สมาคม คณิตศาสตร์ ม ปลาย ปี 2551

[B บ ....]

อ่ะ ๆ ทำไม่ได้เลยครับ ยากจัง
(แต่สำหรับบางคนอาจจาง่ายมากก็ได้มั้ง เห็นมีบางคนออกจากห้องสอบเร็วมากเยย)

โดยเฉพาะตอนเขียนอ่ะครับ ทำไม่ได้เลย
ใครไปสอบแล้วทำได้ เฉลยให้ดูทีสิครับ 5555

[อัจฉริยะข้ามจักรวาล]

ครายคิดได้ช่วยทีนะคร้าบ
-$ {\sqrt{ x+8- 6{\sqrt{x-1} } } } $ + $ {\sqrt{ x+24- 10{\sqrt{x-1} } } } $ = 2
(ข้อนี้ผมจัดรูปไปเรื่อยแล้วได้ 0 = 0 งงเลยครับ)

-กำหนดรูปสามเหลี่ยม ABC ซึ่งมีด้าน BC = a , AC = b , AB = c โดยที่ a > b
a^2+b^2 = 1 และ c = a^2 - b^2 ถ้ามุม B มีขนาด11 องศา แล้วมุม A มีขนาดกี่องศา

[Bonegun]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ อัจฉริยะข้ามจักรวาล

ครายคิดได้ช่วยทีนะคร้าบ
-$ {\sqrt{ x+8- 6{\sqrt{x-1} } } } $ + $ {\sqrt{ x+24- 10{\sqrt{x-1} } } } $ = 2
(ข้อนี้ผมจัดรูปไปเรื่อยแล้วได้ 0 = 0 งงเลยครับ)

ข้อนี้ ให้ $u=\sqrt{x-1}$
$\therefore x+8 = u^2+9$

เราจะจัดก้อนแรกได้ว่า

$\sqrt{u^2-6u+9}$ ทำนองเดียวกับ ก้่อนหลังครับ ก็แก้สมการได้ละ

[Doodaw]

คิดเหมือนผมเรย

แต่ผมคิดเลขผิด

[YESOVER]

ใครไปสอบมาช่วยโพสต์ข้อสอบให้ดูหน่อยสิครับ เห็นว่ายาก ทำไม่ทัน กันเยอะเลย

[Chronon]

เพิ่งมาใหม่นะคับ แหะๆ ขอฝากตัวด้วยละกันนะ
ยังใช้ Latex ไม่ค่อยได้ เลยขอพิมพ์ข้อที่พิมพ์ง่ายๆ แต่ทำยากก่อนละกันคับ

ตอนที่ 1

7. วงรีวงหนึ่งมี $F_{1}\left(1,1\right)$ และ $F_{2}\left(1,-3\right)$ เป็นจุดโฟกัส
ถ้า $A$ และ $B$ เป็นจุดบนวงรีที่ทำให้รูปสามเหลี่ยม $ABF_{2}$ มีเส้นรอบรูปยาว $12$ หน่วย
และส่วนของเส้นตรง $AB$ ผ่าน $F_{1}$ แล้วจุดในข้อใดต่อไปนี้อยู่บนวงรี
ก. $\left(3,\frac{3}{5}\sqrt{5}-1\right)$
ข. $\left(2,\frac{3}{5}\sqrt{5}-1\right)$
ค. $\left(3,\frac{2}{5}\sqrt{5}-1\right)$
ง. $\left(2,\frac{2}{5}\sqrt{5}-1\right)$

14. จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
(1.) ถ้า $\overline{u},\overline{v},\overline{w}$ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยใดๆ ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด แล้วจะสามารถเลือก $a,b,c\in \left\{-1,1\right\} $ ที่ทำให้ $\left|a\overline{u}+b\overline{v}+c\overline{w}\right| \leqslant 1$ได้
(2.) สา่มารถหาเวกเตอร์หนึ่งหน่วย $\overline{u},\overline{v},\overline{w}$ ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดที่ทำให้ $\left|a\overline{u}+b\overline{v}+c\overline{w}\right| \geqslant 1$ สำหรับทุกๆ $a,b,c\in \left\{-1,1\right\} $
ข้อใดต่อไปนี้ถูก
ก. (1.) จริง (2.) จริง ข. (1.) จริง (2.) เท็จ ค. ก. (1.) เท็จ (2.) จริง ง. (1.) เท็จ (2.) เท็จ

