Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์ทั่วไป > บทความคณิตศาสตร์ทั่วไป
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 04 มกราคม 2017, 18:40
tngngoapm's Avatar
tngngoapm tngngoapm ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 13 พฤศจิกายน 2014
ข้อความ: 462
tngngoapm is on a distinguished road
Default การหาเศษพหุนามจากการหารด้วยพนุนามดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ2

บทความนี้นำเสนอทฤษฎีหาเศษที่เราต่างก็ทราบกันดีอย่างเช่น
.........ถ้าถามว่าพหุนาม $x^{3}+3x^{2}-2x+1$ หารด้วยพหุนาม $x-1$ เหลือเศษเท่าไหร่ เราไม่จำเป็นต้องไปตั้งหารยาว เพียงเราใช้ทฤษฎีเศษเหลือแทนค่า x=1 ลงใน $x^{3}+3x^{2}-2x+1$ จะได้เศษเท่ากับ 3 ทันที
.........ตัวอย่างข้างบนเป็นการหารด้วยพหุนามดีกรี 1 จึงสามารถใช้ทฤษฎีเศษเหลือได้ แต่เราเคยสงสัยกันไหมว่าภ้าเป็นการหารพหุนามด้วยพหุนามดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ 2 จะใช้ทฤษฎีเศษเหลือได้ไหม ผมใช้เวลาครุ่นคิดอยู่ประมาณหนึ่งแต่ก่อนหน้านั้นก็พยายามหาคำตอบมาตลอด ซึ่งผมจะใช้วิธีตั้งสมการ ตัวตั้ง=(ผลหาร)(ตัวหาร)+เศษ แล้วเลือกค่า x ที่เหมาะสม แก้สมการหาค่าเศษ หรือถ้ามันยุ่งยากมากนักก็ตั้งหารยาวพหุนามเลยให้มันสิ้นเรื่องสิ้นราว
..........แต่จริงๆแล้วการหารด้วยพหุนามดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ2 ก็สามารถใช้ทฤษฎีเศษเหลือได้ เพียงแต่โรงเรียนไม่ได้สอนไว้ในหลักสูตร เพราะว่ามันต้องประยุกต์เอาและมีความซับซ้อนมากกว่าการหารด้วยพหุนามกำลัง1 ผมจึงอยากสรุปรวบรวมวิธีการหาไว้ให้โดยอิงมาจากทฤษฎีเศษเหลือแล้วนำมาขยายความต่อ โดยเริ่มจากการหารด้วยพหุนามดีกรี2 ก่อน เพื่อเป็นประโยชน์สำหรับผู้ที่สนใจ โดยมีรายละเอียดและตัวอย่างตามภาพที่แนบมา ซึ่งผมคิดว่าโดยวิธีนี้มันน่าจะเร็วกว่าการตั้งหารยาว หรือยังไงใครได้ลองพิสูจน์แล้วก็บอกด้วยละกัน
.........ในรายละเอียดของวิธีการหาเศษ จะแบ่งเป็น 2 วิธี คือการใช้สูตรซึ่งเหมาะกับพหุนามกำลังสองที่แยกตัวประกอบเป็นค่าจริงไม่ได้ ส่วนอีกวิธีคือการหารสังเคราะห์เหมาะกับพหุนามกำลังสองที่แยกตัวประกอบเป็นค่าจริงได้ และด้วยวิธีการหารสังเคราะห์นี้มีข้อดีคือเรายังได้พหุนามผลหารออกมาด้วยครับ
.........และสำหรับการเริ่มศักราชใหม่ พ.ศ.2560 ผมก็อยากจะฝากโจทย์ให้คิดกันเพื่อเพิ่มรอยหยักทางความคิดกันครับ
$Problem1.......... (x^{3}+1)^{2560} หารด้วย x^{2}+x+1 เหลือเศษเท่าไหร่กันครับ $
รูปภาพที่แนบมาด้วย
       
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 06 มกราคม 2017, 18:33
tngngoapm's Avatar
tngngoapm tngngoapm ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 13 พฤศจิกายน 2014
ข้อความ: 462
tngngoapm is on a distinguished road
Default

