Trigonometric Marathon

[M@gpie]

แหะๆ ไม่ได้ตอบนะครับ แต่รู้สึกว่าโจทย์จะทวีความยากขึ้นๆ เรื่อยๆ
คุณ zead ก็ยอดเยี่ยมไม่เบานะครับ

[Mastermander]

หลังๆผมเริ่มไม่รู้เรื่องแล้วครับ

[passer-by]

ข้อ 23 ผมกลับไปแก้เรียบร้อยแล้วครับ หวังว่าคงไม่ผิดอีก ถ้าให้ดีก็รบกวนเจ้าของโจทย์เช็คอีกทีแล้วกันครับ

ส่วนข้อ 27 ผมว่าตรงพิสูจน์ขั้นฐาน ยังไม่เคลียร์นะครับ รบกวนคุณ zead เช็คอีกทีแล้วกัน

สำหรับข้อ 27 ของผม ทำอย่างนี้ครับ

click

เพราะ $ \cot\theta -\cot 2\theta=\frac{1}{\sin2\theta}\geq 1 $ ดังนั้น
$$ \cot\frac{x}{2^n}-\cot x = (\cot\frac{x}{2^n}-\cot \frac{x}{2^{n-1}})+(\cot\frac{x}{2^{n-1}}-\cot \frac{x}{2^{n-2}})+\cdots+( \cot\frac{x}{2}-\cot x) \geq n $$

แล้วก็ข้อ 28 (ซึ่งผมคุ้นมากๆ แต่นึกไม่ออกว่ามาจากแหล่งไหน)

ให้ S แทนผลบวกจากโจทย์

$ \begin{array}{lc} S = (2 \sin 2^{\circ}+178 \sin 178^{\circ})+ \cdots +(88 \sin 88^{\circ}+ 92\sin 92^{\circ})+90 \sin 90^{\circ}+180 \sin 180^{\circ} \\ \quad =180 (\sin 2^{\circ}+ \cdots +\sin 88^{\circ})+90 \\ \quad =180 \big (\frac{\cos1^{\circ}-\cos 89^{\circ}}{2\sin 1 ^{\circ}}\big )+90 \\ \quad =180 \big (\frac{\cos1^{\circ}-\sin 1^{\circ}}{2\sin 1^{\circ}}\big )+90 \\ \quad = 90 \cot 1^{\circ}\end {array} $

ดังนั้น average ของ S คือ $ \cot 1^{\circ} $


ข้อ 29 (แบบง่ายๆ กันบ้าง)

Evaluate $$ \sin \frac{\pi}{2006}\sin \frac{3\pi}{2006} \sin \frac{5\pi}{2006}\cdots \sin\frac{1001\pi}{2006}$$

[Mr.high]

ต้องขอโทษด้วยนะครับไม่ได้เข้ามาเช็คซะนาน
ผมอ่านของคุณ passer-by แล้วรู้สึกแปลกๆนะครับ
ข้อ 23
จาก $$ 1 - \tan^2\theta = \frac{2\tan\theta}{\tan2\theta}$$
จึงได้ว่า $$\prod^n_{k=1}\left(1 - \tan^2\frac{2^k\pi}{2^n+1} \right)$$
ให้ $ \theta_k = \frac{2^k\pi}{2^n+1} $
$$ = \prod^n_{k=1} \left(\frac{ 2 \tan\theta_k}{\tan\theta_{k+1}} \right)$$
$$ = 2^n\prod^n_{k=1} \left(\frac{\tan\theta_k}{\tan\theta_{k+1}} \right)$$
$$ = 2^n \frac{\tan\theta_1}{\tan\theta_{n+1}} $$
แต่เนื่องจาก $ \frac{2^{n+1}\pi}{2^n+1} = 2\pi - \frac{2\pi}{2^n+1} $
ดังนั้น $$ = 2^n \frac{\tan\theta_1}{\tan(2\pi - \theta_1)}$$
$$ = - 2^n$$
สวยงามมากครับข้อนี้

[zead]

