Trigonometric Marathon

[Mastermander]

เฉลยของผมเป็นแบบนี้ครับ


18. จงหาค่าของ
$$\arctan 2+\arctan 3$$

[nongtum]

18. ให้ $y=\arctan 2+\arctan 3$ จะได้ $\tan y=\frac{2+3}{1-2\cdot3}=-1$ ดังนั้น $y=3\pi/4$ (ดูโดเมนผิดซะงั้น)

19. Two Quickies: จงหาค่าของ
a) $\cos15^\circ+\cos 87^\circ+\cos 159^\circ+\cos 231^\circ+\cos 303^\circ$
b) $\sin^210^\circ+\sin^220^\circ+\dots+\sin^290^\circ$

ข้อ 17 อาจจะ tricky นิดๆแต่ไม่ยากครับ

[Mastermander]

ข้อ 18. คุณ nongtum ไม่ถูกต้องนะครับ

19.b)
$$\sin^210^\circ+\cos^210^\circ+\sin^220^\circ+\cos^220^\circ+\sin^230^\circ+\cos^230^\circ+\sin^240^\circ+\cos^240^\circ+\sin^2 90^\circ=5$$

[M@gpie]

ข้อ 18. ใช้คุณสมบัติ
\[ arctanx + arctany = arctan \big( \frac{x+y}{1-xy} \big) ; \; \; xy<1 \]
\[ arctanx + arctany = \pi + arctan \big( \frac{x+y}{1-xy} \big) ; \; \; xy > 1 \]
\[ arctan2 + arctan3 = \pi + arctan \big( \frac{5}{1-6} \big) = \frac{3\pi}{4} \]

[Mastermander]

20. คำนวนค่าของ

$$\sqrt[3]{\cos\frac{2\pi}{7}}+\sqrt[3]{\cos\frac{4\pi}{7}}+\sqrt[3]{\cos\frac{8\pi}{7}}$$

Answer

$$\sqrt[3]{\frac12(5-3\sqrt[3]{7})}$$

[Mastermander]

22.
$A+B+C=\pi$
prove that
$$\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\leq\frac18$$

[Mr.high]

เฉลยข้อที่ 22.

ข้อ 22.
$$ \sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2} $$
$$ = \cos\frac{B+C}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2} $$
$$ = \frac{1}{2}\cos \frac{B+C}{2} \left( \cos\frac{B-C}{2} - \cos\frac{B+C}{2} \right) $$
$$ \leq \frac{1}{2}\left( \frac{\cos \frac{B+C}{2}+\cos\frac{B-C}{2} - \cos\frac{B+C}{2}}{2}\right)^2 $$
$$ \leq \frac{1}{8} \left( \cos \frac{B-C}{2}\right) ^2$$
$$ \leq \frac{1}{8}$$

งั้นผมขึ้นข้อต่อไปเลยละกัน
ข้อ 23.
Evaluate the product
$$\prod^n_{k=1} \left( 1- tan^2\frac{2^k\pi}{2^n+1}\right)$$
จากหนังสือ Mathematical Olympiad Challenges

ปล.ผมสังเกตในเวปบอร์ดต่างประเทศ เค้าจะซ่อนเฉลยไว้ เพื่อไม่ให้คนที่มาดูต้องพบกับเฉลยก่อนที่จะได้คิด อันนี้ก็แล้วแต่คนนะครับ

[passer-by]

ข้อ 23

ให้ $ \theta_k= \frac{2^k\pi}{2^n+1}$

ดังนั้น $$ \prod_{k=1}^n (1-\tan^2\theta_k)= \prod_{k=1}^n \big(\frac{\cos 2\theta_k}{\cos\theta_k}\big) \big(\frac{1}{\cos\theta_k})=\prod_{k=1}^n \big(\frac{\cos\theta_{k+1}}{\cos\theta_k}\big)\big(\frac{1}{\prod_{k=1}^n \cos\theta_k}\big )$$

สำหรับผลคูณวงเล็บแรก แต่ละเทอมในผลคูณ จะตัดกัน จนได้ผลดังนี้
$$ \prod_{k=1}^n \frac{\cos\theta_{k+1}}{\cos\theta_k}=\frac{\cos\theta_{n+1}}{\cos\theta_1}= \frac{\cos\frac{2^{n+1}\pi}{2^n+1}}{\cos\frac{2\pi}{2^n+1}}=\frac{\cos(2\pi-\frac{2\pi}{2^n+1})}{\cos\frac{2\pi}{2^n+1}}=1 $$