$Problem1......(x^{3}+1)^{2560} หารด้วย x^{2}+x+1 เหลือเศษเท่าไหร่?$
วิธีทำ
1. ให้ $P(x)=(x^{3}+1)^{2560}$.........และหารากของสมการ $x^{2}+x+1=0$
$z_{1}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3} }{2}i=cos\frac{2\pi }{3}+isin\frac{2\pi }{3} $
$z_{2}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3} }{2}i=cos\frac{4\pi }{3}+isin\frac{4\pi }{3} $
2.เศษจะอยู่ในรูปแบบ $px+q,p,q\in R$.....โดยที่
$p=\frac{P(z_{1})-P(z_{2})}{z_{1}-z_{2}}$
$q=\frac{z_{1}P(z_{2})-z_{2}P(z_{1})}{z_{1}-z_{2}} $
......หา $P(z_{1})=([cos\frac{2\pi }{3}+isin\frac{2\pi }{3}]^{3}+1)^{2560}=(1+1)^{2560}=2^{2560}$
$P(z_{2})=([cos\frac{4\pi }{3}+isin\frac{4\pi }{3}]^{3}+1)^{2560}=(1+1)^{2560}=2^{2560}$
$\therefore p=\frac{2^{2560}-2^{2560}}{(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3} }{2}i)-(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3} }{2}i)}=0$
$\therefore q=\frac{z_{1}(2^{2560})-z_{2}(2^{2560})}{z_{1}-z_{2}}=\frac{(2^{2560})(z_{1}-z_{2})}{z_{1}-z_{2}}=2^{2560} $
3.เศษคือ $2^{2560}$...........$Ans$

06 มกราคม 2017 18:35 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ tngngoapm
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 07 มกราคม 2017, 15:42
Thgx0312555's Avatar
Thgx0312555 Thgx0312555 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 885
Thgx0312555 is on a distinguished road
Default

วิธีนี้ช้าไปนิดนะครับ
จริงๆสังเกตว่า $x^3 \equiv 1 \pmod {x^2+x+1}$ (ให้นิยาม mod เหมือน mod ในจำนวนเต็ม)
$(x^3+1)^{2560} \equiv 2^{2560} \pmod {x^2+x+1}$
เศษเลยเป็น $2^{2560}$ ครับ

ขอตั้งข้อ 2 เลยนะครับ
จงหาเศษจากการหาร $x^{120}+x^{96}+x^{72}+x^{48}+x^{24}$ ด้วย $x^4+x^3+x^2+x+1$
(ใช้ไอเดียเดียวกับข้อเมื่อกี้ครับ)

3. ข้อนี้ต้องใช้การประยุกต์นิดนึง
จงหาเศษจากการหาร $x^{100}$ ด้วย $x^4-3x^2+2$
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล
---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้

07 มกราคม 2017 15:46 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thgx0312555
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 07 มกราคม 2017, 19:03
tngngoapm's Avatar
tngngoapm tngngoapm ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 13 พฤศจิกายน 2014
ข้อความ: 462
tngngoapm is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555 View Post
วิธีนี้ช้าไปนิดนะครับ
จริงๆสังเกตว่า $x^3 \equiv 1 \pmod {x^2+x+1}$ (ให้นิยาม mod เหมือน mod ในจำนวนเต็ม)
$(x^3+1)^{2560} \equiv 2^{2560} \pmod {x^2+x+1}$
เศษเลยเป็น $2^{2560}$ ครับ

ขอตั้งข้อ 2 เลยนะครับ
จงหาเศษจากการหาร $x^{120}+x^{96}+x^{72}+x^{48}+x^{24}$ ด้วย $x^4+x^3+x^2+x+1$
(ใช้ไอเดียเดียวกับข้อเมื่อกี้ครับ)

3. ข้อนี้ต้องใช้การประยุกต์นิดนึง
จงหาเศษจากการหาร $x^{100}$ ด้วย $x^4-3x^2+2$
วิธีที่แสดงเป็นวิธีที่ก้าวหน้ามาก แสดงว่าน่าจะเริ่มมีคนเข้าใจงานเขียนของผมแล้ว (คือผมต้องการจะสร้างมันขึ้นมาเป็นระเบียบวิธีอยู่อ่ะครับ).........ไม่รู้จะได้หรือป่าว แต่ข้อมูลที่อยู่กับผมยังมีอีกเพียบเลย แบ่งปันกันครับเผื่อเกิดความคิดดีดีขึ้นมา
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 07 มกราคม 2017, 22:58
Thgx0312555's Avatar
Thgx0312555 Thgx0312555 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 885
Thgx0312555 is on a distinguished road
Default

ขอบคุณครับ รอติดตามต่อไปนะครับ
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล
---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 09 มกราคม 2017, 11:49
tngngoapm's Avatar
tngngoapm tngngoapm ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 13 พฤศจิกายน 2014
ข้อความ: 462
tngngoapm is on a distinguished road
Default

