โจทย์ แบบเด็กม.ต้น

[Scylla_Shadow]

แบบเด็กม.ต้นจริงๆๆ

1. กำหนดให้ x,y เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง $x+y=xy$ จงหาค่าของ $1234x+42y+1$

2. ถ้า $x+\frac{1}{x}=1$ แล้ว จงหาค่าของ $x^{2010}+\frac{1}{x^{2010}}+x^{2553}+\frac{1}{x^{2553}}$

3. นิยาม $N!=1\times 2\times 3\times ...\times N$ เมื่อ N เป็นจำนวนเต็มบวกแล้ว
ผลบวกของจำนวนเต็ม N ทั้งหมดที่ทำให้ $N!$ ลงท้ายด้วย 0 จำนวน 2010 ตัวเป็นเท่าไร

4. จำนวน 7777 สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของผลบวกของจำนวนเต็มที่เรียงต่อเนื่องกันได้มากที่สุดกี่จำนวน

5. กำหนดให้ x,y,z เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง $xyz|(xy-1)(yz-1)(zx-1)$ จงหาค่าของ $xyz(xy-1)(yz-1)(zx-1)$

6.กำหนดการกระทำ $\Xi A$ หมายถึงผลบวกเลขโดดทุกหลักของ A
จงหาค่าของ $\Xi (\Xi (\Xi (....\Xi (7777^{7777}))) )$ เมื่อมีการกระทำ $\Xi A$ ทั้งสิ้น 7777 ครั้ง

7. จงหาคำตอบของระบบสมการ
x+y+z+w=2x+4y+8z+16w=3x+9y+27z+81w=4x+16y+64z+256w=1

8. รูปสามเหลีย่ม ABC มี $\angle BAC=80^๐, \angle ABC=50^๐$ จุด M เป็นจุดภายในซึ่ง
ทำให้ $\angle MBA: \angle MCB : \angle MCA : \angle MBC=1:2:3:4$ จงหาขนาดของมุม $MAC$

9.รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ABC จุด P,Q,R เป็นจุดบนด้าน AB,BC.CA ตามลำดับซึ่ง
สามเหลีย่ม PQR เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่ามีพื้นที่เป็น หนึ่งในสามเท่าของสามเหลีย่ม ABC จงหา AP:PB

10. พิจารณาข้อความต่อไปนี้
10.1. สำหรับรูปสามเหลี่ยม ABC ใดๆ จะมีจุด M ภายในสามเหลี่ยม ABC เสมอ ซึ่ง $มุมAMB=มุมBMC=มุมCMA$
10.2 สำหรับรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วใดๆ จะได้ว่ามีจุด M เป็นจุดภายนอกซึ่ง $มุมMBC=มุมMAC$
10.3 สำหรับรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าใดๆจะได้ว่าจุดที่เส้นแบ่งครึ่งมุมพบกันภายในเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบรูปสามเหลี่ยมนี้

มีข้อความใดกล่าวถูกต้องบ้าง และข้อที่ผิด ผิดอย่างไร

[SolitudE]

คุณ Scylla_Shadow มาทีก็เอาโจทย์ดีๆมาฝากทุกที

ตรงข้อ 8 ผมมองไม่เห็นเครื่องหมายหน้า BAC = 80 ครับ แต่พอเดาได้ว่าเป็นเครื่องหมายของมุม

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

แบบเด็กม.ต้นจริงๆๆ


2. ถ้า $x+\frac{1}{x}=1$ แล้ว จงหาค่าของ $x^{2010}+\frac{1}{x^{2010}}+x^{2553}+\frac{1}{x^{2553}}$

พอดีอยู่ ม.ต้น $x+\frac{1}{x}=1$ ค่า x ไม่ใช่จำนวนจริงนี่ครับ เลยทำต่อไม่ถูกเลย นี่แบบเด็ก ม.ต้นจริงๆหรือ

[-SIL-]

โจทย์ แบบเด็กม.ปลาย โจทย์ แบบเด็กม.มหาลัย จะตามมาครับ

[SolitudE]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

พอดีอยู่ ม.ต้น $x+\frac{1}{x}=1$ ค่า x ไม่ใช่จำนวนจริงนี่ครับ เลยทำต่อไม่ถูกเลย นี่แบบเด็ก ม.ต้นจริงๆหรือ

เห็นด้วยครับ

ผมนึกว่ามันจะยัดไปได้แบบ $x^2+\frac{1}{x^2} = (x+\frac{1}{x})^2-2$

เลยมั่วไปเต็มแรง

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

2. ถ้า $x+\frac{1}{x}=1$ แล้ว จงหาค่าของ $x^{2010}+\frac{1}{x^{2010}}+x^{2553}+\frac{1}{x^{2553}}$