ข้อ29

$ \sin\frac{\pi}{2006}\sin\frac{3\pi}{2006}\sin\frac{5\pi}{2006}\cdots \sin\frac{1001\pi}{2006}=\frac{\sin\frac{\pi}{2006}\sin\frac{2\pi}{2006}\sin\frac{3\pi}{2006}\cdots \sin\frac{1001\pi}{2006}\sin\frac{1002\pi}{2006}}{\sin\frac{\pi}{1003}\sin\frac{2\pi}{1003}\sin\frac{3\pi}{1003}\cdots \sin\frac{501\pi}{1003}}$
$sin\frac{\pi}{2006}sin\frac{1002\pi}{2006}=sin\frac{\pi}{2006}cos\frac{\pi}{2006}=\frac{sin\frac{\pi}{1003}}{2}$
ในทำนองเดียวกันกับคู่อื่นๆ จะตัดกันจนเหลือแค่ $\frac{1}{2^{1003}}$

ข้อ 27 ในขั้นฐานA=x/2และอสมการหลังจัดเป็นกำลังสองหรือA.M.-G.M.ครับ

[passer-by]

ข้อ 29 วิธีทำ ถูกแล้วครับ แต่สงสัยคุณ zead รีบไปนิดนึง เพราะมีคู่ให้จับ แค่ 501 คู่ครับ ดังนั้นข้อนี้ตอบ $(\frac{1}{2})^{501} $ ครับ

และก็ generalize ได้เป็น $$ \sin \frac{\pi}{4n+2}\sin \frac{3\pi}{4n+2} \sin \frac{5\pi}{4n+2}\cdots \sin\frac{(2n-1)\pi}{4n+2} = (\frac{1}{2})^n $$

สำหรับข้อต่อไป ใครอยากถามก็ตามสบายเลยคร้าบ...

ส่วนข้อ 27 ผมพอจะเข้าใจ เจตนาของคุณ zead แล้วครับ
ถ้าตอบแบบคุณ zead งั้นผมว่าเขียนอย่างนี้ดีไหมครับ
$$ \cot\frac{x}{2}-\cot x = \cot\frac{x}{2}- \frac{\cot^2 \frac{x}{2}-1}{2\cot \frac{x}{2}} =\frac{\cot^2 \frac{x}{2}+1}{2\cot\frac{x}{2}} \geq 1 $$

p.s. เห็น solution ของคุณ Mr.High รู้งี้ไม่น่าแตก $ \tan\theta= \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ เลยเรา และเพื่อความกระจ่างมากขึ้น ผมไปขยายความวิธีทำบางส่วนของผมข้างบนสำหรับข้อนี้ เท่าที่จะทำได้แล้วนะครับ

[nongtum]

งั้นคำถามข้อใหม่ขอเป็นข้อ 17 และ 19.1 อยู่ในหน้าสองกระทู้นี้ละกัน ผมตั้งไว้สักพักแล้วแต่ยังไม่คนตอบได้

[nithi_rung]

ตอบข้อ 17 นะครับ
จาก $\sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$ จากได้ว่า
$$\prod_{k=1}^n\cos\frac{x}{2^k}=\prod_{k=1}^n\frac{\sin\frac{x}{2^{k-1}}}{2\sin\frac{x}{2^k}}=\frac{\sin x}{2^n\sin\frac{x}{2^n}}$$
แทน $x=\frac{\pi}{2}$ จะได้
$$\frac{1}{2^n\sin\frac{\pi}{2^{n+1}}}=\prod_{k=1}^n\cos\frac{\pi}{2^{k+1}}$$
ซึ่งเมื่อ $n\to \infty$ จะได้
$$\lim_{n\to \infty}\frac{1}{2^n\sin\frac{\pi}{2^{n+1}}}=\prod_{k=2}^{\infty}\cos\frac{\pi}{2^{k}}$$
แต่ $$\lim_{n\to \infty}\frac{1}{2^n\sin\frac{\pi}{2^{n+1}}}=\lim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{\frac{\pi}{2^{n+1}}}\cdot\frac{\frac{\pi}{2^{n+1}}}{2^n\sin\frac{\pi}{2^{n+1}}}\right)=\lim_{n\to \infty}\left(\frac{2^{n+1}}{\pi}\cdot\frac{1}{2^n}\right)=\frac{2}{\pi}$$
(แก้ให้แล้วนะครับพี่ tum ขอบคุณที่ช่วยตรวจให้ครับ) จึงได้ว่า $$\frac{2}{\pi}=\prod_{n=2}^{\infty}\cos\frac{\pi}{2^n}$$ ตามต้องการ
เหลือเพียงแสดงว่า $\cos\frac{\pi}{2^{n+1}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}{2}$ (จำนวนเครื่องหมายรูทเท่ากับ $n$) ซึ่งแสดงได้โดยการพิจารณาสูตร
$$\cos \frac{x}{2} = \sqrt{\cos^2\frac{x}{2}}=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}} \quad เมื่อ\quad 0<x<\frac{\pi}{2}$$
ก็จะได้ว่า$$1=\frac{\pi}{2} \cdot\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\cdots$$ตามต้องการ

