factorial !!!

[คนอยากเก่ง]

1. จงเขียน$1*3*5*7*...*99$ในรูป !
2.$ 1!+2!+3!+4!...+1000!$ จงหาว่าเลขห้าหลักสุดท้ายว่ามีค่าเท่าไหร่ (ใช้ mod อย่างไรครับ)
3.ถ้านำ 5! มาเขียนเป็นจำนวนเต็มจะได้ 120 และเลขตัวสุดท้ายนับจากขวามาซ้ายที่ไม่ใช่ 0 คือ 2
จงหาเลขตัวสุดท้ายที่ไม่ใช่ศูนย์ของ 1500!(ศูนย์มี374ตัวหรือเปล่าครับ)
4.$(x+9)^2(x+10)^2 + (x+10)^2 = 8(x+9)^2 $
จงหาค่าของ$p^2+q^2+r^2คับ$ เมื่อกำหนดให้p,q,rเป็นคำตอบของสมการ(ข้อนี้ผมทำยาวมากเลยครับ มีวิธีดีๆไหมครับ ผมให้ x+9=a แล้วก็มีกระจาย)
5.กำหนดให้ $b>c$
$$\forall a,b,c \in \mathbb{I}$$
$$a+b+c = 3$$
$$a+b^2+c^2 = 17$$
$$a^2+b^3+c^3 = 21$$
จงหา a ,b ,c


6.จงหาค่าต่ำสุดของ $\sqrt{x^2-56x+2009}+\sqrt{y^2-70y+2009}$ ทำไมข้อนี้ ใช้-b/2a ของแต่ละราก แล้วนำมาบวกกันได้อ่าครับ
7.ถ้าสมการ $3x^2-28x+30=k(x^2+19)$ มีคำตอบของสมการเท่ากัน จงหาค่าของ k ที่ทำให้เป็นสมการนี้เป็นจริง
8.$x=(x-\frac{1}{x})^\frac{1}{2}+(1-\frac{1}{x})^\frac{1}{2}$จงหาค่า x ครับ

9.$ ถ้า 100!=k\times 2^a\times 5^b โดยที่ k เป็นจำนวนคี่ที่ 5 หารไม่ลงตัวแล้ว จงหา a+b$
10.ให้ a,b,c เป็นรากที่สี่ของสมการ $x^4-3x+1 = 0$ ถ้า$f(x)=x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4$ เป็นพหุนาม
ที่มี $\frac{a+b+c}{d^2},\frac{a+b+d}{c^2},\frac{a+c+d}{b^2},\frac{b+c+d}{a^2} $ เป็นรากที่สี่ของสมการ $f(x)=0 $ แล้ว $7+a_1+a_2+a_3+a_4$ มีค่าเท่ากับเท่าใด
รบกวนด้วยครับ

[yellow]

$1 \times 3\times 5\times 7 \times ...\times 99$

= $\frac{1 \times 2\times 3\times 4 \times ...\times 99}{2 \times 4\times 6\times 8 \times ...\times 98}$


= $\frac{1 \times 2\times 3\times 4 \times ...\times 99}{2^{49}(1 \times 2\times 3\times 4 \times ...\times 49)}$

= $\frac{99!}{2^{49}(49!)}$

[Cachy-Schwarz]

ผมว่าไม่ใช่นะครับ

[Ulqiorra Sillfer]

ข้อสุดท้ายถามอะไรหรอครับ

[DOMO]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คนอยากเก่ง

7.ถ้าสมการ $3x^2-28x+30=k(x^2+19)$ มีคำตอบของสมการเท่ากัน จงหาค่าของ k ที่ทำให้เป็นสมการนี้เป็นจริง

ข้อ7 คำตอบของสมการเท่ากัน

ดังนั้น $b^2-4ac = 0$

จัดรูปสมการ $(3-k)x^2 - 28x + (30-19k) = 0$

$(-28)^2 - 4(3-k)(30-19k) = 0$

แล้วก็แก้สมการครับ

ผมไม่มีวิธีที่ดีกว่านี้แล้วครับ TT

[ShaDoW MaTH]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คนอยากเก่ง

9.$ ถ้า 100!=k\times 2^a\times 5^b โดยที่ k เป็นจำนวนคี่ที่ 5 หารไม่ลงตัวแล้ว จงหา a+b$
รบกวนด้วยครับ

