Gifted Triam

[faliona]

1. Aเป็นภาชนะที่ใส่น้ำทรงกรวยมีฝาปิดที่มีน้ำอยู่ เป็นปริมาตร a เท่าของปริมาตรกรวย A หลังจากใส่ทรงกรวยตัน B ลงไปในกรวย A ปิดฝากรวยแล้วตั้ง พบว่ากรวย B วางตัวดังรูป ถ้ามองจากด้านข้างภาชนะจะพบว่าหน้าตัดวงกลมของกรวย B อยู่พอดีกับระดับน้ำ จงหาอัตราส่วนของรัศมีกรวย A ต่อรัศมีกรวย B
(รูป กรวยใหญ่คว่ำอยู่ มีกรวยเล็กหงายอยู่ด้านใน โดยจุดยอดของกรวยเล็กอยู่ที่จุดศูนย์กลางของฐานของกรวยใหญ่)
2. ถ้ากราฟ y=x^2+c ตัดกับกราฟ x^2+y^2 = 4 ทั้งหมด 4 จุดเมื่อ เป็นค่าคงตัว ข้อใดถูกต้องที่สุด แสดงเหตุผลด้วยนะ
1.c>2
2.-4<c<-2
3.ไม่มีข้อใดถูก

[nongtum]

1. ตกลงกรวยที่คว่ำคือกรวย A หรือครับ
2. ข้อนี้หากลองวาดกราฟวงกลมและพาราโบลา แล้วทดลองเลื่อนกราฟพาราโบลาขึ้นลงตามแกนสมมาตร จะเห็นคำตอบได้เกือบทันทีครับ

[RoSe-JoKer]

ข้อสอบกิฟเตรียมแบบนี้ไม่เคยเห็นเลยครับ - -* ไปเอาโจทย์ จากที่ไหนมาเนี่ย

[faliona]

จาก Tugmos คะ ช่วยคิดหน่อยคะ

[??๛PeakKy๛??]

อ่าว !! มี Gifted TriamUdom ด้วยหร๋อ ... อิอิ ... งงเลย ...

[Puriwatt]

ผมขอเดาว่ารูปเป็นแบบนี้นะครับ

จากรูปที่.1 เราจะได้ว่า
$ปริมาตรกรวย A = \frac{1}{3}.\pi .r^2.h$ --> $ปริมาตรน้ำในกรวย A = a.\frac{1}{3}.\pi .r^2.h$

จากรูปที่.2 เราจะได้ว่า
$ปริมาตรอากาศในกรวย A = \frac{1}{3}.\pi .(b.r)^2.(b.h) = b^3.\frac{1}{3}.\pi .r^2.h$ และ
$ปริมาตรกรวย B = \frac{1}{3}.\pi .(b.r)^2.(1-b).h = (b^2-b^3).\frac{1}{3}.\pi .r^2.h$
$ปริมาตรน้ำในกรวย A = \frac{1}{3}.\pi .r^2.h-[b^3.\frac{1}{3}.\pi .r^2.h+(b^2-b^3).\frac{1}{3}.\pi .r^2.h]$
$ปริมาตรน้ำในกรวย A = \frac{1}{3}.\pi .r^2.h-[b^2.\frac{1}{3}.\pi .r^2.h] = (1-b^2).\frac{1}{3}.\pi .r^2.h$

ดังนั้นเราจะได้ว่า $a = (1-b^2) --> b = \sqrt{1-a} $
แล้ว $r_A : r_B = r : b.r = 1 : \sqrt{1-a} $ ครับ

[Puriwatt]

วัน เดือน ปี ที่ผ่านมา โอ้ -- จ๋า รักยังแจ่มจ้าไม่เลือน
สระน้ำคูบัวตามเตือน สงวนบุญหนุนเลื่อน... ยิ่งกว่าปิ่นปัก จุทา นั่นเอย
25ปี ผ่านมาแล้วหนอ

[faliona]

ตอบถูกแล้วคะช่วยคิดอีกข้อด้วยนะคะ

[Puriwatt]

ลองสังเกตุ รูปชุดแรกดู พบว่า กรณีที่ c = -2 จะตัดกันแค่ 3 จุด และ เมื่อ c < -2 จึงจะตัด 4 จุด