ให้ $x \in \mathbb{C} $
พิจารณา $x+\frac{1}{x}=1$ ได้ว่า
$x^2+\frac{1}{x^2}=-1$
$x^4+\frac{1}{x^4}=-1$
.
.
.
$x^{2n}+\frac{1}{x^{2n}}=-1$ โดย $n \in \mathbb{Z} ^+$ และ $n\geqslant 1$ ดังนั้น $x^{2010}+\frac{1}{x^{2010}}=-1$
พิจารณา $x+\frac{1}{x}=1$ ได้ว่า
$x^3+\frac{1}{x^3}=-2$
$x^6+\frac{1}{x^6}=2$
$x^{12}+\frac{1}{x^{12}}=2$
.
.
.
$x^{3n}+\frac{1}{x^{3n}}=2$ โดย $n \in \mathbb{Z} ^+$ และ $n>1$ ดังนั้น $x^{2553}+\frac{1}{x^{2553}}=2$
เพราะฉะนั้น
$x^{2010}+\frac{1}{x^{2010}}+x^{2553}+\frac{1}{x^{2553}}=-1+2=1$

[SolitudE]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

9.รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ABC จุด P,Q,R เป็นจุดบนด้าน AB,BC.CA ตามลำดับซึ่ง
สามเหลีย่ม PQR เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่ามีพื้นที่เป็น หนึ่งในสามเท่าของสามเหลีย่ม ABC จงหา AP:PB

ผมได้เป็น $AP:PB = 2:1$

(แก้ไข)

[James007]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ SolitudE

ผมได้เป็นค่าประมาณ $AP:PB = 2:1$

เนื่องจากอัตราส่วนที่ได้น่ากลัวไปนิด

ก็ได้เท่านั้นพอดีนี่ครับ
แต่ตอบได้ 2 คำตอบ คือ $AP:PB = 1:2$ หรือ $AP:PB = 2:1$ ครับ

[James007]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

ให้ $x \in \mathbb{C} $
พิจารณา $x+\frac{1}{x}=1$ ได้ว่า
$x^2+\frac{1}{x^2}=-1$
$x^4+\frac{1}{x^4}=-1$
.
.
.
$x^{2n}+\frac{1}{x^{2n}}=-1$ โดย $n \in \mathbb{Z} ^+$ และ $n\geqslant 1$ ดังนั้น $x^{2010}+\frac{1}{x^{2010}}=-1$

ถ้าอย่างนี้จะได้ืว่า $x^{2^n}+\frac{1}{x^{2^n}}=-1$ ครับ

ผมคิดได้ $x^{2010}+\frac{1}{x^{2010}}=2$ กับ $x^{2553}+\frac{1}{x^{2553}}=-2$

$\therefore x^{2010}+\frac{1}{x^{2553}}+x^{2010}+\frac{1}{x^{2553}}=0$

[James007]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

แบบเด็กม.ต้นจริงๆๆ

1. กำหนดให้ x,y เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง $x+y=xy$ จงหาค่าของ $1234x+42y+1$

hint

$1=xy-x-y+1=(x-1)(y-1)$

[oaty555]

ข้อ1 ตอบ 2553 รึเปล่า ครับ

ข้อ 4 ได้ 6 แบบรึเปล่าครับ

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ James007

ถ้าอย่างนี้จะได้ืว่า $x^{2^n}+\frac{1}{x^{2^n}}=-1$ ครับ

ผมคิดได้ $x^{2010}+\frac{1}{x^{2010}}=2$ กับ $x^{2553}+\frac{1}{x^{2553}}=-2$

$\therefore x^{2010}+\frac{1}{x^{2553}}+x^{2010}+\frac{1}{x^{2553}}=0$

ผิดจริงด้วยครับ

[SolitudE]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ oaty555

ข้อ 4 ได้ 6 แบบรึเปล่าครับ

ถ้ามี Hint ให้ผมได้ลองคิดบ้างจะดีนะครับ

(ตอบรวมกันก็ได้นะครับ แต่เดี๋ยวคุณ nongtum ก็มายุบเอง )

[nongtum]

นั่นแน่ รู้ทันอีก...

แต่่ถ้าเป็นไปได้ แก้นิดแก้หน่อยก็ช่วยตอบในความคิดเห็นเดียวกันด้วยครับ

[SolitudE]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

แบบเด็กม.ต้นจริงๆๆ
8. รูปสามเหลีย่ม ABC มี $\angle BAC=80^๐, \angle ABC=50^๐$ จุด M เป็นจุดภายในซึ่ง
ทำให้ $\angle MBA: \angle MCB : \angle MCA : \angle MBC=1:2:3:4$ จงหาขนาดของมุม $MAC$

ข้อนี้ผมตอบ 70 องศาครับ