ระเบียบวิธีที่1
กำหนดให้ $P_{n}(x),Q_{n}(x),S_{n}(x),R_{n}(x)$ เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงและดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ 1 $(n\in จำนวนนับ)$

$$ \sharp \sharp\sharp ถ้า.... P_{1}(x) หารด้วย S_{1}(x).... แล้วเหลือเศษ...R_{1}(x)... และ... S_{2}(x) เป็นพหุนามย่อยของ S_{1}(x).... แล้ว$$$$พหุนาม .....P_{1}(x) หารด้วย S_{2}(x).... จะเหลือเศษเท่ากับ เศษที่ได้จากการหาร ....R_{1}(x) ด้วย S_{2}(x)....ด้วย\sharp \sharp\sharp $$

นิยาม
พหุนามเทียบเท่า
พหุนาม $P_{2}(x)$ เป็นพหุนามเทียบเท่ากับ $P_{1}(x)$ ก็ต่อเมื่อ ดีกรีของ $P_{2}(x)$=ดีกรีของ $P_{1}(x)$
และเซตคำตอบของรากสมการในระบบจำนวนเชิงซ้อนของ $P_{2}(x)=0$ เท่ากับ เซตคำตอบของรากสมการของ$P_{1}(x)=0$
ตัวอย่างเช่น พหุนาม$2x-1$ เทียบเท่ากับพหุนาม $4x-2$ เป็นต้น (ซึ่งพหุนามที่เทียบเท่ากับ $4x-2$ จะมีเป็นจำนวนอนันต์พหุนาม แต่ทั้งหมดนี้รวมเรียกว่าเป็น 1 ชุด)

พหุนามย่อย
พหุนาม $P_{2}(x)$ เป็นพหุนามย่อยของ $P_{1}(x)$ ก็ต่อเมื่อ ดีกรีของ $P_{2}(x)\leqslant ดีกรีของ P_{1}(x)$
และเซตคำตอบของรากสมการในระบบจำนวนเชิงซ้อนของ $P_{2}(x)=0$ เป็นสับเซตของ เซตคำตอบของรากสมการของ$P_{1}(x)=0$
ตัวอย่างเช่น พหุนาม$x-1$ เป็นพหุนามย่อยของ $x^{2}-2x+1$ เป็นต้น(พหุนามย่อยของ$x^{2}-2x+1$มี 2 ชุด คือ $x-1 และ x^{2}-2x+1$)

$Problem2........x^{120}+x^{96}+x^{72}+x^{48}+x^{24} หารด้วย x^4+x^3+x^2+x+1 เหลือเศษ?$
วิธีทำ
$x^5 \equiv 1 \pmod {x^5-1}$
$x^{120}+x^{96}+x^{72}+x^{48}+x^{24} \equiv 1+x+x^2+x^3+x^4 \pmod {x^5-1}$
$\therefore x^{120}+x^{96}+x^{72}+x^{48}+x^{24} หารด้วย x^5-1 เหลือเศษx^4+x^3+x^2+x+1$
และได้ว่า $\therefore x^{120}+x^{96}+x^{72}+x^{48}+x^{24} หารด้วย x^4+x^3+x^2+x+1 ลงตัว...... $
$เพราะ... x^4+x^3+x^2+x+1...เป็นพหุนามย่อยของ...x^5-1...[x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1 )]$
$และหาร...x^4+x^3+x^2+x+1...ลงตัว$

นอกจากนี้ เรายังสามารถหาเศษจากการหาร$x^{120}+x^{96}+x^{72}+x^{48}+x^{24}$ ด้วยพหุนามย่อยของ $x^5-1$ ตัวอื่นๆได้โดยง่ายเช่น.......
$x^2+(\frac{\sqrt{5}+1 }{2} )x+1$ เป็นพหุนามย่อยหนึ่งของ $x^5-1$ .......$[x^5-1=(x-1)(x^2+(\frac{\sqrt{5}+1 }{2} )x+1)(x^2+(\frac{1-\sqrt{5} }{2} )x+1)]$
......เศษจากการหาร$x^{120}+x^{96}+x^{72}+x^{48}+x^{24}$ ด้วย$x^2+(\frac{\sqrt{5}+1 }{2} )x+1$ หาจากนำ $x^4+x^3+x^2+x+1 $ หารด้วย $x^2+(\frac{\sqrt{5}+1 }{2} )x+1$ โดยวิธีหารยาวก็ได้จะได้ว่าหารลงตัว.......ไม่เหลือเศษเหมือนกัน