ลองสังเกตุที่รูปชุดสองดู พบว่า กรณีที่ c = -4 ที่ตำแหน่ง x = 2 , y = 0 ทั้งคู่ แต่เส้นสัมผัสของวงกลม
จะเป็นเส้นแนวดิ่ง และแต่เส้นสัมผัสของพาราโบลา จะมีความชันเป็น 4.0 แสดงว่าน่าจะตัดกัน 4จุด
ลองดูรูปที่ 2 พบว่าตัดกัน 4จุดจริงดังรูป

แสดงว่าข้อนี้ต้อง ตอบ 3. ไมมีข้อไดถูก -- > ที่เหลือให้คิดเอาเอง นะครับ

[faliona]

ตอบถูกคะ แต่เหตุผลไม่ใข่ เพราะคำตอบที่เฉลยบอกไม่ได้มี 1 ตัว แต่ตอบ c>2 หรือ -17/4<c<-2 คุณpuriwatt ได้ครบหรือเปล่า หรือเราเข้าใจผิด

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ faliona

ตอบถูกคะ แต่เหตุผลไม่ใข่ เพราะคำตอบที่เฉลยบอกไม่ได้มี 1 ตัว แต่ตอบ c>2 หรือ -17/4<c<-2 คุณpuriwatt ได้ครบหรือเปล่า หรือเราเข้าใจผิด

ถ้า $x^2 \geq 0$ และ $c>2$ แล้ว $y > 2$ และ $y^2 > 4 $ เสมอ เลยไม่มีจุดตัดครับ

แต่สำหรับกรณีที่ $ x^2 < 0 $ ยังไม่ได้คิดครับ วานช่วยคิดให้ด้วยครับ
(พาราโบลาจะคว่ำ และ วงกลมเปลี่ยนไป --> ไม่อยากจะคิดเลย ตอนนี้หัวมันทึบครับ)

[faliona]

x^2 ติดลบได้หรือคะ โทษที่ยังไม่เรียนแม้แต่กราฟวงกลมเลยคะ แค่รู้คร่าวคร่าวเองงะ

[nongtum]

$x^2\ge0$ เสมอครับ กราฟพาราโบลาที่ให้เลยต้องหงายเสมอครับ จึงเห็นได้ชัดว่าเมื่อ $c>2$ กราฟจะไม่ตัดกัน
จากด้านบนเราจะพบว่า $c<-2$ แน่ๆ
การหาขอบเขตล่าง ให้สังเกตว่าหากเลื่อนกราฟลงมาตามแกน y เรื่อยๆ ถึงค่า $c$ ค่า่หนึ่ง กราฟจะสัมผัสกับวงกลมเพียงสองจุด และจุดที่สัมผัสหรือตัดวงกลมมีพิกัดเป็น $(\pm\sqrt{4-y^2},y)$
เมื่อแทนในสมการแรกจะได้ $y=4-y^2+c$
หรือจัดรูปใหม่ได้เป็น $y^2+y-(c+4)=0\qquad ...(*)$
กราฟจะสัมผัสวงกลมเมื่อสมการ (*) ให้รากค่าเดียว
นั่นคือ เมื่อ $1+4(c+4)=0$ นั่นคือ เมื่อ $c=-17/4$

[faliona]

การหาขอบเขตล่าง ให้สังเกตว่าหากเลื่อนกราฟลงมาตามแกน y เรื่อยๆ ถึงค่า $c$ ค่า่หนึ่ง กราฟจะสัมผัสกับวงกลมเพียงสองจุด และจุดที่สัมผัสหรือตัดวงกลมมีพิกัดเป็น $(\pm\sqrt{4-y^2},y)$ แล้วจุดนี้หายังไงคะ

[nongtum]

#14
จุดที่ตัดหรือสัมผัส ต้องอยู่ทั้งบนพาราโบลา $y=x^2+c$ และวงกลม $x^2+y^2=4$ ครับ
ทำสี่บรรทัดสุดท้ายใน #13 ให้จบก่อน แล้วแทน c=-17/4 ใน (*) เพื่อแก้หา y