ขอฝากอีกข้อนึงนะครับ
30. จงหาเซตคำตอบของสมการ $$\cot x = 4 \cos 2x +2+\sqrt{ 3 }$$

[zead]

ข้อ19.1
จากโจทย์นำ 2sin36ฐคูณทั้งเศษและส่วน จะได้
$\cos15^\circ+\cos87^\circ+\cos159^\circ+\cos231^\circ+\cos303^\circ$
=$\frac{2\sin36^\circ(\cos15^\circ+\cos87^\circ+\cos159^\circ+\cos231^\circ+\cos303^\circ)
}{2\sin36^\circ}=\frac{\sin339^\circ+sin21^\circ}{2\sin36^\circ}=0$

ผมขอเพิ่มอีกข้อง่ายๆนะครับ
ข้อ31 ในสามเหลี่ยม ABC พิสูจน์ว่า $$ \sin\frac{A}{2}\le \frac{a}{2\sqrt{bc}} $$

[nongtum]

ข้อ 17 น้องนิธิพิมพ์ผิดตรงบรรทัดที่ใช้โลปิตาลนิดหน่อย แต่โดยรวมก็ทำอย่างที่ผมมีเฉลย เยี่ยมครับ
ข้อ 19.1 เราอาจมองได้ดังนี้
- เป็น projection ของจุดยอดของห้าเหลี่ยมด้านเท่าแนบในวงกลมหนึ่งหน่วยบนแกน x
- เป็นกรณีพิเศษของ $\cos x+\cos (x+\frac{2\pi}{5})+\cos (x+\frac{4\pi}{5})+\cos (x-\frac{2\pi}{5})+\cos (x-\frac{4\pi}{5})=0$

ยังไม่มีโอกาสได้ทดหรืออ่านเฉลยหลายๆข้อ แต่เห็นด้วยกับหลายๆคนครับว่ายิ่งเล่นยิ่งโหด... แต่ก็ดีครับ

[passer-by]

ข้อ 31

จากสูตร $\cos2\theta$ และ law of cosine พบว่า
$ 1-2\sin^2\frac{A}{2}=\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} $

เทียบเท่ากับ $ \sin \frac{A}{2}=\frac{\sqrt{2bc-(b^2+c^2)+a^2 }}{2\sqrt{bc}} \leq \frac{\sqrt{a^2 }}{2\sqrt{bc}} =\frac{a}{2\sqrt{bc}} $

(ตรงเครื่องหมาย อสมการเป็นจริง เพราะ $ 2bc \leq b^2+c^2 $ )

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nithi_rung:
ขอฝากอีกข้อนึงนะครับ
30. จงหาเซตคำตอบของสมการ $$\cot x = 4 \cos 2x +2+\sqrt{ 3 }$$