09 มกราคม 2017 12:59 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ tngngoapm
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 10 มกราคม 2017, 13:39
tngngoapm's Avatar
tngngoapm tngngoapm ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 13 พฤศจิกายน 2014
ข้อความ: 462
tngngoapm is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tngngoapm View Post
นิยาม
พหุนามเทียบเท่า
พหุนาม $P_{2}(x)$ เป็นพหุนามเทียบเท่ากับ $P_{1}(x)$ ก็ต่อเมื่อ ดีกรีของ $P_{2}(x)$=ดีกรีของ $P_{1}(x)$
และเซตคำตอบของรากสมการในระบบจำนวนเชิงซ้อนของ $P_{2}(x)=0$ เท่ากับ เซตคำตอบของรากสมการของ$P_{1}(x)=0$
ตัวอย่างเช่น พหุนาม$2x-1$ เทียบเท่ากับพหุนาม $4x-2$ เป็นต้น (ซึ่งพหุนามที่เทียบเท่ากับ $4x-2$ จะมีเป็นจำนวนอนันต์พหุนาม แต่ทั้งหมดนี้รวมเรียกว่าเป็น 1 ชุด)

พหุนามย่อย
พหุนาม $P_{2}(x)$ เป็นพหุนามย่อยของ $P_{1}(x)$ ก็ต่อเมื่อ ดีกรีของ $P_{2}(x)\leqslant ดีกรีของ P_{1}(x)$
และเซตคำตอบของรากสมการในระบบจำนวนเชิงซ้อนของ $P_{2}(x)=0$ เป็นสับเซตของ เซตคำตอบของรากสมการของ$P_{1}(x)=0$
ตัวอย่างเช่น พหุนาม$x-1$ เป็นพหุนามย่อยของ $x^{2}-2x+1$ เป็นต้น(พหุนามย่อยของ$x^{2}-2x+1$มี 2 ชุด คือ $x-1 และ x^{2}-2x+1$)
ระเบียบวิธีที่2
กำหนดให้ $P_{n}(x),Q_{n}(x),S_{n}(x),R_{n}(x)$ เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงและดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ 1 $(n\in จำนวนนับ)$

$$ \sharp \sharp\sharp ถ้า.... P_{1}(x) หารด้วย S_{1}(x).... แล้วเหลือเศษ...R_{1}(x)... และ... S_{2}(x) เป็นพหุนามเทียบเท่ากับ S_{1}(x).... แล้ว$$$$พหุนาม .....P_{1}(x) หารด้วย S_{2}(x).... จะเหลือเศษเท่ากับ..... R_{1}(x)....ด้วย\sharp \sharp\sharp $$

ตัวอย่างเช่น......$x^{3}-4x^{2}+5x+1.... หารด้วย.... x^2+2x-1.... เหลือเศษ.... 18x-5 $
จะได้ว่าพหุนาม $...2x^2+4x-2...,3x^2+6x-3 ....หรือ ....4x^2+8x-4... ก็หาร.... x^{3}-4x^{2}+5x+1... แล้วเหลือเศษเท่ากับ.... 18x-5... ด้วย$
เพราะพหุนาม $...x^2+2x-1....,2x^2+4x-2....,3x^2+6x-3.... หรือ... 4x^2+8x-4... ต่างก็เป็นพหุนามเทียบเท่ากัน$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #8  
Old 12 มกราคม 2017, 10:59
tngngoapm's Avatar
tngngoapm tngngoapm ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 13 พฤศจิกายน 2014
ข้อความ: 462
tngngoapm is on a distinguished road
Default เทคนิควิธีการหารสังเคราะห์แบบขั้นบันได

