ปัญหาจากข้อ 2 TMO9

[Arsene Lupin]

โจทย์
2. ให้ $ a_1 ,a_2 ,....,a_{2012}$ เป็นจำนวนเต็มต่างกันหมด พิสูจน์ $$ \prod_{i=1}^{2012}(x-a_i) = (1006!)^2 $$ มีรากจำนวนเต็มอย่างมาก 1 ค่า
Credit คุณ passer- by (ขี้เกียจพิมเอง)
คือ ตอนทำอ่ะครับ ถ้าสมมติว่า พี่ๆ เป็นกรรมการตรวจข้อสอบ เเล้วผมเขียนว่า "ชัดเจนว่า $(1006!)^2$ เขียนในรูป ผลคูณของจำนวนเต็ม 2012 จำนวน ที่เเตกต่างกัน ได้เพียงรูปเเบบเดียวเท่านั้นคือ $(-1006)(-1005)(-1004)...(-1)(1)....(1006)$"
จะโดนหักคะเเนน ไหมอ่ะครับ เพราะผมคิดตั้งนานเเล้วก็ยังไม่รู้ว่าจะเขียนพิสูจน์ว่าเป็นได้เเบบเดียวเท่านั้น ยังไงอ่ะครับ เน้นนะครับว่าเขียน เพราะถ้าอธิบายในรูป ของ รูปธรรม ผม ก็พอเข้าใจอ่ะครับ เเต่พอจะเขียนเข้าจริงๆ ก็ไม่รู้จะเขียนยังไงอ่ะครับ

[~ArT_Ty~]

ถ้าเป็นพี่จะเขียนแบบนี้นะ

จำนวนเต็มบวก $1006$ จำนวนที่ต่างกัน ให้เป็น $a_1,a_2,...a_{1006}$ เรียงจากน้อยไปมาก

จะได้ว่า $a_{i}\geqslant i$ แสดงว่า $a_1a_2a_3...a_{1006} \geqslant (1)(2)(3)...(1006) = 1006!$

ซึ่งจะเกิดขึ้นเมื่อ $a_i=i$ เท่านั้น

ส่วนอีก $1006$ ตัวที่เหลือก็จะได้ว่าผลคูณก็จะเป็น $1006!$ แต่อยากให้ลองพิสูจน์ดูเองนะครับ )

[Arsene Lupin]

$\prod_{i=1}^{2012}\left|\,\right. x-a_i\left.\,\right| \geqslant (1)(1)(2)(2)(3)(3)....(1006)(1006)=(1006!)^2$ เมื่อ $x-a_1\prec...\prec x-a_{2012}$ จึงได้ว่า x มี เพียงคำตอบเดียวเท่านั้นใช่ไหมครับ??

[Arsene Lupin]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

ถ้าเป็นพี่จะเขียนแบบนี้นะ

จำนวนเต็มบวก $1006$ จำนวนที่ต่างกัน ให้เป็น $a_1,a_2,...a_{1006}$ เรียงจากน้อยไปมาก

จะได้ว่า $a_{i}\geqslant i$ แสดงว่า $a_1a_2a_3...a_{1006} \geqslant (1)(2)(3)...(1006) = 1006!$

ซึ่งจะเกิดขึ้นเมื่อ $a_i=i$ เท่านั้น

ส่วนอีก $1006$ ตัวที่เหลือก็จะได้ว่าผลคูณก็จะเป็น $1006!$ แต่อยากให้ลองพิสูจน์ดูเองนะครับ )

อ๋อ เข้าใจเเล้วครับ ก็คือ เราต้องพิสูจน์ก่อนใช่ไหมครับ ว่าต้องมีบวก 1006 พจน์ ลบ 1006 พจน์ ใช่ไหมครับ หลังจากต่อด้วยวิธีของพี่ก็จบเลยใช่ไหมครับ ...ขอบคุณมากๆ ครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

ถ้าเป็นพี่จะเขียนแบบนี้นะ

จำนวนเต็มบวก $1006$ จำนวนที่ต่างกัน ให้เป็น $a_1,a_2,...a_{1006}$ เรียงจากน้อยไปมาก

จะได้ว่า $a_{i}\geqslant i$ แสดงว่า $a_1a_2a_3...a_{1006} \geqslant (1)(2)(3)...(1006) = 1006!$

ซึ่งจะเกิดขึ้นเมื่อ $a_i=i$ เท่านั้น

ส่วนอีก $1006$ ตัวที่เหลือก็จะได้ว่าผลคูณก็จะเป็น $1006!$ แต่อยากให้ลองพิสูจน์ดูเองนะครับ )

ถ้ามีจำนวนเต็มบวก $1005$ ตัวแล้วเทไปให้จำนวนเต็มลบอีก $1007$ ตัวจะได้หรือไม่

[gnap]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ถ้ามีจำนวนเต็มบวก $1005$ ตัวแล้วเทไปให้จำนวนเต็มลบอีก $1007$ ตัวจะได้หรือไม่

น่าจะไม่ได้นะครับ
เพราะ อาจมีซ้ำ

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

ลองดูsoln(credit:AOPS)
Note here are $2012$ distinct nonzero integers of form $x-a_i$ if $x$ is an integer.
Also $(1006!)^2=1006.1005.......1.-1.-2......-1006$. Now if we pick one number among them and replace by a number greater than $1006$ or less than $-1006$ then certainly their product must be greater than $(1006!)^2$.
Thus we conclude we can write $(1006!)^2$ as product of $2012$ distinct nonzero integers in at most one way ,so done.

[Arsene Lupin]

ขอบคุณครับ คุณฟินิกซ์เหินฟ้า