จะเห็นว่า $$ (4\cos2x+ 2+\sqrt3)^2 =\cot^2x= \frac{2+ 2\cos2x}{2- 2\cos2x} $$ เพื่อความสะดวก แทน $y=2\cos2x$ และ $a=2+\sqrt3$ ลงไปในสมการข้างบน แล้วย้ายข้างจะได้ $$ (y-2) (2y+a)^2 +y+2=0$$ คูณกระจายออกมาเป็น $$ 4y^3+ (4a-8)y^2+ (a^2-8a+1)y +2-2a^2 =0 $$ เอา 4 หารตลอด และอาศัยความจริงที่ว่า $a^2-8a+1 =-4a$ และ $2-2a^2= -4a(a-2)$ เราจึงได้ว่า $$ y^3+(a-2)y^2 -ay-a(a-2) $$ $$= (y+a-2) (y^2-a) =0$$ ถ้า $y=2-a$ นั่นคือ $2\cos2x= -\sqrt3$ เราได้ $$x= \frac{5\pi}{12}, \frac{7\pi}{12} +n\pi, \quad n\in \mathbb Z$$ แต่จากการทดสอบ โดยนำกลับไปแทนค่าในสมการโจทย์ แล้วสังเกต parity (ดูว่าเป็นบวกหรือลบ) พบว่าค่าที่ใช้ได้มีเพียง $$x= \frac{5\pi}{12} +n\pi$$ ถ้า $y^2=a$ จะได้ $$\cos2x= \pm \frac{\sqrt{2+ \sqrt3}}{2} = \cos\frac{\pi}{12}, \cos\frac{11\pi}{12} $$ ถ้า $\cos2x= \cos \frac{\pi}{12}$ เราได้ $$x= \frac{\pi}{24}, \frac{23\pi}{24} +n\pi$$ แทนค่าแล้วจะพบว่าค่าที่ใช้ได้มีเพียง $$x= \frac{\pi}{24} +n\pi$$ ถ้า $\cos2x= \cos \frac{11\pi}{12}$ เราได้ $$x= \frac{11\pi}{24}, \frac{13\pi}{24} +n\pi$$ แทนค่าแล้วจะพบว่าค่าที่ใช้ได้มีเพียง $$x= \frac{13\pi}{24} +n\pi$$ ดังนั้นเซ็ตคำตอบคือ $$\{ \frac{5\pi}{12}, \frac{\pi}{24}, \frac{13\pi}{24} +n\pi \mid n\in \mathbb Z\}$$ อยากทราบมากเลยครับว่า วิธีทำของผมใกล้เคียงกับเฉลยมั้ย

เห็นด้วยครับว่า ช่วงนี้คำถามที่นี่ยากขึ้นมากๆ อาจเป็นเพราะมีเทพมาจุติเพิ่มขึ้น ผมน่ะถอยไปแล้วนะ แต่เห็นโจทย์ของน้อง nithi_rung น่าสนใจ เลยอดไม่ได้ที่จะพยายามลุยกับเขาด้วย

ข้อความเดิมของคุณ zead:
ข้อ28 หาค่าเฉลี่ยของ2sin2ฐ+4sin4ฐ+...+180sin180ฐ

นี่คือโจทย์ที่ผมตั้งใจไว้เลยนะครับว่า จะให้เป็นปัญหาชิงรางวัลของผมข้อต่อไป แต่ช้าไปเสียแล้ว

[nithi_rung]

ข้อ 30 คำตอบของพี่ warut ถูกแล้วครับ แต่ที่จริงมีวิธีที่ไม่ต้องยกกำลังสองทั้งสมการ
ผมว่าปล่อยให้คนในบอร์ดคิดต่ออีกซักสองสามวันแล้วกันครับ ถ้ายังไม่มีใครคิดวิธีเดียวกับผม ก็จะเฉลยให้

[warut]

รู้แล้วๆ ใช้ $$\cos2x = \frac{\cot^2x-1} {\cot^2x+1} $$ ใช่ไหมครับ (ถ้าใช่นะ... โหย... โง่จริงๆเลยเรา อุตส่าห์ทำมาถึงแค่นี้แล้ว ) ผมก็พยายามหาวิธีที่ไม่ต้องยกกำลังสองนะครับ แต่ตอนนั้นมองไม่ออกจริงๆ คงเป็นเพราะมึนสุดๆแล้ว หลังจากคิดอยู่นานมากๆ

[suthee]

ข้อ 22 ยังไม่มีใครตอบเลยเหรอครับ
เนื่องจาก A+B+C = p
ดังนั้นสามารถสร้างสามเหลี่ยม ABC ที่มีด้านตรงข้ามมุม A,B,C เป็น a,b,c ตามลำดับ
โดยไม่เสียนัยสำคัญสมมติให้ a ณ b ณ c
ซึ่งจะได้ว่า a+b ณ a+c ณ b+c
และ -c ณ -b ณ -a
จากอสมการการจัดเรียง (RI) จะได้ว่า
(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) ณ abc
ให้ s = $\frac{(a+b+c)}{2}$ จะได้
$\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{abc}$ ณ $\frac{1}{8}$
แต่จากสูตร sin$\frac{A}{2}$ = ($\frac{(s-b)(s-c)}{bc}$)^1/2
จะได้ว่า sin$\frac{A}{2}$sin$\frac{B}{2}$sin$\frac{C}{2}$ ณ $\frac{1}{8}$