.........เทคนิควิธีการหารสังเคราะห์แบบขั้นบันไดเป็นเทคนิคการหารสังเคราะห์แบบหนึ่งที่ผมค้นคว้าเพิ่มเติมขึ้นมา เพื่อใช้ในการหาเศษพหุนาม แต่ก่อนจะพูดถึงวิธีในการหาเศษพหุนามด้วยเทคนิควิธีนี้ ผมจะขอยกตัวอย่างในการจัดรูปพหุนามเช่น พหุนาม$x^3-2x^2+3x+1$ สามารถจัดให้อยู่ในรูปพหุนามกำลังของ $(x-1)$ ได้คือ $(x-1)^3+(x-1)^2+2(x-1)+3$ หรือเขียนได้ว่า $$x^3-2x^2+3x+1=(x-1)^3+(x-1)^2+2(x-1)+3$$
......คือถ้าพอมีความรู้ทางพีชคณิตการจัดรูปดังกล่าวก็คงไม่น่าจะยากเย็นอะไรมาก แต่ถ้ากำลังของพหุนามเริ่มมากขึ้นล่ะครับ......เทคนิควิธีการหารสังเคราะห์แบบขั้นบันไดสามารถนำมาใช้หาสัมประสิทธิ์หน้าพหุนามกำลังของ $(x-a),a\in จำนวนจริง$ ได้ ซึ่งโดยหลักการใครพอทราบวิธีการหารสังเคราะห์อยู่แล้วก็ไม่ได้ยุ่งยากเพิ่มเติมอะไรมากครับ วิธีก็หารสังเคราะห์ไปเรื่อยๆ เช่น เราต้องการพหุนามกำลังของ $(x-a),a\in จำนวนจริง$ เราก็ใช้ $a$ หารสังเคราะห์ไปเรื่อยๆ โดยในการหารแต่ละครั้งจำนวนหลักตัวเลขก็จะลดลงไปครั้งละหนึ่งหลัก หารไปเรื่อยๆจนเหลือ 2 หลักก็เสร็จสิ้น ตอบ
........เช่นจงหาพหุนามกำลังของ $(x-1)$ ของ $x^6-2x^5+3x^4-4x^3+3x^2-2x+3$ ...ซึ่งจะตอบว่า
$x^6-2x^5+3x^4-4x^3+3x^2-2x+3=(x-1)^6+4(x-1)^5+8(x-1)^4+8(x-1)^3+4(x-1)^2+2$
รายละเอียดวิธีการหาผมแนบตัวอย่างมาให้ข้างล่างครับ ซึ่งจากการจัดรูปดังกล่าวถ้าถามว่า $x^6-2x^5+3x^4-4x^3+3x^2-2x+3$ หารด้วย $(x-1)^3$ เหลือเศษเท่าไหร่ ก็ตอบได้เบื้องต้นเลยครับว่าเหลือเศษ $4(x-1)^2+2$......ใครมีข้อสงสัยตรงไหน ติเตือนท้วงติง ได้เลยครับ
รูปภาพที่แนบมาด้วย
 

12 มกราคม 2017 11:00 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ tngngoapm
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #9  
Old 12 มกราคม 2017, 17:00
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tngngoapm View Post
.........เทคนิควิธีการหารสังเคราะห์แบบขั้นบันไดเป็นเทคนิคการหารสังเคราะห์แบบหนึ่งที่ผมค้นคว้าเพิ่มเติมขึ้นมา เพื่อใช้ในการหาเศษพหุนาม แต่ก่อนจะพูดถึงวิธีในการหาเศษพหุนามด้วยเทคนิควิธีนี้ ผมจะขอยกตัวอย่างในการจัดรูปพหุนามเช่น พหุนาม$x^3-2x^2+3x+1$ สามารถจัดให้อยู่ในรูปพหุนามกำลังของ $(x-1)$ ได้คือ $(x-1)^3+(x-1)^2+2(x-1)+3$ หรือเขียนได้ว่า $$x^3-2x^2+3x+1=(x-1)^3+(x-1)^2+2(x-1)+3$$
......คือถ้าพอมีความรู้ทางพีชคณิตการจัดรูปดังกล่าวก็คงไม่น่าจะยากเย็นอะไรมาก แต่ถ้ากำลังของพหุนามเริ่มมากขึ้นล่ะครับ......เทคนิควิธีการหารสังเคราะห์แบบขั้นบันไดสามารถนำมาใช้หาสัมประสิทธิ์หน้าพหุนามกำลังของ $(x-a),a\in จำนวนจริง$ ได้ ซึ่งโดยหลักการใครพอทราบวิธีการหารสังเคราะห์อยู่แล้วก็ไม่ได้ยุ่งยากเพิ่มเติมอะไรมากครับ วิธีก็หารสังเคราะห์ไปเรื่อยๆ เช่น เราต้องการพหุนามกำลังของ $(x-a),a\in จำนวนจริง$ เราก็ใช้ $a$ หารสังเคราะห์ไปเรื่อยๆ โดยในการหารแต่ละครั้งจำนวนหลักตัวเลขก็จะลดลงไปครั้งละหนึ่งหลัก หารไปเรื่อยๆจนเหลือ 2 หลักก็เสร็จสิ้น ตอบ
........เช่นจงหาพหุนามกำลังของ $(x-1)$ ของ $x^6-2x^5+3x^4-4x^3+3x^2-2x+3$ ...ซึ่งจะตอบว่า
$x^6-2x^5+3x^4-4x^3+3x^2-2x+3=(x-1)^6+4(x-1)^5+8(x-1)^4+8(x-1)^3+4(x-1)^2+2$
รายละเอียดวิธีการหาผมแนบตัวอย่างมาให้ข้างล่างครับ ซึ่งจากการจัดรูปดังกล่าวถ้าถามว่า $x^6-2x^5+3x^4-4x^3+3x^2-2x+3$ หารด้วย $(x-1)^3$ เหลือเศษเท่าไหร่ ก็ตอบได้เบื้องต้นเลยครับว่าเหลือเศษ $4(x-1)^2+2$......ใครมีข้อสงสัยตรงไหน ติเตือนท้วงติง ได้เลยครับ
ใช้สูตรของอนุกรมเทย์เลอร์ง่ายกว่าเยอะครับเพราะคำนวณออกมาได้ทันที
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #10  
Old 12 มกราคม 2017, 23:02
Thgx0312555's Avatar
Thgx0312555 Thgx0312555 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 885
Thgx0312555 is on a distinguished road
Default

