ดูโจทย์ให้หน่อยค่ะ

[คน-อ่อน-เลข]

1.ให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง $a^6 -3a^2b^4 = 3$ และ $b^6 -3a^4b^2 = 3\sqrt{2}$ แล้ว $a^4 + b^4 $ มีค่าเท่าใด

ข้อนี้หนูลองสมการมาบวกลบกันแล้วอ่ะคะ ได้สุดที่ $\frac{(a^4 -b^4)(a^2 +b^2) }{(a^2 +b^2)^2} = \frac{3 - 3\sqrt{2}}{3 + 3\sqrt{2}} $ หนูแก้ต่อไม่ได้แล้วอ่ะคะ


2.ให้ $u,v,w$ เป็นรากของ $x^3 - 5x^2 + 4x - 3 = 0$ จงหาสมการพหุนามที่มี $u^3,v^3,w^3$ เป็นราก

ข้อนี้หนูไม่ได้ตั้งแต่หารากของสมการกำลัง 3 แล้วคะ


3.จงหาวิธีเลือกจำนวน 3 จำนวนที่ต่างกันจากเซต $\left\{\,\right. 1,2,3,...,3n\left.\,\right\} $ โดยผลบวกของ 3 จำนวนนั้นต้องหาร 3 ลงตัว

ข้อนี้แค่เห็นก็งงแล้วคะ ถ้าแทนค่า $n$ ด้วยจำนวนมากๆลงไปมันมีวิธีได้ไม่จำกัดเลยไม่ใช่หรอคะ งงค่ะ


4.จงหาจำนวนจริงบวก $a,b,c$ ที่ทำให้ $abc$ มีค่าสูงสุด เมื่อให้ $b(a^2 + 2) + c(a+2) = 12$ >>> ทำไม่ได้ค่ะ คิดไม่ออกว่าจะทำวิธีไหนเลย

รบกวนผู้รู้ช่วยแสดงวิธีทำให้หน่อยนะคะ ขอบคุณมากค่ะ

[FranceZii Siriseth]

TMO 1st หรือปล่าวครับคุ้นๆ
1.ยกกำลังสองแล้วบวกกันครับ
2.ใช้ความสัมพันธ์ของรากและสัมประสิทธิ์ครับ แต่ถ้ารู้เอกลักษณ์ตัวนี้น่าจะง่ายขึ้น $(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc$

ข้อ 3. ตัวเลข 3 จำนวนบวกกันหาร 3 ลงตัวแบ่งได้เป็น
1.เศษ 1 เหมือนกันหมด 3 ตัว
2.เศษ 2 เหมือนกันหมด 3 ตัว
3.เศษ 3 เหมือนกันหมด 3 ตัว
4.เศษบวกกันแล้วหารด้วย 3 ลงตัว แบ่งได้เป็น 1+2+3 เท่านั้น

ข้อ4. $a^2b+b+b+ac+c+c \ge 6\sqrt[6]{(abc)^3}$

[คน-อ่อน-เลข]

ขอบคุณสำหรับคำใบ้และคำตอบนะคะ คุณ FranceZii Siriseth แล้วก็นี่เป็นข้อสอบ TMO 1st คะ ทำโจทย์แบบนี้บ่อยๆหรอคะ

[FranceZii Siriseth]

พอดีผมเข้าค่ายสอวน.ครับ เลยต้องทำ

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คน-อ่อน-เลข

1.ให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง $a^6 -3a^2b^4 = 3$ และ $b^6 -3a^4b^2 = 3\sqrt{2}$ แล้ว $a^4 + b^4 $ มีค่าเท่าใด

ข้อนี้หนูลองสมการมาบวกลบกันแล้วอ่ะคะ ได้สุดที่ $\frac{(a^4 -b^4)(a^2 +b^2) }{(a^2 +b^2)^2} = \frac{3 - 3\sqrt{2}}{3 + 3\sqrt{2}} $ หนูแก้ต่อไม่ได้แล้วอ่ะคะ

สวัสดีค่ะ
$Assuming$ ว่าที่ทำมาถูกนะคะ
RHS <0 เพราะ $3<3 \sqrt{2}$
นั่นคือ $LHS <0$ แล้วจะได้ $a^4-b^4<0$

ดังนั้น เพราะว่า $2b^4 \geq 0 >a^4-b^4$ จะได้ $a^4-3b^4<0$

พิจารณาสมการแรก จาก $a^6-3a^2b^4=3$
$a^2(a^4-3b^4)=3$
แต่ $a^2 \geq 0$ ทำให้ $a^2(a^4-3b^4) \leq 0$

เกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้น ไม่มีจำนวนจริง $a,b$ ที่สอดคล้อง

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ FranceZii Siriseth

TMO 1st หรือปล่าวครับคุ้นๆ
1.ยกกำลังสองแล้วบวกกันครับ

สวัสดีค่ะ
อยากเสริมว่า อาจจะต้องระวัง ในเรื่อง เงื่อนไขนิดนึง
ถ้าไม่บอกว่า $a,b$ เป็นจำนวนจริงนี่ ก็ผ่านฉลุยไปละ
แต่ถ้าบอก อาจจะต้องเช็คว่ามีอยู่จริงรึเปล่าด้วยค่ะ
บางทีโจทย์ที่ seemingly easy อาจวางหลุมพลางไว้ค่ะ
สวัสดีค่ะ

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คน-อ่อน-เลข

1.ให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง $a^6 -3a^2b^4 = 3$ และ $b^6 -3a^4b^2 = 3\sqrt{2}$ แล้ว $a^4 + b^4 $ มีค่าเท่าใด

$$(a^6 -3a^2b^4)^2 = 9-----(1)$$
$$(b^6 -3a^4b^2)^2 = 18----(2)$$
$$(1)+(2);(a^{12}-6a^8b^4+9a^4b^8)+(b^{12}-6a^4b^8+9a^8b^4)=27$$
$$a^{12}+3a^8b^4+3a^4b^8+b^{12}=27$$
$$(a^4+b^4)^3=27$$
$$a^4+b^4=3$$
ถ้าไม่ได้บอกว่า $a,b$ เป็นจำนวนจริงก็คงทำแบบนี้
ขอบคุณคุณ Scylla_Shadow ที่ให้การพิสูจน์ว่าไม่มีจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการดังกล่าว

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คน-อ่อน-เลข

3.จงหาวิธีเลือกจำนวน 3 จำนวนที่ต่างกันจากเซต $\left\{\,\right. 1,2,3,...,3n\left.\,\right\} $ โดยผลบวกของ 3 จำนวนนั้นต้องหาร 3 ลงตัว

ข้อนี้ง่ายที่สุดแล้ว

[Pitchayut]

ข้อ 2 ไม่จำเป็นที่จะต้องหารากครับ ถ้าเราให้ $P(x)=x^3 - 5x^2 + 4x - 3$ เราจะพบว่าสมการ $P(\sqrt[3]{x})=0$ มีรากเป็น $u^3, v^3, w^3$ ดังนั้นสมการที่โจทย์ต้องการสมมูลกับ
$$x - 5x^{\frac{2}{3}} + 4x^{\frac{1}{3}} - 3=0$$
ย้ายข้างนิดหน่อย
$$x - 3=5x^{\frac{2}{3}} - 4x^{\frac{1}{3}}$$
ยกกำลังสามทั้งสองข้าง รากจะได้หมดๆ ไป
$$(x - 3)^3=125x^2 -64x -60x(5x^{\frac{2}{3}} - 4x^{\frac{1}{3}})$$
เนื่องจาก $\displaystyle{5x^{\frac{2}{3}} - 4x^{\frac{1}{3}}=x-3}$ เรานำไปแทนจะได้
$$(x - 3)^3=125x^2 -64x -60x(x-3)$$
กระจายออกมา
$$x^3−9x^2+27x−27=65x^2+116x$$
ย้ายข้าง แล้วก็จบครับ
$$x^3-74x^2-89x−27=0$$