15. ถ้่า $a_{n}$ เป็นลำดับซึ่ง $a_{n}>0$ และ $\frac{a^2_{n+1}}{a_{n+1}+2a{n}}=a_{n} $ สำหรับทุกๆ จำนวนเต็มบวก $n$ แล้ว $\frac{1}{a_{1}} \sum_{n = 1}^{10}a_{n} $ มีค่าเป็นเท่าไร
ก. 511 ข. 512 ค. 1023 ง. 1024

16. กำหนด $a_{n}$ เ้ป็นลำดับเลขคณิต โดยมี $d\not= 0$ เป็นผลต่างร่วม ถ้า $\sum_{n = 100}^{200}a_{n} = c\sum_{n =100}^{200}\left(-1\right)^n a_{n}\not= 0$ แล้ว $c$ มีค่าเป็นเท่าไีร
ก. 99 ข. 100 ค. 101 ง. 102

19. ในบรรดาจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง 2008 มีจำนวนนับที่มีจำนวนหลักที่เป็นเลขโดดคู่เป็นจำนวนคี่ (เช่น 213, 74, 1428) เป็นจำนวนเท่ากับเท่าใด
ก. 1000 ข. 1001 ค. 1002 ง. 1003

ตอนที่ 2 (ปีนี้ดีหน่อย มีที่ให้ทด ปีที่แล้วอัดให้อยู่ใน 2 หน้า เหอๆ)

22. กำหนด $H$ เป็นไฮเพอร์โบลาที่มีแกนตามขวางยาว 6 หน่วย และแกนสังยุคยาว 8 หน่วย โดยมี $F_{1}$ และ $F_{2}$ เป็นจุดโฟกัส ถ้า $P$ เป็นจุดบนไฮเพอร์โบลา $H$ ที่ทำให้ $\widehat{F_{1}PF{2}}=90^\circ $ แล้ว รูปสามเหลี่ยม $F_{1}PF{2}$ มีพื้นที่กี่ตารา่งหน่วย

23. ถ้า
$$\bmatrix{a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3}} \bmatrix{1 & 2 & 3 \\ p & q & r \\ 7 & 8 & 9} = \bmatrix{1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3}} $$
และ $x,y,z$ สอดคล้องกับระบบสมการ
\[\begin{array}{rcl}
b_{2}x + b_{3}y + b_{1}z & = & 1 \\
c_{2}x + c_{3}y + c_{1}z & = & 2 \\
a_{2}x + a_{3}y + a_{1}z & = & 3
\end{array}\]
แล้ว $x$ มีค่าเท่าใดในพจน์ของ $p,q,r$

25. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน 50 คน มีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น $\sigma$
นิยาม $S(m) = \sum_{i = 1}^{50} \left(\frac{x_{i}-m}{\sigma} \right)^2 $
เมื่อ $x_{i}$ คือคะแนนสอบของนักเรียนคนที่ $i$
ถ้ามีจำนวนจริง $a$ ที่ $S(a) = S(a+1) = 52$ แล้ว $\sigma$ มีค่าเท่าใด

27. ครูมานี ครูมานะ และนักเรียน 10 คน ยืนเรียงแถวหน้่ากระดานแบบไม่เจาะจงตำแหน่งเพื่อถ่ายรูป ถ้า $P_{k}$ คือความน่าจะเป็นที่จะมีนักเรียน $k$ คนยืนคั่นระหว่างครูมานีและครูมานะ จงหาค่าของ $P_{k}$

28.มีสลาก 9 ใบ ที่มีหมายเลข 1-9 ไม่ซ้ำกันในกระป๋อง สุ่มหยิบขึ้นมาครั้่งละ 1 ใบ บันทึกหมายเลขที่ได้ แล้วใส่สลากกลับลงกระป๋อง แล้วสุ่มหยิบใหม่ ทำเช่นนี้ไปเรื่อยๆ ความน่าจะเป็นที่ผลคูณของหมายเลขที่บันทึกไว้จะหารด้วย 10 ลงตัว หลังจากหยิบไปแล้ว $n$ ครั้งเป็นเท่าใด