$100!=1\times 2\times 3\times 4\times ...\times 100$
จากนั้นผมก็แยกเอาจำนวนที่มี 2 เะป็นตัวประกอบมา $2^a = 2\times 4\times 6\times ...\times 100$
$2^a=2^{50}\left(\,1\times 2\times 3\times ...\times 50\right)$
$2^a=2^{50}\left(\,m\times 2\times 4\times 6\times ...\times 50\right) $ โดยที่ m แทนผลคูณของจำนวนที่ไม่มี 2 เป็นตัวประกอบ
$2^a=2^{50}\left(\,2^{25}\right)\left(\,m\times 1\times 2\times 3\times 4\times ...\times 25\right) $
$2^a=2^{75}\left(\,m\times L\times 2\times 4\times 6\times ...\times 24\right)$ โดยที่ L แทนผลคูณของจำนวนที่ไม่มี 2 เป็นตัวประกอบ
$2^a=2^{75}\left(\,2^{12}\right)\left(\,m\times L\times 1\times 2\times ...\times 12\right) $
$2^a=2^{87}\left(\,m\times L\times n\times 2\times 4\times 6\times ...\times 12\right) $โดยที่ n แทนผลคูณของจำนวนที่ไม่มี 2 เป็นตัวประกอบ
$2^a=2^{87}\left(\,2^6\right)\left(\,m\times L\times n\times 1\times 2\times 3\times ...\times 6\right) $
$2^a=2^{93}\left(\,m\times L\times n\times p\times 2\times 4\times 6\right) $โดยที่ p แทนผลคูณของจำนวนที่ไม่มี 2 เป็นตัวประกอบ
$2^a=2^{93}\left(\,2^4\right)\left(\,m\times L\times n\times p\times q\right) $โดยที่ q แทนผลคูณของจำนวนที่ไม่มี 2 เป็นตัวประกอบ
$2^a=2^{97}\left(\,m\times L\times n\times p\times q\right) $
แยกจำนวนที่มี 5 เป็นตัวประกอบ
จะได้ $5^b=5\times 10\times 15\times ...\times 100$
$5^b=5^{20}\left(\,1\times 2\times 3\times 4\times 5\times ...\times 20\right) $
$5^b=5^{20}\left(\,5^4\right)\left(\,f\right) $โดยที่ f แทนผลคูณของจำนวนที่ไม่มี 5 เป็นตัวประกอบ
$5^b=5^{24}\left(\,f\right) $
จะได้ว่า a=97 และ b=24
$\therefore$a+b=121

ไม่รู้ถูกหรือเปล่าครับ

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คนอยากเก่ง

6.จงหาค่าต่ำสุดของ $\sqrt{x^2-56x+2009}+\sqrt{y^2-70y+2009}$ ทำไมข้อนี้ ใช้-b/2a ของแต่ละราก แล้วนำมาบวกกันได้อ่าครับ

ในรูทเป็นพหุนามกกำลังสอง ซึ่งจะมีค่าต่ำสุดอยู่ที่จุดยอดของพาราโบลา
ดังนั้น พิกัด $x$ ของจุดยอดคือ $-\frac{b}{2a}=28$ เป็นค่าที่ทำให้เกิดค่าต่ำสุด
แทนค่าลงใน $x^2-56x+2009$ จะได้
$28^2-56(28)+2009=28^2-2(28^2)+2009=-28^2+2009=1225$
ดังนั้น ค่าต่ำสุดของ $\sqrt{x^2-56x+2009}$ คือ $\sqrt{1225}=35$
ในทำนองเดียวกัน ค่าต่ำสุดของ $\sqrt{y^2-70y+2009}=28$
$\therefore \sqrt{x^2-56x+2009}+\sqrt{y^2-70y+2009}$ มีค่าต่ำสุดเท่ากับ 63
การนำค่า $-\frac{b}{2a}$ มาบวกกันน่าจะเป็นความบังเอิญมากกว่าครับ
เพราะจากวิธีทำ ค่ามันสลับกันอยู่ ถ้าเป็นข้ออื่นคงใช้ไม่ได้ครับ

[~ArT_Ty~]

คือมันเป็นคนละตัวแปร จึงแยกพิจารณาได้ใช่มั้ยอ่ะครับ??

[กิตติ]

ข้อ2....ไม่ใช้modก็ได้ครับ
เรารู้ว่า....$5!=120,10!=3628800$.....เราขาดตัวคูณอีก1000 ซึ่งคือ $2\times2\times 2\times5\times5\times5$
ซึ่งในล็อคตั้งแต่$11-20$....จะมีเลข$5$ จากเลข 15กับ20 เราต้องการเลข 5อีกตัวหนึ่งซึ่งเราจะได้จากชุดถัดไปคือ $25=5\times5$.....นั่นคือ$25!$.....มีเลขศูนย์ลงท้าย6ตัว...ดังนั้นตั้งแต่ $26!$ มีเลขศูนย์ลงท้าย6ตัว ดังนั้นที่โจทย์ถามก็คือหาเลข5ตัวท้ายจากการบวก$1!+2!+3!+...+25!$
ดังนั้นถ้าเราหาผลบวกตั้งแต่$1!+2!+3!+...+25!$ เราจะได้
$1!+2!+3!+4!+5!=1+2+6+24+120=153$
$6!+7!+8!+9!+10!=6!(1+7+56+504+5040)=720(5608)=4037760$
$11!+12!+13!+14!+15!=11!(1+12+132+1848+27720)=(39916800)(29713)$

