Trigonometric Marathon

[Mastermander]

คุณ suthee เครื่องหมายไม่ถูกนะครับ

[nithi_rung]

ข้อความเดิมของคุณ warut:
รู้แล้วๆ ใช้ $$\cos2x = \frac{\cot^2x-1} {\cot^2x+1} $$ ใช่ไหมครับ...

ก็ไม่แน่นะครับ วิธีแทนค่าอย่างที่พี่ warut ว่า อาจจะใช้ได้เหมือนกัน ก็ดีแล้วครับที่ได้ลองทำดู
ผมทำอย่างนี้ครับ ลองดูแนวคิดตอนแรกก่อนนะครับ (รีบมาพิมพ์ก่อนที่จะไม่ว่างอีกในสองสามวันนี้อย่างที่ว่าไว้)

แนวคิดตอนแรก

ปกติฟังก์ชัน cot ไม่ค่อยมีสูตรให้ใช้เท่าไหร่ น่าจะลองแทน $ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $ ดู (คำเตือน: แนวคิดแบบนี้ใช้ไม่ได้กับทุกข้อ เป็นแค่ทางเลือกหนึ่งเท่านั้น)

ถ้ายังทำต่อไปไม่ได้ก็ นี่เลยครับ

เฉลย

จากสมการ $$ \cot x = 4\cos 2x + 2 +\sqrt{ 3 } $$
คูณตลอดด้วย $ \sin x $ (และจาก $ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $) จะได้ $$ \cos x = 4\cos 2x \sin x + 2\sin x + \sqrt{ 3 }\sin x $$
จาก $ 2\cos A \sin B = \sin (A+B) - \sin (A-B) $ จะได้
$$ \cos x = 2\sin 3x - 2\sin x + 2\sin x + \sqrt{ 3 }\sin x $$
$$ \frac{1}{2} \cos x = \sin 3x + \frac{\sqrt{ 3 }}{2}\sin x $$
จัดรูปไปอีกนิดนึงก็จะได้
$$ \sin\left( \frac{\pi}{6} - x \right) = \sin 3x $$
ซึ่งการแก้สมการต่อจากนี้ไปก็ไม่ยากแล้ว

[warut]

พุทโธ่ พุทถัง เราทำอะไรไปเนี่ย เห็นเฉลยแล้วจึงรู้ว่าตัวเอง ... กว่าที่คิดไว้เสียอีก

[nongtum]

ในเมื่อไม่ใครตั้งโจทย์ งั้นผมตั้งละกัน

32. จงแก้สมการ $\cos^nx-\sin^nx=1$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนนับ

[Pheeradej]

ข้อ 32 คับ
ถ้า n เป็นคู่ จะได้ว่า
cosⁿx = 1+sinⁿx ณ 1
\ cosx = 1
x = 2mp $mฮI
ถ้า n เป็นคี่
เห็นได้ชัดว่า ที่ค่า cos เป็นลบนั้นเป็นไปไม่ได้ และถ้าเป็นบวกทั้งคู่ก็สามารถพิสูจน์ในทำนองเดียวกับข้างต้นได้
ที่ค่า sin เป็นลบ
ให้ x = -y ,$yฮR⁺ จะได้สมการใหม่เป็น
cosⁿy+sinⁿy = 1
ที่ nณ3 โดย การใช้อนุพันธ์ จะได้ว่าค่าสูงสุดของ cosⁿy+sinⁿy =1
โดยค่าสูงสุดจะเกิดขึ้นเมื่อ cosy = 1 หรือ siny = 1
นั่นคือ cosx=1 หรือ sinx = -1
จะได้ x = 2mp,$\frac{3}{2}$p+2mp
ที่ n = 1 แก้จากสมการ 2 สมการนี้
cosy+siny=1 ,cos²y+sin²y = 1
จะได้ cosy = 0 หรือ siny = 0 (และsiny=1 หรือ cosy=1)
จะได้ x = 2mp,$\frac{3}{2}$p+2mp
ดังนั้น คำตอบของสมการคือ
x = 2mp,$\frac{3}{2}$p+2mp $mฮI เมื่อ n เป็นคี่
x = 2mp $mฮI เมื่อ n เป็นคู่
ผมเอาคำถามจาก solution นี้เลยนะครับ
33.จงแสดงว่า $cos^nx+sin^nx$ ฃ1
ทุกnเป็นจำนวนนับที่ณ3 โดยไม่ใช้อนุพันธ์

[zead]

ข้อ33$$ เพราะว่า -1\le \cos x \le 1จะได้ \cos^{n}x \le \cos^{2}x \ เมื่อ\ n \ge 3 $$
$$ ในทำนองเดียวกันจะได้ \sin^{n}x \le \sin^{2}x \ เมื่อ \ n\ge 3$$
$$ ดังนั้น \cos^{n}x +\sin^{n}x \le \cos^{2}x +\sin^{2}x=1 $$

ข้อ34 พิสูจน์ว่าสำหรับ x เป็นจำนวนจริงใดๆ cos(sinx) > sin(cosx)

[passer-by]

ข้อ 34

$ \cos(\sin x)-\sin(\cos x)=\cos(\sin x)-\cos(\frac{\pi}{2}-\cos x)= -2\sin\frac{\frac{\pi}{2}-\cos x+\sin x}{2}\sin\frac{\cos x+\sin x-\frac{\pi}{2}}{2} = -2\sin X \sin Y $

เนื่องจาก $ \mid \cos x \pm \sin x \mid \leq \sqrt{2} $ ดังนั้น $ X,Y $ อยู่ใน quadrant ที่ 1 ,4 ตามลำดับ และทำให้ $ \cos(\sin x)-\sin(\cos x) > 0 $