ยากแหะครับ
ที่เคยเจอคือใช้
$P(x)=(x-1)^2Q(x)+ax+b \rightarrow P(1)=a+b$
$P'(x)=2(x-1)Q(x)+(x-1)^2Q'(x)+a \rightarrow P'(1)=a$
แล้วก็แก้สมการ
(น่าจะวิธีคล้ายๆกับอนุกรมเทย์เลอร์แหละครับ)
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล
---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #11  
Old 13 มกราคม 2017, 19:37
tngngoapm's Avatar
tngngoapm tngngoapm ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 13 พฤศจิกายน 2014
ข้อความ: 462
tngngoapm is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii View Post
ใช้สูตรของอนุกรมเทย์เลอร์ง่ายกว่าเยอะครับเพราะคำนวณออกมาได้ทันที
.......แน่นอนครับ นักคณิตศาสตร์ที่คิดสูตรอนุกรมเทย์เลอร์ ผลงานของเขาอยู่ในระดับอัจฉริยะอย่างไม่ต้องสงสัย.......และถ้าใครรู้ตัวว่าเราสุดยอดแล้วทางพีชคณิต ผมก็สนับสนุนให้ทำวิธีนี้เต็มที่ครับ.........(ขอบคุณครับ)

........แต่สำหรับผู้ที่เริ่มฝึกฝนคณิตศาสตร์หรือบุคคลทั่วไปที่ไม่ได้มีต้นทุนทางคณิตศาสตร์อะไรมากมาย คือยังไม่มั่นใจในทักษะทางคณิตศาสตร์ที่ดีพอ หรือยังไม่รู้ทฤษฎีทางแคลคูลัสหรือยังไม่รู้เรื่องว่าหาอนุพันธ์ยังไง การหารสังเคราะห์ก็เป็นวิธีแบบบ้านๆวิธีหนึ่งในการหาผลหารและเศษจากการหารพหุนาม โดยผมจะยกตัวอย่างวิธีการหาดังนี้ครับ(คือใครที่ยังไม่รู้วิธีการหารสังเคราะห์ทำยังไงก็แนะนำให้ค้นคว้าอ่านในหนังสือคณิตศาสตร์ระดับช ั้นม4ของ สสวท. เรื่องจำนวนจริง หัวข้อการแยกตัวประกอบพหุนามด้วยวิธีการหารสังเคราะห์หรือหัวข้อทฤษฎเศษเหลืออะไรประมาณนี้แหละครับ......

........ตัวอย่างที่ 1 เป็นตัวอย่างการหารพหุนามที่มีดีกรี 6 หารด้วยพหุนามกำลังสองสัมบูรณ์ โดยวิธีการหารสังเคราะห์แบบขั้นบันได(อันนี้ผมตั้งชื่อเอาเองครับ อย่าคิดมากกัน) เริ่มจากเอาสัมประสิทธิ์ของพหุนามมาเรียงกันจากดีกรีมากไปน้อย พหุนามดีกรี6 ก็มีสัมประสิทธิ์6ตัว ถ้าตัวหารพหุนามเป็น $(x-1)^2$ ตัวหารสังเคราะห์จะเท่ากับ 1 แต่ถ้าเป็น $(x+2)^2$
ตัวหารสังเคราะห์จะเท่ากับ -2 กำลังสองก็หารไป 2 ครั้ง อธิบายมากไปก็จะยาวและ ดูตามรูปละกันครับ ......
Name:  60.jpg
Views: 10994
Size:  73.0 KB


........ตัวอย่างที่ 2 ก็โจทย์เดียวกันครับแต่เปลี่ยนตัวหารเป็น$(x-1)^3$ก็ใช้ 1 หารสังเคราะห์ 3 ครั้ง ตอนตอบก็คล้ายกับตัวอย่างที่ 1 ตามรูปข้างล่างครับ
Name:  61.jpg
Views: 12579
Size:  90.9 KB