วิธีนี้ท่าทางจะยาว....ใครมีวิธีที่สั้นกว่าลองเสนอแนวคิดหน่อยครับ มึนแล้ว

[ShaDoW MaTH]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คนอยากเก่ง

8.$x=(x-\frac{1}{x})^\frac{1}{2}+(1-\frac{1}{x})^\frac{1}{2}$

ข้อนี้ถามอะไรหรอครับ

[คนอยากเก่ง]

ขอโทษครับ แก้แล้วครับ

[กิตติ]

ข้อ4...ผมลองทำดูก็ไม่เห็นยาวเลย
4.$(x+9)^2(x+10)^2 + (x+10)^2 = 8(x+9)^2 $
จงหาค่าของ$p^2+q^2+r^2$ เมื่อกำหนดให้p,q,rเป็นคำตอบของสมการ
$x+9=a$
$a^2(a+1)^2+(a+1)^2=8a^2$
$a^2(a+1)^2-4a^2=4a^2-(a+1)^2$
$a^2\left(\,(a+1)^2-4\right)=\left(\,2a-a-1\right) \left(\,2a+a+1\right) $
$a^2\left(\,(a+1-2)(a+1+2)\right)=\left(\,a-1\right) \left(\,3a+1\right) $
$a^2\left(\,(a-1)(a+3)\right)=\left(\,a-1\right) \left(\,3a+1\right) $
$(a-1)\left(\,a^2(a+3)-3a-1\right)=0 $
$(a-1)\left(\,a^3+3a^2-3a-1\right)=0 $
$(a-1)^2\left(\,a^2+4a+1\right)=0 $
ได้ค่า $a=1,-2\pm \sqrt{3} $
$x=-8,-11\pm \sqrt{3}$
$p^2+q^2+r^2=64+(-11+\sqrt{3})^2+(-11-\sqrt{3})^2$
$=64+(124-22\sqrt{3})+(124+22\sqrt{3})$
$=64+248=312$

[คนอยากเก่ง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ข้อ4...ผมลองทำดูก็ไม่เห็นยาวเลย
4.$(x+9)^2(x+10)^2 + (x+10)^2 = 8(x+9)^2 $
จงหาค่าของ$p^2+q^2+r^2$ เมื่อกำหนดให้p,q,rเป็นคำตอบของสมการ
$x+9=a$
$a^2(a+1)^2+(a+1)^2=8a^2$
$a^2(a+1)^2-4a^2=4a^2-(a+1)^2$
$a^2\left(\,(a+1)^2-4\right)=\left(\,2a-a-1\right) \left(\,2a+a+1\right) $
$a^2\left(\,(a+1-2)(a+1+2)\right)=\left(\,a-1\right) \left(\,3a+1\right) $
$a^2\left(\,(a-1)(a+3)\right)=\left(\,a-1\right) \left(\,3a+1\right) $
$(a-1)\left(\,a^2(a+3)-3a-1\right)=0 $
$(a-1)\left(\,a^3+3a^2-3a-1\right)=0 $
$(a-1)^2\left(\,a^2+4a+1\right)=0 $
แทน a=x+9
$(x+8)^2(x^2+22x+118)=0$
q,r เป็นรากของสมการข้างบน
$ผลบวกกำลัง 2 =(-8)^2+(q+r)^2-2qr$
$=64+(-22)^2-2(118)$
$=64+148=212$

ผมทำแบบเดียวกันเลยครับ ยกเว้น ผมใช้ผลบวกราก ไม่ต้องแยกตัวประกอบ แต่ทำไมผมได้ 212 อะครับ
ป.ล.ขออนุญาต แก้ข้างบนนะครับ

รบกวนข้อ 3 5 8 10 ต่อด้วยครับ
ขอบคุณครับ

[~ToucHUp~]

8. ครับ ได้ x=0 เปล่าครับเนี่ย ไม่เเน่ใจอะ

[poper]

ข้อ 8
ได้ $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ ครับ
เดี๋ยวตอนเย็นจะมาโพสวิธีทำให้ครับ
#14 x เป็น 0 ไม่ได้นะครับ (ตัวส่วนห้ามเป็น 0)
มาเพิ่มวิธีทำครับ
ให้ $A=\sqrt{x-\frac{1}{x}}$ $\ \ \ \ B=\sqrt{1-\frac{1}{x}}$
จะได้ว่า $A^2-B^2=x-1----->(A+B)(A-B)=x-1-----(1)$
และ $A+B=x----(2)$
แทนค่า $(2)$ ใน $(1)$ จะได้ $A-B=1-\frac{1}{x}-----(3)$
จาก $(2)+(3)$ จะได้ $$2A=x-\frac{1}{x}+1$$ $$2\sqrt{x-\frac{1}{x}}=(x-\frac{1}{x})+1$$ $$4(x-\frac{1}{x})=(x-\frac{1}{x})^2+2(x-\frac{1}{x})+1$$ $$(x-\frac{1}{x})^2-2(x-\frac{1}{x})+1=0$$ $$x-\frac{1}{x}=1$$ $$x^2-x-1=0$$ $$x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$$ ตรวจสอบแล้วใช้ได้ค่าเดียวคือ $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$