29.กำหนด $f$ เป็นฟังก์ชันจากเซต ${0,1,2,...,2551}$ ไปยังเซตของจำนวนเต็มบวก
ถ้า $f$ สอดคล้องทุกเงื่อนไขต่อไปนี้
\[\begin{array}{rcl}
f(2x+1) & = & f(2x) \\
f(3x+1) & = & f(3x) \\
f(5x+1) & = & f(5x) \\
f(7x+1) & = & f(7x)
\end{array}\]
แล้ว เรนจ์ของ $f$ มีจำนวนสมาชิกที่เป็นไปได้มากที่สุดกี่จำนวน

[Chronon]

พักเหนื่อยแปบนึงคับ แหะๆ
โดยส่วนตัวแล้ว ปีนี้ง่ายกว่าปีที่แล้วนิดนึงมั้งคับ อาจเป็นเพราะว่ามีที่ให้ทดเยอะขึ้น

30. กำหนด $z_{1},z_{2}\in \mathbb{C} $ ซึ่ง $z_{1},z_{2}\not= 0$ และ $\frac{z_{1}}{z_{2}}\not\in \mathbb{R} $
ถ้า
$$z_{1}\log\left|z_{1}\right|+z_{2}\log\left|z_{2}\right|=\left(z_{1}+z_{2}\right) \log\left|z_{1}+z_{2}\right| $$
แล้ว $\frac{z_{1}}{z_{2}} $ มีค่าเท่าใด

31. ถ้าเส้นตรง $2x + y = 0$ สัมผัสกราฟของ $y = f(x)$ ที่จุดกำเนิด
และเส้นตรง $x + 2y = 2$ สัมผัสกราฟของ $y = g(x)$ ที่จุด $(0,1)$
แล้วจงหาค่าของ
$$\lim_{x \to 0} \frac{(f(x))^3 + x^2 g(x) - x^2}{\left(\sqrt[4]{1+x^2} -1\right)f(x) } $$

32. จงหาค่าของ
$$\lim_{x \to \pi^{+}}\frac{\sqrt{2}\sin x + \sqrt{2\sin^2 x + 2\sin x + \sin 2x} }{1 + \cos x} $$

33. กำหนด $A,B,C$ เป็นจุดบนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด $O$ ให้ $D$ เป็นจุดกึ่งกลางด้าน $AB$ และ $E$ เป็นจุดซึ่ง $\overrightarrow{OE} = \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD} $ ถ้า $\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OE} = \overrightarrow{OD}\cdot \overrightarrow{OE}$
และ $\left|\overrightarrow{AB}\right| = 4\left|\overrightarrow{CD}\right| $ แล้ว $\cos \widehat{a} $ มีค่าเท่าใด

35. จงหาึค่าของ
$$\int_{1}^{3}\left(\frac{2}{x} + \sqrt{\frac{4}{x} -1} \right)^{-\frac{1}{2} } dx $$

พิมพ์ไปเริ่มเหนื่อย แต่ก็หนุกดีคับ อิๆ ว่างๆ จะมาลงวิธีทำบางข้อให้นะคับ

[หยินหยาง]

ต้องยกนิ้วให้คุณ Chronon ที่อุตส่าห์พิมพ์ให้ครับ ตอนแรกก็คิดว่าจะสแกนลงให้แต่ต้นฉบับต้องทำความสะอาดกันยกใหญ่ยังไม่มีเวลาเลยไม่ได้ทำซักที
แต่ผมว่าข้อสอบปีนี้น่าจะยากกว่าปีที่แล้วนิดนึงครับ เห็นบอกว่าโต้โผใหญ่ของการออกข้อสอบเป็น ดร. ไพศาล นำทีมครับ

[Ne[S]zA]

ช่วยเฉลยข้อ35ตอน2ทีงับ

[beginner01]