........และขอตบท้ายด้วยวิธีพื้นฐานการตั้งหารยาวครับ ลองเปรียบเทียบกันดูว่าแบบไหนง่ายยากยังไงใครถนัดแบบไหนก็ตามสบายเลยครับ ลองเปรียบเทียบกันดู
Name:  62.jpg
Views: 15631
Size:  46.0 KB


อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555 View Post
ยากแหะครับ
ที่เคยเจอคือใช้
$P(x)=(x-1)^2Q(x)+ax+b \rightarrow P(1)=a+b$
$P'(x)=2(x-1)Q(x)+(x-1)^2Q'(x)+a \rightarrow P'(1)=a$
แล้วก็แก้สมการ
(น่าจะวิธีคล้ายๆกับอนุกรมเทย์เลอร์แหละครับ)
เข้าใจครับ คนที่วิ่งเร็วอยู่แล้วจะมาให้วิ่งช้ามันก็เป็นเรื่องยาก แต่สำหรับคนที่เพิ่งเริ่มฝึกวิ่งฝึกเดิน แล้วยังไม่มั่นใจก็ลองฝึกวิ่งแบบช้าๆไปก่อนครับ แล้วถ้าเชี่ยวชาญมั่นใจขึ้นจะวิ่งให้เร็วยังไงก็พัฒนาการกันไปครับ......(ขอบคุณครับ)
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #12  
Old 22 มกราคม 2017, 21:14
tngngoapm's Avatar
tngngoapm tngngoapm ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 13 พฤศจิกายน 2014
ข้อความ: 462
tngngoapm is on a distinguished road
Default การใช้เทคนิควิธีการหารสังเคราะห์แบบขั้นบันไดหาผลหารและเศษจากการหารพหุนาม(เพิ่มเติม)

เทคนิควิธีการหารสังเคราะห์แบบขั้นบันไดสามารถนำมาใช้หาเศษและผลหารจากการหารด้วยพหุนาม P(x) โดยพหุนาม P(x) นั้นต้องสามารถแยกตัวประกอบได้เป็นพหุนามย่อยดีกรีหนึ่งคูณกัน เช่น $พหุนามx^2-2x-3=(x-3)(x+1)$ หรือ$พหุนาม (x+1)^3=(x+1)(x+1)(x+1)$ หรือ $พหุนาม x^3-x=(x)(x-1)(x+1)$ เป็นต้น
.......โดยจำนวนจริงที่ใช้ในการหารสังเคราะห์ก็คือรากของสมการ $P(x)=0$ นั้นเอง วิธีการหารก็เหมือนการหารสังเคราะห์ธรรมดาแต่ในการหารแต่ละครั้ง จำนวนเลขหลักในการหารจากลดลงไปหนึ่งหลักต่อการหารหนึ่งครั้ง หารจนครบแล้วเวลาตอบผลหารและเศษก็แปรผลอีกนิดหน่อยก็เสร็จสิ้นครับ เป็นวิธีการแก้ปัญหาที่หลีกเลี่ยงวิธีทางพีชคณิตคือกันตัวแปรออกไปก่อน คิดคำนวณเฉพาะตัวเลขแล้วค่อยแปลใส่ตัวแปรกลับเข้าไป.....
รูปภาพที่แนบมาด้วย
 
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #13  
Old 09 กุมภาพันธ์ 2017, 15:39
tngngoapm's Avatar
tngngoapm tngngoapm ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 13 พฤศจิกายน 2014
ข้อความ: 462
tngngoapm is on a distinguished road
Default การหาเศษพหุนามที่ได้จากการหารด้วยพหุนามดีกรีสาม(โดยการใช้สูตร)

