โจทย์ม.ต้น 2ข้อนี้คิดไงอะครับ

[Nephelpito]

นี่เป็นข้อสอบเก่านะครับ อยากรู้ว่า2ข้อนี้คิดยังไง

[RER]

ข้อ 1 วงเล็บแรก คูณ $2^{2014}$ ทั้งเศษและส่วนจะได้
$\frac{2^{2013}+2^{2012}+....+2^0}{2^{2013}-2^{2012}+....+2^1-2^0}$
ดึงตัวร่วมนิดหน่อยจะได้
$\frac{2^{2013}+2^{2012}+....+2^0}{2^{2012}+2^{2010}+2^{2008}+...+2^0}$
ตัวบนแบ่งได้สองกลุ่มคือ $2^{2013}+2^{2011}+...+2^1$ และ $2^{2012}+2^{2010}+2^{2008}+...+2^0$
ซึ่งหารลงไปได้ $3^3=27$ วงเล็บหลังก็ทำคล้ายๆกัน

[RER]

ข้อ 2 คูณ conjugate ไปตรงๆเลยครับ
ได้เป็น $a_n=\frac{\sqrt{2n^2+2n+1}-\sqrt{2n^2-2n+1}}{4}$
$=\frac{\sqrt{(n+1)^2+n^2}-\sqrt{n^2+(n-1)^2}}{4}$
จะได้ $a_1+a_2+a_3+....+a_{119}$$=\frac{\sqrt{120^2+119^2}-1}{4}$=$42$

[Nephelpito]

ขอบคุณมากนะครับ