Real Analysis I

[จูกัดเหลียง]

ไม่ทราบว่าพิสูจน์เเบบนี้จะโอเครึเปล่าครับ รบกวนผู้รู้ด้วยนะครับ

จงพิสูจน์ว่า ถ้า $S,T$ เป็นเซตที่มีขอบเขต เเล้วจะได้ว่า $\sup(S\cup T)=\max\left\{\,\sup(S),\sup(T)\right\} $

Solution

$Let$ $a\in S\cup T$ $we$ $have$ $a\in S$ $or$ $a\in T$ $.if$ $a\in S$ $then$ $a \le \sup(S)$ $and$ $if$ $a\in T$ $then$ $a\le \sup(T)$

$Hence,$ $a\le \max\left\{\,\sup(S),\sup(T)\right\} $ $So$ $\max\left\{\,\sup(S),\sup(T)\right\}$ $is$ $the$ $upper$ $boundary$ $of$ $S\cup T.$

$Let$ $p$ $be$ $another$ $upper$ $boundary$ $of$ $S\cup T$ $such$ $that$ $p<\max\left\{\,\sup(S),\sup(T)\right\}$

$because$ $p$ $is$ $the$ $upper$ $boundary.$ $Thus,$ $p\ge \sup(S)$ $and$ $p\ge \sup(T)$ $which$ $implies$

$\max\left\{\,\sup(S),\sup(T)\right\}> p\ge \max\left\{\,\sup(S),\sup(T)\right\}$ $contradiction.$ $So$ $\max\left\{\,\sup(S),\sup(T)\right\}=\sup(S\cup T)$

[XIIIX]

ก็โอเคนะครับ แต่ขอแนะนำตรงการเขียนนิดหน่อย 1) upper boundary เขาไม่เรียกกันครับ เขาเรียก upper bondเฉยๆ
2) "the" upper bond ใช้ไม่ได้นะครับ ถ้าเราไม่ได้มีupper bondตัวเดียว! ต้องเปลี่ยนเป็น an ครับ อาจจะดูไม่สำคัญ แต่มันทำให้ความหมายเปลี่ยนไปซึ่งการเขียนพิสูจน์ที่ดีไม่ควรทำ the ใช้ได้กับ supremum ครับ เพราะเราได้พิสูจน์มาแล้วว่า supremum ของแต่ละเซตนั้น unique

[SOS_math]

First, we note that all the terms $\sup(S)$, $\sup(T)$ and $\sup(S\cup T)$ exist. We now divide the proof into two parts.

Part 1: We show that $\sup(S)\le\sup(S\cup T)$ and $\sup(T)\le\sup(S\cup T)$. (Hence $\max\{\sup(S),\sup(T)\}\le\sup(S\cup T)$.)

Since $S\subset S\cup T$, we have $\sup(S\cup T)$ is an upper bound of $S$. Since $\sup(S)$ is the least upper bound of $S$, we have $\sup(S)\le\sup(S\cup T)$. Similarly, we can prove that $\sup(T)\le\sup(S\cup T)$.

Part 2: We show that $\sup(S\cup T)\le\max\{\sup(S),\sup(T)\}$.

To prove this statement, we show that $\max\{\sup(S),\sup(T)\}$ is an upper bound of $S\cup T$. Let $x\in S\cup T$. This implies that $x\in S$ or $x\in T$. If $x\in S$, then $x\le\sup S\le \max\{\sup(S),\sup(T)\}$. If $x\in T$, then $x\le\sup T\le \max\{\sup(S),\sup(T)\}$. Since $\sup(S\cup T)$ is the least upper bound of $S\cup T$, we have $\sup(S\cup T)\le\max\{\sup(S),\sup(T)\}$.

[kongp]

สมัยผมเรียน ก็ต้องยกเซตจำนวนเต็ม ใช้ทดสอบเนื้อหาที่อ่านว่าเป็นจริงไหม
มีคนเอาไปใช้กับพวกโรบอทด้วย เช่น เซตของจำนวนนับ ใช้แทนมุม 0-360 องศา ก็จำกัดโดเมนไป ก็ได้ครับ

เพื่อคำนวนค่า E พลังงานที่ใช้ไป เป็นต้น