[passer-by]

ต่อด้วย ข้อ 35 (Classical problem)

Evaluate $$ \tan^2 1^{\circ}+\tan^2 3^{\circ}+\tan^2 5^{\circ}+ \cdots +\tan^2 89^{\circ}$$

Hint

polynomial

[zead]

ข้อ35 (ข้อนี้ตั้งนานแหนะครับ เพิ่งเจอโจทย์แบบนี้ครั้งแรก)
ให้ A= ${ \tan^2 1^{\circ}+\tan^2 3^{\circ}+\tan^2 5^{\circ}+ \cdots +\tan^2 89^{\circ}}$
ดังนั้น $$2A={ \tan^2 1^{\circ}+\tan^2 3^{\circ}+\cdots+\tan^2 89^{\circ}+\tan^2 91^{\circ}+ \cdots +\tan^2 179^{\circ}}$$ จัดรูปไปเรื่อยๆโดยใช้ $ \tan^2 \theta = \sec^2 \theta -1$
จะได้ 2A=$(\frac{ผลบวกของ ผลคูณ\cos ทีละ 89 ตัว}{ผลคูณของ \cos ทั้งหมด 90 ตัว})^2 - 2(\frac{ผลบวกของผลคูณ \cos ทีละ 88 ตัว}{ผลคูณของ \cos ทั้งหมด 90 ตัว})-90$
(มุมของ cos นั้น คือ1,3,...,179องศา)
จากทฤษฎีบทเดอร์มัวร์ และเทียบส่วนจริงจะได้
$ \cos 90\theta ={90 \choose 0}(\cos \theta)^{90}-{90 \choose 2}(\cos \theta)^{88}(\sin \theta)^2+\cdots$
ให้ $x =\cos \theta เมื่อ \theta = 1^{\circ},3^{\circ},\cdots,179^{\circ}$
จะสมการด้านบนทำให้เราทราบว่า x เป็นคำตอบของ
$0={90 \choose 0}(x)^{90}-{90 \choose 2}(x)^{88}(1-x^2)+\cdots$
ซึ่งเราก็สามารถหา A ได้จากผลบวกราก-ผลคูณราก
ถ้าคิดเลขไม่ผิดรู้สึกว่าคำตอบคือ 4005 นะครับ

[passer-by]

คำตอบ ถูกแล้วครับ

แต่ผม Simplify ให้อีกนิดนึงแล้วกัน

จาก $ \cos 90\theta=0 $ เมื่อ $ \theta= 1^{\circ} ,3^{\circ},\cdots 89^{\circ} $

จากกฎของเดอมัวร์และการเทียบส่วนจริง พบว่า

$$ 0= \cos 90\theta = \sum_{k=0}^{45} {90 \choose 2k}(\cos \theta)^{90-2k}(\sin\theta)^{2k} (-1)^k $$
ถ้าหารด้วย $(\cos\theta)^{90}$ ตลอดสมการ พบว่า
$$0= \sum_{k=0}^{45} {90 \choose 2k}(\tan^2\theta)^{k} (-1)^k $$

กลายเป็นพหุนามดีกรี 45 ที่มี $ \tan^2 1^{\circ} , \tan^2 3^{\circ},\cdots \tan^2 89^{\circ} $ เป็นคำตอบสมการ

ดังนั้นผลรวมของราก ก็คงไม่ใช่เรื่องยากแล้วใช่ไหมครับ ซึ่งก็คือ ${90 \choose 88} (-1)^{44}=4005 $

[nithi_rung]

ถ้าไม่มีใครลงโจทย์ต่อ ขอผมลงข้อต่อไปเลยนะครับ

36. ให้ $a\in [-1,1]$ สอดคล้องกับสมการ
$$3\arcsin (3a-4a^3) - \arcsin a = \frac{37 \pi}{21}$$
จงหาค่าของ $ \arcsin a $

[Mastermander]

Let $\arcsin a=\theta$
$$3\arcsin(\sin3\theta)-\theta=\frac{37\pi}{21}$$
$$9\theta-\theta=\frac{37\pi}{21}$$
$$\theta=\frac{37\pi}{168}$$


37.

[nithi_rung]

ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:
Let $\arcsin a=\theta$
$$3\arcsin(\sin3\theta)-\theta=\frac{37\pi}{21}$$
$$9\theta-\theta=\frac{37\pi}{21}$$
$$\theta=\frac{37\pi}{168}$$

ในที่สุดก็มีคนหลงกลข้อนี้ Das freut mich!
มันไม่ง่ายอย่างนั้นนี่สิครับ
ไม่เชื่อลองแทนค่ากลับไปดู
แล้วลองดูครับว่า ทำไมคำตอบนี้ใช้ไม่ได้
ข้อนี้มีคำตอบ 1 คำตอบครับ แต่ไม่ใช่ $\frac{37\pi}{168}$

[Mastermander]

รบกวนเฉลยหน่อยครับ

[nithi_rung]

ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:
รบกวนเฉลยหน่อยครับ

ที่จริงถ้าน้องลองทำใหม่ได้เองน่าจะดีกว่าไหมครับ เพราะที่จริงที่ทำมาก็เกือบถูกแล้ว
ติดอยู่ที่ตรงนี่ครับ ---> จำเป็นหรือไม่ที่ $ \arcsin (\sin 3\theta) = 3\theta $ เสมอ
ถ้าไม่จำเป็น แล้วจะเกิดอะไรขึ้นบ้าง
อาจจะต้องแจงกรณีดูนะครับ