยนะครับ ^^

ไม่ทราบว่าโจทย์ข้อ 3 ค่าบวกลบสลับกันถูกต้องหรือป่าวครับ ส่วนข้อ 7 พจน์สุดท้ายเป็น $\frac{ca(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}$ หรือป่าวครับ

คำตอบ
ข้อ $5$ คือ $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$
ข้อ $6$ คือ $4096$
ข้อ $9$ คือ $29$ และ $101$
ข้อ $10$ คือ $0$ และ $280$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ titletam

ม.ต้นครับ - -

ม.ต้น ย่อมาจาก มหาวิทยาลัยตอนต้นหรือป่าวครับ

[titletam]

ข้อ 7 เเก้ให้เเล้วนะครับเเต่ข้อ 3. นี้ข้อมูลผมมันเขียนมาอย่างนี้นะครับไม่ทราบว่าโจทย์ผิดหรือป่าวนะ พี่ๆช่วยๆกันดูทีครับ

[nooonuii]

ข้อ 3 โจทย์ไม่ผิดครับ แต่ถ้าจะทำโจทย์ข้อนี้ให้ถูกต้องสมบูรณ์โดยไม่มีคำถามอื่นๆตามมา
ต้องใช้ความรู้ระดับมหาวิทยาลัยครับโดยเฉพาะความจริงที่ว่าทั้งสองอนุกรมในโจทย์ลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์
อนุกรมที่ลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์จะทำให้เราสามารถโยกย้ายเทอมต่างๆในอนุกรมโดยที่ค่าของผลบวกยังไม่เปลี่ยนแปลง
(ถ้าอนุกรมลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข การโยกย้ายเทอมต่างๆในอนุกรมจะส่งผลให้เราได้ค่าผลบวก
ที่ต่างออกไปจากอนุกรมเดิม)

กำหนดให้

$S=1+\dfrac{1}{2^4}-\dfrac{1}{3^4}+\dfrac{1}{4^4}+\dfrac{1}{5^4}-\dfrac{1}{6^4}+\cdots$

$T=1-\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{3^4}-\dfrac{1}{4^4}+\dfrac{1}{5^4}-\dfrac{1}{6^4}+\cdots$

จะได้ว่า

$S=(1+\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{3^4}+\dfrac{1}{4^4}+\cdots)-2(\dfrac{1}{3^4}+\dfrac{1}{6^4}+\dfrac{1}{9^4}+\cdots)$

$=(1-\dfrac{2}{3^4})(1+\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{3^4}+\dfrac{1}{4^4}+\cdots)$

$T=(1+\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{3^4}+\dfrac{1}{4^4}+\cdots)-2(\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{4^4}+\dfrac{1}{6^4}+\cdots)$

$=(1-\dfrac{2}{2^4})(1+\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{3^4}+\dfrac{1}{4^4}+\cdots)$

ดังนั้น

$\dfrac{S}{T}=\dfrac{79}{81}\cdot\dfrac{8}{7}=\dfrac{632}{567}$

[titletam]

11.กำหนด a,b,cเป็นจำนวนจริงซึ่ง a+b+c>0 เเละสอดคล้องกับระบบสมการ $a^2bc+ab^2c+abc^2+8 = a+b+c $ ,$a^2b+a^2c+b^2c+b^2a+c^2a+c^2b+3abc = -4 $,$a^2b^2c + a^2bc^2+ab^2c^2 = 2+ab+bc+ca$ ค่าของ $a^5+b^5+c^5$ เป็นเท่าไร

12. กำหนด x,y,z เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งสอดคล้องกับสมการ $ \frac{1}{x}-\frac{1}{xy}-\frac{1}{xyz} = \frac{19}{97}$ ค่าของ $4x +3y +4z $ เป็นเท่าไร เมื่อ $x < y < z$
13. นำจำนวนเต็มบวกตั้งเเต่ 1 ถึง n ใส่ลงในตารางขนาด n x n โดยไม่ซ้ำกัน ทั้งเเนวตั้ง เเนวนอน เเละเเนวทะเเยง จะได้ทั้งหมดกี่วิธี
14.โยนลูกเต๋าที่เเตกต่างกันทั้งหมด n ลูก จำนวนวิธีที่ผลรวมเเต้มเป็น 5 n เป็นเท่าไร
15. A มีเหรียญ n+1 เหรียญ B มีเหรียญ n เหรียญ ถ้าทั้ง 2 คนโยนเหรียญของตนทั้งหมดพร้อมกัน จงหาความน่าจะเป็นที่จำนวนเหรียญที่ออกหัวของ A มากกว่าจำนวนเหรียญที่ออกหัวของ B


ต่อเลยนะครับใครที่ทำข้อไหนได้เเล้วช่วยลงวิธีคิดให้ด้วยนะครับบบบบ

[หยินหยาง]

คำตอบของข้อ 11 คือ 1279
ส่วนข้ออื่นๆ เดี๋ยวจะลองคิดดู แต่รู้สึกว่าไม่หมูเลยครับ

ยังมีอีกกี่ข้อครับ เป็นข้อสอบของการแข่งขันอะไรครับ

[titletam]

มีเรขาอีกนิดหน่อยครับว่างๆจะเอามาลง มันเป็นโจทย์ที่ผมจดมาจากเพื่อนอีกทีเขาบอกว่าไปเรียนพิเศษมาผมเห็นว่ามันยากดีเลยเอามาลงให้พี่ๆช่วยคิดยังไงก็ฝากด้วยนะครับ

[หยินหยาง]

ขอตอบข้อที่12 ว่าคำตอบคือ

ดูที่นี่

555

[faliona]