$\displaystyle\int_{1}^{3}\left(\frac{2}{x}+\sqrt{\frac{4}{x}-1}\right)^{-\frac{1}{2}}dx$
=$\displaystyle\int_{1}^{3}\sqrt{2}\left(\frac{4}{x}-1+2\sqrt{\frac{4}{x}-1}+1\right)^{-\frac{1}{2}}dx$
=$\displaystyle\int_{1}^{3}\sqrt{2}\frac{1}{\sqrt{\frac{4}{x}-1}+1}dx$
=$\displaystyle\sqrt{2}\int_{1}^{3}\frac{1}{\sqrt{\frac{4}{x}-1}+1}dx$
ตรงนี้ไม่เข้าใจว่าได้มายังไงเหมือนกันนะครับ แต่ไปเช็คจาก mathematica ก็ได้ว่า
=$\displaystyle\sqrt{2}\left[\frac{1}{2}\left(-x\sqrt{\frac{4}{x}-1}+x+2\left(\ln\left(x\sqrt{\frac{4}{x}-1}+2\right)\right)\right)\right]^3_1$
=$\sqrt{2}$

[gon]

ข้อ 35 ตอบ $\sqrt{2}$

ข้อนี้ต้องใช้ทริก ซึ่งถ้าจำไม่ผิด น่าจะเคยนำมาออกแล้วที่ไหนสักแห่ง แต่ยังสร้างเชือกผูกเข้าไปอีก 1 ปมก่อนครับ

สมมติให้ $u = \sqrt{\frac{4}{x} - 1}$ จะได้ $\frac{2}{x} + \sqrt{\frac{4}{x} - 1} = \frac{(u+1)^2}{2}$

ดังนั้นโจทย์ = $\int \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\frac{4}{x} - 1} + 1} dx$ = $\int \frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{4-x} + \sqrt{x}} dx \quad.. (*)$

ให้ $I = \int^3_1 \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4-x} + \sqrt{x}} dx $

(ตรงนี้ให้สังเกตว่า $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4-x} +\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{4-x}}{\sqrt{4-x} +\sqrt{x}}= 1$ นะครับ)
ให้ $u = 4 - x$ จะได้ $du = -dx$ และ $x = 4 - u$

ดังนั้น $\int^3_1 \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4-x} + \sqrt{x}} dx = - \int^1_3 \frac{\sqrt{4-u}}{\sqrt{u} + \sqrt{4-u}} du
= \int^3_1 \frac{\sqrt{4-x}}{\sqrt{x} + \sqrt{4-x}} dx $

ตอนนี้สรุปได้ว่า $\int^3_1 \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4-x} + \sqrt{x}} dx = \int^3_1 \frac{\sqrt{4-x}}{\sqrt{x} + \sqrt{4-x}} dx = I $

ดังนั้น $2I = \int^3_1 \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4-x} + \sqrt{x}} dx + \int^3_1 \frac{\sqrt{4-x}}{\sqrt{x} + \sqrt{4-x}} dx= \int^3_1 \frac{\sqrt{x}+\sqrt{4-x}}{\sqrt{4-x} + \sqrt{x}} dx = \int^3_1 dx = 2 \Rightarrow I = 1$

เมื่อแทนค่าลงใน (*) ก็จะได้ $\sqrt{2}$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Chronon

30. กำหนด $z_{1},z_{2}\in \mathbb{C} $ ซึ่ง $z_{1},z_{2}\not= 0$ และ $\frac{z_{1}}{z_{2}}\not\in \mathbb{R} $
ถ้า
$$z_{1}\log\left|z_{1}\right|+z_{2}\log\left|z_{2}\right|=\left(z_{1}+z_{2}\right) \log\left|z_{1}+z_{2}\right| $$
แล้ว $\frac{z_{1}}{z_{2}} $ มีค่าเท่าใด

จัดรูปใหม่ได้

$$z_1\Big(\log{|z_1|-\log{|z_1+z_2|}}\Big)=z_2\Big(\log{|z_1+z_2|-\log{|z_2|}}\Big)$$

เงื่อนไข $\dfrac{z_1}{z_2}\not\in\mathbb{R}$ บังคับให้

$\log{|z_1+z_2|}=\log{|z_1|}=\log{|z_2|}$

ดังนั้น $|z_1+z_2|=|z_1|=|z_2|$

ให้ $\dfrac{z_1}{z_2}=\cos{A}+i\sin{A}$

จะได้ว่า $(1+\cos{A})^2+\sin^2{A}=1$ จาก $|z_1+z_2|=|z_2|$

แก้สมการได้ $\cos{A}=-\dfrac{1}{2}$

และได้ $\sin{A}=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

ดังนั้น $\dfrac{z_1}{z_2}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i,-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Chronon