ส่วนวงเล็บต่อไป คูณด้วย $ 2\sin\theta_1 $ และคูณด้วย 2 ต่อไปเรื่อยๆเพื่อยุบผลคูณ (ลองทดดูเองนะครับ) พบว่า $$ \prod_{k=1}^n \cos\theta_k = \cos\theta_1\cos 2\theta_1\cos 4\theta_1\cdots\cos (2^{n-1}\theta_1)=\frac{\sin\theta_{n+1}}{2^n\sin\theta_1}=\frac{-\sin\theta_1}{2^n\sin\theta_1}=\frac{-1}{2^n} $$

สรุปว่า ข้อนี้ตอบ $-2^n $

และก็ข้อต่อไป

24. Simplify $$ \sum_{k=0}^n {n \choose k}\cos k\theta $$

Edit (1): แก้ข้อ 23 ตามคำท้วงติงของคุณ zead
(2): ขยายความวิธีทำบางส่วน

[zead]

ให้ z =cosq+isinq
พิจารณา$ {n \choose 0} $(cosq+isinq)⁰+$ {n \choose 1} $(cosq+isinq)¹+...+$ {n \choose n} $(cosq+isinq)ⁿ=((cosq+isinq)+1)ⁿ=((cosq+1)+isinq)ⁿ
ใช้ทฤษฎีบทเดอร์มัวร์กับสมการฝั่งซ้ายแล้วเทียบส่วนจริงจะได้
$ {n \choose 0} $(cos0)+$ {n \choose 1} $cosq+...+$ {n \choose n} $cosnq=Re((cosq+1)+isinq)ⁿ=(cosq+1)ⁿ-$ {n \choose 2} $(cosq+1)^n-2sin²q+...


ข้อ25.หาค่าของ$$ \prod^{2^{1999}}_{k=0}(4sin^{2}\frac{k\pi}{2^{2000}}-3) $$

[passer-by]

ข้อ 24 จบเกือบสวยแล้วครับ
แต่ Re((cosq+1)+isinq)ⁿ ยัง simplify ได้อีกครับ

และคุณ zead มาแก้ตัว $ \pi $ ที่พิมพ์ในข้อ 25 ด้วย ก็ดีนะครับ

[Mastermander]

26.$$\sin^{-1}\alpha + \sin^{-1}\beta + \sin^{-1}\gamma = \pi$$
Prove that

$\alpha\sqrt{1-\alpha^2}+\beta\sqrt{1-\beta^2}+\gamma\sqrt{1-\gamma^2}=2\alpha\beta\gamma$

[zead]

ข้อ26. ให้ sin^-1a=A,sin^-1b=B,sin^-1g=C
\sinA=a,sinB=b,sinC=g
แทนค่าในโจทย์เป็นจะเปลี่ยนสิ่งที่ต้องการพิสูจน์เป็น sinA|cosA|+sinB|cosB|+sinC|cosC|=2sinAsinBsinC
ซsin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinCซึ่งจริงสำหรับA+B+C=p

ส่วนโจทย์ข้อต่อไปขอยกข้อก่อนนหน้าที่ยังไม่มีใครตอบมาแทนครับ

ข้อ25.หาค่าของ$$ { \prod^{2^{1999}}_{k=0}(4sin^{2}\frac{k\pi}{2^{2000}}-3) }$$

[passer-by]

เดี๋ยวดินจะพอกหางหมู ผมขอเฉลยข้อ 24 ต่อให้จบก่อนนะครับ

$ (1+\cos\theta) + i\sin\theta= 2\cos\frac{\theta}{2}(\cos\frac{\theta}{2}+i\sin\frac{\theta}{2}) $

ดังนั้น By De Moivre theorem
$ ((1+\cos\theta) + i\sin\theta)^n= (2\cos\frac{\theta}{2})^n(\cos\frac{n\theta}{2}+i\sin\frac{n\theta}{2}) $

หรือหมายความว่า $ Re((1+\cos\theta) + i\sin\theta)^n= (2\cos\frac{\theta}{2})^n(\cos\frac{n\theta}{2}) $


ส่วนข้อ 25 ขอตอบรวมกับแบบที่ generalize แล้ว นะครับ

ให้ $$ \prod^{2^{n-1}}_{k=0}(4\sin^{2}\frac{k\pi}{2^n}-3)=(-3)\prod^{2^{n-1}}_{k=1}(4\sin^{2}\frac{k\pi}{2^n}-3)=-3p_n $$

