อสมการโมดิไฟล์โคชี

[ปากกาเซียน]

อสมการโมดิไฟล์โคชี ไม่ทราบว่าเป็นยังไง? ช่วยอธิบายหน่อยครับ

[Pain 7th]

ให้ $a,b,x,y$ เป็นจำนวนจริงบวกครับ โดยอสมการ จะได้

$\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y} \geq \dfrac{(a+b)^2}{x+y}$

ซึ่งสมมูลกับอสมการ $(ab-xy)^2 \geq 0 $ และเราสามารถขยายไป n ตัวได้

$\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z} \geq \dfrac{(a+b)^2}{x+y}+\dfrac{c^2}{z} \geq \dfrac{(a+b+c)^2}{x+y+z}$

ทำแบบนี้ไปเรื่อยก็ได้กรณีทั่วไปครับ

[Euler-Fermat]

**Cauchy-Schwarz(Engel Form)
ถ้า$a_1,a_2,....,a_n$ และ$ x_1,x_2,......,x_n$ เป็นจำนวนจริง
$\frac{a_1^2}{x_1}+\frac{a_2^2}{x_2}+......+\frac{a_n^2}{x_n} \geqslant \frac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{x_1+x_2+.....+x_n}$

prove: มอง$ a_1 = \frac{a_1}{\sqrt{x_1}} *\sqrt{x_1} $แล้วใช้ โคชี่ ชวาร์ช ปกติ