31. ถ้าเส้นตรง $2x + y = 0$ สัมผัสกราฟของ $y = f(x)$ ที่จุดกำเนิด
และเส้นตรง $x + 2y = 2$ สัมผัสกราฟของ $y = g(x)$ ที่จุด $(0,1)$
แล้วจงหาค่าของ
$$\lim_{x \to 0} \frac{(f(x))^3 + x^2 g(x) - x^2}{\left(\sqrt[4]{1+x^2} -1\right)f(x) } $$

หลังจากพยายามคิดโดยใช้ความรู้ไม่เกินม.ปลายตามเจตนาของผู้ออกโจทย์จะได้แบบนี้ครับ

จากเงื่อนไขโจทย์ได้ว่า

$f(0)=0,f'(0)=-2,g(0)=1,g'(0)=-\dfrac{1}{2}$

$$\lim_{x \to 0} \frac{(f(x))^3 + x^2 g(x) - x^2}{\left(\sqrt[4]{1+x^2} -1\right)f(x) }=\lim_{x\to 0}\dfrac{\Big(\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}\Big)^3+\Big(\dfrac{g(x)-g(0)}{x-0}\Big)}{\dfrac{1}{\Big(\sqrt[4]{1+x^2}+1\Big)\Big(\sqrt{1+x^2}+1\Big)}\Big(\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}\Big)} $$

$$=\frac{(f'(0))^3+g'(0)}{(1/2)(1/2)f'(0)}~~~~~~~~~~~$$

$$=17~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$$

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

หลังจากพยายามคิดโดยใช้ความรู้ไม่เกินม.ปลายตามเจตนาของผู้ออกโจทย์จะได้แบบนี้ครับ

จากเงื่อนไขโจทย์ได้ว่า

$f(0)=0,f'(0)=-2,g(0)=1,g'(0)=-\dfrac{1}{2}$

$$\lim_{x \to 0} \frac{(f(x))^3 + x^2 g(x) - x^2}{\left(\sqrt[4]{1+x^2} -1\right)f(x) }=\lim_{x\to 0}\dfrac{\Big(\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}\Big)^3+\Big(\dfrac{g(x)-g(0)}{x-0}\Big)}{\dfrac{1}{\Big(\sqrt[4]{1+x^2}+1\Big)\Big(\sqrt{1+x^2}+1\Big)}\Big(\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}\Big)} $$

$$=\frac{(f'(0))^3+g'(0)}{(1/2)(1/2)f'(0)}~~~~~~~~~~~$$

$$=17~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$$

ผมใช้วิธีทำแบบนี้ได้หรือเปล่าครับช่วยชี้แนะด้วยครับ
เนื่องจากกำหนดให้ $2x + y = 0$ สัมผัสกราฟของ $y = f(x)$ ดังนั้นจะได้ว่า $y =-2x = f(x)$
และเส้นตรง $x + 2y = 2$ สัมผัสกราฟของ $y = g(x)$ ดังนั้นจะได้ว่า $y =-\frac{1}{2}x+1 = g(x)$
แล้วนำไปแทนค่าใน $\lim_{x \to 0} \frac{(f(x))^3 + x^2 g(x) - x^2}{\left(\sqrt[4]{1+x^2} -1\right)f(x) } = \lim_{x \to 0} \frac{(-2x)^3 + x^2(-\frac{1}{2}x+1) - x^2}{\left(\sqrt[4]{1+x^2} -1\right)(-2x) }=\lim_{x \to 0} \frac{17x^2 }{4\left(\sqrt[4]{1+x^2} -1\right)}$
แล้วก็นำเอา $(\sqrt[4]{1+x^2} +1)(\sqrt{1+x^2} +1)$ คูณทั้งเศษและส่วน แล้วค่อย take limit จะได้คำตอบ 17

[butare]

อยากรู้วิธีคิด หรือแนวคิดก็ได้
เรื่องเวกเตอร์ครับ ผมพิมพ์สูตรไม่ถูกขอแนบเป็นรูปละกันครับ