และ $\quad \theta_k=\frac{k\pi}{2^n} $

เพราะ $ \quad 4\sin^{2}\theta_k-3 = -\frac{\sin3\theta_k}{\sin\theta_k} $
ดังนั้น $$ p_n= (-1)^{2^{n-1}} \prod_{k=1}^{2^{n-1}}\frac{\sin3\theta_k}{\sin\theta_k}=(-1)^{2^{n-1}} \frac{\prod_{k=1}^{2^{n-1}}\sin3\theta_k}{\prod_{k=1}^{2^{n-1}}\sin\theta_k}= (-1)^{2^{n-1}}\frac{b_n}{a_n} $$

เมื่อจับคู่คูณเทอมต้นกับเทอมท้ายไปเรื่อยๆ ประกอบกับ ใช้สูตร $ \sin\theta \cos\theta=\frac{\sin2\theta}{2}$ จะได้ recurrence relation

$$ a_n=\frac{1}{\sqrt{2}}\big (\frac{a_{n-1}}{2^{2^{n-2}-1}}\big ) \quad n \geq 2 \quad a_1= 1 $$
$$ b_n=\frac{1}{\sqrt{2}}\big (\frac{b_{n-1}}{(-2)^{2^{n-2}-1}}\big ) \quad n \geq 2 \quad b_1= -1 $$

ดังนั้น $$ \frac{b_n}{a_n}=\big ( \frac{b_{n-1}}{a_{n-1}} \big ) (-1)^{2^{n-2}-1} \quad n \geq 2 \quad \frac{b_1}{a_1}=-1 $$
สรุปว่า $ p_n=1$ เมื่อ n เป็นเลขคี่ และ $ p_n=-1$ เมื่อ n เป็นเลขคู่

ดังนั้น ผลคูณที่ต้องการ เท่ากับ -3 เมื่อ n เป็นเลขคี่ และ เท่ากับ 3 เมื่อ n เป็นเลขคู่

สรุปว่าข้อ 25 ตอบ 3

ต่อไปก็ ข้อ 27

ถ้า n เป็นจำนวนนับ และ $ 0 < x \leq \frac{\pi}{2}$ พิสูจน์ว่า
$$ \cot\frac{x}{2^n}-\cot x \geq n $$

[zead]

ข้อความเดิมของคุณpasser-by:
ข้อ 23
ให้ $ \theta_k= \frac{2^k\pi}{2^n+1}$

ดังนั้น $ 1-\tan^2\theta_k= \frac{\cos 2\theta_k}{\cos\theta_k}=\frac{\cos\theta_{k+1}}{\cos\theta_k}$

เท่ากับว่า แต่ละเทอมในผลคูณ จะตัดกันจนเหลือแค่
$\frac{\cos\theta_{n+1}}{\cos\theta_1}= \frac{\cos\frac{2^{n+1}\pi}{2^n+1}}{\cos\frac{2\pi}{2^n+1}}=\frac{\cos(2\pi-\frac{2\pi}{2^n+1})}{\cos\frac{2\pi}{2^n+1}}=1 $

$ 1-tan^{2}\theta_{k}=\frac{cos2\theta_k}{cos^{2}\theta_k} $นะครับ

[zead]

ข้อ27
ให้P(n):$ cot\frac{x}{2^{n}}-cotx\ge n
สำหรับnเป็นจำนวนนับและ 0<x\le \frac{\pi}{2}$
จะพิสูจน์โดยวิธีอุปนัย
ขั้นฐาน : P(1):$ cot\frac{x}{2}-cotx\ge 1 ซึ่งเป็นจริงเพราะถ้าจัดรูปโดยใช้cot2A=\frac{cot^{2}A-1}{2cotA} จะกลายเป็น cot^{2}\frac{x}{2}+1\ge 2cot\frac{x}{2}$
ขั้นอุปนัย :สมมติP(n)จริง \$cot\frac{x}{2^{n}}-cotx\ge n
บวก1ทั้งสองข้างจะได้
n+1\le cot\frac{x}{2^{n}}-cotx+1 เราต้องการพิสูจน์ว่าP(n+1)จริงนั่นคือcot\frac{x}{2^{n}}+1\le cot\frac{x}{2^{n+1}}$ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ในทำนองเดียวกับขั้นฐาน

ข้อ28 หาค่าเฉลี่ยของ2sin2ฐ+4sin4ฐ+...+180sin180ฐ

Hint

cot1ฐ