ทฤษฎีเศษเหลือเศษของพหุนามดีกรีสาม มีหลักการคราวๆคือนำพหุนามกำลังสามนั้นมาหารากของสมการซึ่งจะได้ค่ารากออกมา 3 ค่าแทนด้วย $z_1,z_2,z_3$ เศษเหลือจะอยู่ในรูปพหุนามกำลัง2.....$ax^2-bx+c$.....วิธีการก็แค่หาค่า a,b,c ออกมาเป็นตัวเลข โดยค่า a,b,c นั้นจะสัมพันธ์อยู่กับค่า $P(z_1),P(z_2),P(z_3)และค่า z_1,z_2,z_3$ตามสูตรที่ผมให้ตามรูปแนบ.....ส่วนถ้าพหุนามดีกรีสามนั้นเป็นกำลังสามสมบูรณ์ ค่ารากที่เป็นจำนวนจริงจะมีเพียงค่าเดียว การหาค่าเศษจะใช้ตามสูตรแรกก็ได้แต่จะไม่สะดวก.....ก็จะใช้อีกสูตรหนึ่งคือเศษเหลือจะอยู่ในรูปพหุนามกำลัง2.....$ax^2+bx+c$.... โดยค่า a,b,c นั้นจะสัมพันธ์อยู่กับค่า $P(x_0),P'(x_0),P''(x_0),x_0$ โดย$x_0$คือรากของพหุนามกำลังสามสมบูรณ์นั้น ตามสูตรที่ผมได้แนบรูปไว้เช่นกัน .....ตบท้ายด้วยตัวอย่างการใช้สูตรทฤษฎีเศษเหลือทั้งสองสูตร....แล้วจะเอาข้อมูลมาupdateบ่อยๆครับแต่อาจจะช้าหน่อย....เพื่อชาวmath centerโดยเฉพาะครับ
รูปภาพที่แนบมาด้วย
           
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #14  
Old 24 กุมภาพันธ์ 2017, 18:41
tngngoapm's Avatar
tngngoapm tngngoapm ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 13 พฤศจิกายน 2014
ข้อความ: 462
tngngoapm is on a distinguished road
Default การหาเศษพหุนามที่ได้จากการหารด้วยพหุนามดีกรีสาม(โดยวิธีพหุนามย่อย)

การหาเศษพหุนามจากการหารด้วยพหุนามกำลังสาม วิธีที่ผมนำเสนอไปแล้วมี 2 วิธีคือ
1. โดยการหารสังเคราะห์แบบขั้นบันได และ
2. โดยการใช้สูตร
ผมจะขอนำเสนออีก 1 วิธี คือวิธีของพหุนามย่อย แต่สามารถแยกย่อยได้อีก 2 วิธีย่อยคือ
1. วิธีพหุนามย่อยกำลัง1
2. วิธีพหุนามย่อยกำลัง1เรียงลำดับ
โดยเหมือนเดิมผมได้สรุปเป็นเทคนิควิธีไว้ตามภาพแนบ เพื่อเป็นประโยชน์แก่ผู้สนใจครับ ถ้ามีข้อผิดพลาดติชมแสดงความเห็นได้เต็มที่เลยครับ
รูปภาพที่แนบมาด้วย
         
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #15  
Old 04 มีนาคม 2017, 15:57
tngngoapm's Avatar
tngngoapm tngngoapm ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 13 พฤศจิกายน 2014
ข้อความ: 462
tngngoapm is on a distinguished road
Default การนำเศษเหลือพหุนามไปประยุกต์ใช้

เช่นในการแก้ระบบสมการ
$a+b+c=1$................(1)
$a^2+b^2+c^2=2$..............(2)
$a^3+b^3+c^3=3$..............(3)
จงหาค่าของ $a^8+b^8+c^8=?$
..............จากระบบสมการข้างบนสามารถหา $ab+bc+ca=-\frac{1}{2}และ abc=-\frac{1}{6} $ได้ไม่ยาก สรุปได้ $a+b+c=1,ab+bc+ca=-\frac{1}{2}และ abc=-\frac{1}{6}$
สร้างสมการพหุนามที่เป็นคำตอบของตัวแปรa,b,cได้ $x^3-x-\frac{x}{2} -\frac{1}{6}=0$
..............การหาค่า $a^8+b^8+c^8=?$ หาโดยหาเศษของ $พหุนาม x^8 หารด้วยพหุนาม x^3-x-\frac{x}{2} -\frac{1}{6}$ โดยวิธีหารยาวก็ได้ ได้เท่ากับ $\frac{455}{72} x^2+\frac{196}{72} x+\frac{53}{72}$
จะด้าย
.............$a^8=\frac{455}{72} a^2+\frac{196}{72} a+\frac{53}{72}$
.............$b^8=\frac{455}{72} b^2+\frac{196}{72} b+\frac{53}{72}$
.............$c^8=\frac{455}{72} c^2+\frac{196}{72} c+\frac{53}{72}$
จะด้าย
.............$a^8+b^8+c^8=\frac{455}{72} (a^2+b^2+c^2)+\frac{196}{72}( a+b+c)+\frac{53}{72}(3)$
.............$a^8+b^8+c^8=\frac{455}{72} (2)+\frac{196}{72}(1)+\frac{53}{72}(3)$
.............$a^8+b^8+c^8=17.56944444...$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 03:16


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha