clever

[faliona]

1.1^2+2^2+3^3+....25^2 มีค่าเท่าไร
2.Vเป็นจุดภายในของรูปสามเหลี่ยมABC ถ้าVAพบBCที่D, VBพบCAที่E, VCพบABที่F ถ้าVD=VF=VE=5และVA+VB+VC=55แล้วVA*VB*VCมีค่าเท่าไร

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ faliona

1.1^2+2^2+3^3+....25^2 มีค่าเท่าไร
2.Vเป็นจุดภายในของรูปสามเหลี่ยมABC ถ้าVAพบBCที่D, VBพบCAที่E, VCพบABที่F ถ้าVD=VF=VE=5และVA+VB+VC=55แล้วVA*VB*VCมีค่าเท่าไร

ข้อ 1. $1^2+2^2+3^2+....25^2 $

คำตอบ

$\frac{n}{6}(n+1)(2n+1) =5525$

[faliona]

ขอบคุณมากคะ ฝากข้อ 2 ช่วยคิดด้วยนะคะ

[t.B.]

ข้อแรกนี่ตรง 3 น่าจะยกกำลัง 2
ส่วนข้อสอง น่าจะเกี่ยวกับวงกลมแนบในสามเหลี่ยมซึ่งรัศมีเท่ากับ 5 และตั้งฉากกับด้านทั้งสาม

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ t.B.

ข้อแรกนี่ตรง 3 น่าจะยกกำลัง 2
ส่วนข้อสอง น่าจะเกี่ยวกับวงกลมแนบในสามเหลี่ยมซึ่งรัศมีเท่ากับ 5 และตั้งฉากกับด้านทั้งสาม

ผมว่าข้อสองคงไม่ใช่อย่างที่คุณ t.B. บอกครับ เพราะไม่งั้นสามเหลี่ยมรูปนี้เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าแน่ แต่จะเห็นว่าโจทย์กำหนดให้ VA+VB+VC=55
ถ้าเป็นอย่างที่คุณ t.B. คิด VA+VB+VC ต้องเท่ากับ 30 ใช่มั้ยครับ
โจทย์ข้อนี้อ่านแล้วดูแปลกๆ พิลึก หรือผมเข้าใจอะไรผิดหรือเปล่านะ

[t.B.]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

ผมว่าข้อสองคงไม่ใช่อย่างที่คุณ t.B. บอกครับ เพราะไม่งั้นสามเหลี่ยมรูปนี้เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าแน่ แต่จะเห็นว่าโจทย์กำหนดให้ VA+VB+VC=55
ถ้าเป็นอย่างที่คุณ t.B. คิด VA+VB+VC ต้องเท่ากับ 30 ใช่มั้ยครับ
โจทย์ข้อนี้อ่านแล้วดูแปลกๆ พิลึก หรือผมเข้าใจอะไรผิดหรือเปล่านะ

-*- ยังไงครับสามเหลี่ยมที่มีวงกลมแนบในไม่จำเป็นต้องเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าไม่ใช่หรอ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ t.B.

-*- ยังไงครับสามเหลี่ยมที่มีวงกลมแนบในไม่จำเป็นต้องเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าไม่ใช่หรอ

การที่เราจะสร้างวงกลมแนบในสามเหลี่ยมนั้นจะต้องลากเส้นแบ่งครึ่งมุมทั้งสามของสามเหลี่ยมและจากจุดตัด เราก็ลากเส้นตั้งฉากกับฐานก็คือ รัศมีของวงกลมที่แนบในสามเหลี่ยม จากโจทย์ บอกว่าลาก VA ไปพบ BC ที่จุด D ลาก VB ไปพบ AC ที่จุด E และ ลาก VC ไปพบ AB ที่จุด F
(ถ้าผมเข้าใจไม่ผิด) และให้ VD=VE=VF=5 ดังนั้นเส้นทั้ง 3 ก็ต้องแบ่งครึึ่งมุมและตั้งฉากกับฐาน เลยทำให้สามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า ตามที่คุณ t.B บอกว่าเป็นรัศมีของวงกลมที่แนบในสามเหลี่ยมครับ

[faliona]

ตอนแรกก็คิดเหมือนคุณหยินหยางคะ แต่พอมาดูแล้วมันไม่สอดคล้องนี่นา เคยอ่านเจอว่าเส้นที่ลากจากจุดยอดทั้ง 3 มุม มายังด้านตรงข้ามแต่ละด้านแล้ว ถ้าตัดกันที่จุดเดียว จะเรียกว่าจุดเซนทรอยหรือเปล่า ไม่มั่นใจ มั่วนะ แล้วไอเส้น 3 เส้นนั้นเป็นเส้นมัธยฐานด้วย แล้วยังจำได้คุ้นคุ้นว่าแต่ละเส้นจะมีอัตราส่วนใกล้มุมต้อไกลมุมเป็น 2:1 ถ้าเกิดเป็นอย่างที่ว่าโจทย์ก็น่าจะผิดนะ
แต่ทฤษฎีข้างบนเรามั่วอย่างมาก ได้โปรดชี้แนะข้าพเจ้าด้วย

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ faliona

ตอนแรกก็คิดเหมือนคุณหยินหยางคะ แต่พอมาดูแล้วมันไม่สอดคล้องนี่นา เคยอ่านเจอว่าเส้นที่ลากจากจุดยอดทั้ง 3 มุม มายังด้านตรงข้ามแต่ละด้านแล้ว ถ้าตัดกันที่จุดเดียว จะเรียกว่าจุดเซนทรอยหรือเปล่า ไม่มั่นใจ มั่วนะ แล้วไอเส้น 3 เส้นนั้นเป็นเส้นมัธยฐานด้วย แล้วยังจำได้คุ้นคุ้นว่าแต่ละเส้นจะมีอัตราส่วนใกล้มุมต้อไกลมุมเป็น 2:1 ถ้าเกิดเป็นอย่างที่ว่าโจทย์ก็น่าจะผิดนะ
แต่ทฤษฎีข้างบนเรามั่วอย่างมาก ได้โปรดชี้แนะข้าพเจ้าด้วย

ผมได้อธิบายค่อนข้างละเอียดไว้ข้างบนแล้ว ประเด็นอยู่ตรงที่ว่าโจทย์ผิดหรือไม่หรือผมเข้าใจโจทย์ผิด ผมถึงบอกว่าโจทย์ดูแปลกๆ เพราะโจทย์บอกว่า
ถ้าVAพบBCที่D, VBพบCAที่E, VCพบABที่F ถ้าVD=VF=VE=5และVA+VB+VC=55แล้วVA*VB*VCมีค่าเท่าไร
ผมก็ต้องตีความว่าเป็นการลากต่อเส้นจาก VA ไปพบ BCที่D ดังนั้นจึงเป็นเส้นตรงเดียวกัน ในทำนองเดียวกัน VE ,VF ก็เป็นการต่อจาก VBและ VC
และโจทย์ยังบอกว่า VD=VF=VE=5 จาการตีความของโจทย์ที่ว่าทำให้สามเหลี่ยมรูปนี้เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า แต่ก็มาขัดแย้งตรงที่ว่าVA+VB+VC=55... อย่างที่คุณ faliona เข้าใจครับและผมได้อธิบายข้างบนไปแล้ว

[faliona]

ถ้าอย่างงั้นก็ต้องขอโทษด้วยนะคะ แต่พิมพ์โจทย์ถูกแล้วจริงจริง ในเฉลยตอบ 1625 อธิบายประมาณว่าหาความสัมพันธ์ของพื้นที่แต่ดูแล้วก็งง ก็เลยงงต่อไป

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ faliona

ถ้าอย่างงั้นก็ต้องขอโทษด้วยนะคะ แต่พิมพ์โจทย์ถูกแล้วจริงจริง ในเฉลยตอบ 1625 อธิบายประมาณว่าหาความสัมพันธ์ของพื้นที่แต่ดูแล้วก็งง ก็เลยงงต่อไป

โจทย์ถูกต้องแล้วครับ สำหรับแนวคิดให้ลองดูปด้านล่างประกอบ(พท.สามเหลี่ยมที่ฐานถูกแบ่ง)

พท.สามเหลี่ยมABC = พท.สามเหลี่ยมAVB + พท.สามเหลี่ยมAVC + พท.สามเหลี่ยมBVC
พท.สามเหลี่ยมABC = พท.สามเหลี่ยมABC.($\frac{5}{5+c}+\frac{5}{5+b}+\frac{5}{5+a}$) --> ได้ว่า 1 = ($\frac{5}{5+c}+\frac{5}{5+b}+\frac{5}{5+a}$)

ถ้าทำไม่ได้ให้คลิก

$(5+a).(5+b).(5+c) = [5.(5+b).(5+a)+5.(5+c).(5+a)+5.(5+b).(5+c)] $
$a.(5+b).(5+c) = [5.(5+b).(5+a)+5.(5+c).(5+a)] $
$25a + 5ab+5ac+abc = 125+25a+25b+5ab+125+25a+25c+5ac $

$abc = 250 + 25(a+b+c), แต่เนื่องจาก a+b+c = 55 $
$ดังนั้น VA.VB.VC = a.b.c = 250+ 25.(55) =1625 ครับ$

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Puriwatt

โจทย์ถูกต้องแล้วครับ สำหรับแนวคิดให้ลองดูปด้านล่างประกอบ(พท.สามเหลี่ยมที่ฐานถูกแบ่ง)
Attachment 433
พท.สามเหลี่ยมABC = พท.สามเหลี่ยมAVB + พท.สามเหลี่ยมAVC + พท.สามเหลี่ยมBVC
พท.สามเหลี่ยมABC = พท.สามเหลี่ยมABC.($\frac{5}{5+c}+\frac{5}{5+b}+\frac{5}{5+a}$) --> ได้ว่า 1 = ($\frac{5}{5+c}+\frac{5}{5+b}+\frac{5}{5+a}$)

ถ้าทำไม่ได้ให้คลิก

$(5+a).(5+b).(5+c) = [5.(5+b).(5+a)+5.(5+c).(5+a)+5.(5+b).(5+c)] $
$a.(5+b).(5+c) = [5.(5+b).(5+a)+5.(5+c).(5+a)] $
$25a + 5ab+5ac+abc = 125+25a+25b+5ab+125+25a+25c+5ac $

$abc = 250 + 25(a+b+c), แต่เนื่องจาก a+b+c = 55 $
$ดังนั้น VA.VB.VC = a.b.c = 250+ 25.(55) =1625 ครับ$

ผมว่าไม่น่าจะถูกนะครับ ถ้าเป็นไปตามรูปที่ว่า จุด V จะเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่แนบในสามเหลี่ยม จะทำให้สามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า
และจุด V จะเป็นจุดตัดของเส้นมัธยฐาน ทำให้ AV = 10, CV = 10, BV = 10 ดังนั้นโจทย์ไม่สามารถจะกำหนดได้ว่า AV+CV+BV =55
ตามที่ผมได้อธิบายไว้ข้างบนแล้วครับ ลองพิจารณาอีกทีครับ
หมายเหตุ จะเห็นว่า VA.VB.VC = a.b.c = 250+ 25.(55) =1625 ถ้าเปลี่ยนเป็น 30 (AV+CV+BV =30)ก็จะได้ 1000 ซึ่งโจทย์ไม่จำเป็นต้องบอกก็ได้เพราะเราสามารถหาได้อยู่แล้วว่า AV = 10, CV = 10, BV = 10 ดังนั้ AV*CV*BV=1000 เหมือนกันครับ

[Puriwatt]

วงกลมรัศมี 5 ไม่ได้แนบในหรอกครับ เพราะว่าถ้าแนบในแล้วADจะตั้งฉากกับBCและแบ่งครึ่งมุมBAC ทำให้กลายเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าไป
น่าจะเป็นว่า เส้นตรง AB, BC และ CAทั้งสามเส้น ตัดวงกลมที่มีรัศมี 5 หน่วย ที่มีจดศูนย์กลางอยู่ที่จุด V ครับ
แล้วVD, VE และ VF จะมีความยาวเป็น 5 หน่วยตามแนวรัศมีได้ครับ (ดูรูปประกอบ เพื่ออ้างอิง)

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Puriwatt

วงกลมรัศมี 5 ไม่ได้แนบในหรอกครับ เพราะว่าถ้าแนบในแล้วADจะตั้งฉากกับBCและแบ่งครึ่งมุมBAC ทำให้กลายเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าไป
น่าจะเป็นว่า เส้นตรง AB, BC และ CAทั้งสามเส้น ตัดวงกลมที่มีรัศมี 5 หน่วย ที่มีจดศูนย์กลางอยู่ที่จุด V ครับ
แล้วVD, VE และ VF จะมีความยาวเป็น 5 หน่วยตามแนวรัศมีได้ครับ

แล้ว พท.สามเหลี่ยมABC = พท.สามเหลี่ยมABC$(\frac{5}{5+c}+\frac{5}{5+b}+\frac{5}{5+a})$
ก็จะใช้ไม่ได้ไม่ใช่หรือครับ เพราะไม่ได้เป็นส่วนสูง มันจะขัดแย้งกันเองหรือเปล่าครับ

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

แล้ว พท.สามเหลี่ยมABC = พท.สามเหลี่ยมABC$(\frac{5}{5+c}+\frac{5}{5+b}+\frac{5}{5+a})$
ก็จะใช้ไม่ได้ไม่ใช่หรือครับ เพราะไม่ได้เป็นส่วนสูง มันจะขัดแย้งกันเองหรือเปล่าครับ

ไม่ได้ขัดแย้งหรอกครับ ลองดูรูปด้านล่างประกอบเป็นแนวคิดดูซิครับ
ผมว่าคนเก่งๆอย่างคุณหยินหยางน่าจะเข้าใจได้ไม่ยากหรอกครับ

หมายเหตุ :- รูปนี้เป็นบางส่วนของแนวคิด เมื่อคิด พท.VDB เพิ่มจะได้พท.ของรูป BVC แล้วทำแบบเดียวกันอีก
จะได้ พท.AVB และ พท.AVC จนประกอบ Jigsaw ได้เป็นพท.รูปสามเหลี่ยม ABC นั่นเอง