ข้อ 5,6,10ขอวิธิทำหน่อยนะคะ ขอบคุณล่วงหน้า

[nongtum]

ทยอยเอาแนวคิดเฉพาะข้อที่ได้คิดก่อน หากทดได้เพิ่มจะพยายามพิมพ์ให้ครับ

ข้อ 1 (เฉพาะเทคนิค เพราะคำตอบผิด)

สมมติ $y=kx,\ z=lx$ สำหรับ $k,l$ บางตัว เนื่องจาก $x \ne 0$ ดังนั้น $$2=\frac{y^2-zx}{x^2-yz}=\frac{k^2-l}{1-kl}=\frac{l^2-k}{1-kl}=\frac{z^2-xy}{x^2-yz}$$ ทำให้ $k^2+k=l^2+l$ โดยที่ $kl\ne1$ ดังนั้น $(k+\frac12)^2=(l+\frac12)^2$

จากเงื่อนไขที่ได้ เราจะแบ่งเป็นสองกรณีดังนี้

กรณีแรก $k=l$ จะพบว่า $$\frac{k^2-k}{1-k^2}=\frac{-k}{1+k}=2,\qquad k\ne\pm1$$ดังนั้น $k=l=-\frac23$ นั่นคือ $x=\pm\frac{3}{\sqrt5},\ y=z=\mp\frac{2}{\sqrt5}$

กรณีหลัง $l+k+1=0$ จะพบว่า $x+y+z=0$
แต่จาก $y^2-x^2=z(x-y)+1$ จะได้ $(x+y+z)(x-y)+1=1\ne0$
ค่าสูงสุดที่ต้องการจึงเท่ากับ $\frac{1}{\sqrt5}$

ข้อ 4

ให้ $S,T$ แทนผลรวมที่โจทย์กำหนดให้และผลรวมที่ต้องการหาตามลำดับ ดังนั้น $T=S-\frac14S=\frac{\pi^2}{8}$

ข้อ 5

ลองเริ่มจากแทน $x=-y-z$ เพื่อแสดงว่า $x+y+z$ เป็นตัวประกอบของ $x^3+y^3+z^3-3xyz$ สิครับ

ข้อ 11

จัดรูป แล้วแยกตัวประกอบเทอมทางซ้ายของแต่ละสมการก่อน จะได้
$$\begin{eqnarray}
(a+b+c)(abc-1)&=-8&\\
(a+b+c)(ab+bc+ca)&=&2\\
(ab+bc+ca)(abc-1)&=-4&\\
\end{eqnarray}$$ดังนั้น$$(a+b+c)(ab+bc+ca)^2(abc-1)=(a+b+c)(abc-1)$$
กำจัดเทอมซ้ำ และพิจารณาเงื่อนไข $a+b+c>0$ ประกอบ จะพบว่า $ab+bc+ca=-1=abc,\ a+b+c=4$
จาก $\sum a^2=(\sum a)^2-2\sum ab=18,\ \sum a^3=(\sum a)(\sum a^2-\sum ab)+3abc=73$ $\sum a^2b^2=(\sum ab)^2-2abc\sum a=9$ และ
$\sum (a^2b^3+a^3b^2)=4\sum a^2b^2-abc(\sum ab)=35$
ดังนั้น $\sum a^5=\sum a^2\sum a^3-\sum (a^2b^3+a^3b^2)=1279$

ข้อ 12

พิจารณา $$\frac1{x}-\frac{19}{97}=\frac1{xy}(1+\frac1{z})$$ จะพบว่า $97y-19xy=97(\frac{z+1}{z})$ นั่นคือ $z\vert 97$
เมื่อ $z=1$ จะได้ $97(\frac{y-2}{y})=19x$ เพราะ $y\ne 2$ ดังนั้น $y=1,97$ แต่ทั้งสองค่าจะให้ $x$ ที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม
เมื่อ $z=97$ จะได้ $97-\frac{98}{y}=19x\quad\dots(*)$ ดังนั้น $y=1,2,7,14,49,98$
แต่เมื่อทดสอบกับ $(*)$ จะพบว่ามีแต่ $(x,y,z)=(5,49,97)$ ที่สอดคล้อง ดังนั้น $4x+3y+4z=555$

[หยินหยาง]

ต้องขอบคุณคุณ nongtum ที่มาช่วยแสดงแนวคิดให้ ผมไม่ค่อยถนัดในการใช้ latex และใช้เวลาค่อนข้างมากในการพิมพ์
ส่วนข้อ 11 ก็คิดคล้ายๆกัน แต่ทำไมผมได้คำตอบไม่ตรงกันอะ
แนวคิดผมคือ
ผมได้ $a+b+c=4, ab+bc+ca=-1, abc = -1$
ซึ่งจะได้ว่า a,b,c เป็นรากของสมการ $x^3+4x^2-x+1 = 0$ ซึ่งจัดรุปอีกทีจะได้ $x^n+4x^{n-1}-x^{n-2}+x^{n-3} = 0$
โดยใช้ viete's formula แทนค่า a,b,c เมื่อ n = 4 และ n = 5

[nongtum]

คำตอบตรงกันแหละครับ ผมทดผิดไปนิดหน่อย ตอนทำไม่เคยนึกที่จะใช้สมบัติของรากของสมการตอนคำนวณสักที ทั้งๆที่เคยเห็นหลายครั้ง แก้แล้วครับ

[Puriwatt]

ข้อ.6 ผมคิดได้ 4096 ( 3 ชุดแรกมีการยกกำลังด้วยนะครับ)