โจทย์ปัญหาคณิตศาสตร์ สวัสดีปีใหม่ 2548 ภาคสอง

[nooonuii]

เห็นว่ากระทู้เก่าเริ่มโหลดช้าแล้วก็เลยขอมาต่อกระทู้ใหม่ดีกว่าครับ

21. จงหาค่าของ \[ \sum \frac{\cos {n\theta}}{3^{n}} \text{เมื่อ} \cos {\theta} = 1/4 \]

[aaaa]

คุณ nooonuii ลองกลับไปดูข้อ 20 อีกครั้งครับ น่าจะมีปัญหา

[aaaa]

เฉลยข้อ 21
ได้เท่ากับ
\[
\text{Re}\;\!\left\{\sum_{m=0}^\infty\frac{e^{in\theta}}{3^n}\right\}=\text{Re}\;\!\left\{\frac{1}{1-e^{i\theta}/3}\right\}=\frac{33}{34}
\]

[aaaa]

22. จงหาค่าสูงสุดของ \( 2^{-x}+2^{-1/x} \) โดย \( x>0 \)

[gon]

ข้อที่ 21 ผมหามาได้แบบนี้

\[ \sum_{n=1}^{\infty}r^ncosn\theta = \frac{rcos\theta-r^2}{1-2rcos\theta+r^2} \]

เมื่อแทน \( r = \frac{1}{3}, cos\theta = \frac{1}{4}\) ก็จะได้ \( -\frac{1}{34} \) รู้สึกว่ามันจะกลับข้างกับคุณ aaaa เลยนะครับ. คุณ aaaa หาผลบวกจาก \( n = 1 \)หรือเปล่า ? หรือว่าผมหาผิดตรงไหน

[nooonuii]

ถูกทั้งสองคนนั่นแหละครับ พี่กรเริ่มจาก n=1 ครับ

[aaaa]

ข้อ 23. กำหนดให้ \( \{a_n\} \) เป็นลำดับของจำนวนจริงบวกซึ่ง \( \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0 \) จงพิสูจน์ว่า
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{a_1+\sqrt{2}a_2+\cdots+\sqrt{n}a_n}{1+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n}}=0
\]

[gon]

ข้อ 22 ผมใช้แคลครับ. นั่งมองอสมการแต่ไม่รู้จะเอาอะไรมาใช้ดี ตอนนี้ไม่ชำนาญเลย ก็จะได้เงื่อนไขคือ \[ x^2 = 2^{x-\frac{1}{x}} \Rightarrow x = 1 \] เมื่อลองหา \( f"(1) = (ln2)(ln 2 - 2) < 0 \Rightarrow f(1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\) เป็นค่าสูงสุด ถูกหรือเปล่าครับ. ?

[nooonuii]

ข้อ 22 ตอบ 1 ครับ

ก่อนอื่นใช้แคลคูลัสพิสูจน์ว่า \( \large{2^{x} \geq 2x} \) ทุกค่า x > 1

ดังนั้น ถ้า x>1 จะได้ว่า

\( \large {(1-\frac{1}{2^{x}})^{x} > 1-\frac{x}{2^{x}} \geq \frac{1}{2}} \)

โดยอสมการของ Bernoulli

ถ้า 0<x<1 จะได้ว่า 1/x > 1 ก็สามารถใช้อสมการข้างบนได้

\ \( \large{ \frac{1}{2^{x}} + \frac{1}{2^{1/x}} \leq 1} \) ทุกค่า x>0 และสมการเป็นจริงเมื่อ x=1

[gon]

ข้อ 23 ทำแบบนี้ได้หรือเปล่าครับ.

\[ \frac{a_1+a_2+\cdots a_n}{1+\sqrt{2}+\cdots\sqrt{n}}
\leq \frac{a_1+\sqrt{2}a_2+\cdots+\sqrt{n}a_n}{1+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n}} \]
\[ \leq \frac{\sqrt{n}a_1+\sqrt{n}a_2+\cdots+\sqrt{n}a_n}{1+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n}}{1+\sqrt{2}+\cdots\sqrt{n}}(a_1+a_2+\cdots a_n)
\]

ยกมาคนละบรรทัดดีกว่า. อ่านแล้วไม่สะดุดบรรทัด

[aaaa]

แล้วยังไงต่อเหรอครับ

[gon]

แล้วก็ใช้ Squeeze Theorem อะไรนั่น ต่อ คือ ลิมิตทางซ้ายกับขวาเป็นศูนย์ทั้งคู่ (ใช่หรือเปล่าหว่า) เอ๊ะทางขวามันศูนย์ไหม ?

[gon]

ท่าจะมั่วครับ. ขอนอนก่อนล่ะ พรุ่งนี้ต้องออกแต่เช้าเลย

[nooonuii]

24. ให้ \( \large{a_{1} + a_{2} + ...} \) เป็นอนุกรมบวกที่ลู่เข้า จงพิสูจน์ว่า

\[ \large{ (1+a_{1})(1+a_{2}) \dots } \] ลู่เข้า

[aaaa]

เฉลยข้อ 24
เพียงพอที่จะแสดงว่า
\[
\sum_{n=1}^\infty\ln(1+a_n)<\infty
\]
แต่เนื่องจาก \( \ln(1+a_n)\leq a_n\) ดังนั้นอนุกรมดังกล่าวลู่เข้า