ข้อ 8 TMO9

[Arsene Lupin]

8. นักเรียนชายและหญิง อย่างละ 2n คน แข่งเทควันโดแบบพบกันหมด และมีเกณฑ์ให้คะแนนดังนี้

(ก) ถ้าเพศเดียวกันแข่งกัน ผู้ชนะได้ 3 คะแนน ผู้แพ้ได้ 0 คะแนน และเสมอคนละ 1 คะแนน

(ข) ถ้าชายแข่งกับหญิง ในกรณีที่หญิงชนะ จะได้ 3 คะแนน แพ้ 0 คะแนน และเสมอได้ 2 คะแนน ในกรณีชายชนะ ได้ 2 คะแนน แพ้หรือเสมอได้ 0 คะแนน

หลังการแข่งขันสิ้นสุด หาคะแนนรวมเด็กแต่ละคน และ P แทนจำนวนคู่แข่งขันที่ผลการแข่งขันเสมอ และ Q แทนจำนวนคู่แข่งขันทั้งหมด ถ้านักเรียนที่ได้คะแนนสูงสุดได้ 4n-1 คะแนน หาค่า $\frac{P}{Q}$
Credit : คุณ passer-by
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
พิจารณาคะแนนเฉลี่ยของคะแนนรวมของทุกคนที่ต่ำสุดที่เป็นไปได้
ในการแข่งกับเพศเดียวกันจะเกิดเมื่อเกิดผลเสมอ จะได้แต้มรวมในแต่ละการแข่งขันคือ 2
ในการแข่งขันกับต่างเพศจะเกิดเมื่อเพศชายชนะหรือเสมอ จะได้แต้มรวมในแต่ละการแข่งขันคือ2

ดังนั้นค่าเฉลี่ยต่ำสุดคือ $\frac{2\binom{4n}{2}}{4n}=4n-1$

จากโจทย์กำหนดว่า ผู้ที่ได้คะแนนมากที่สุดมีคะแนนรวม 4n-1 คะแนน จะได้ว่าทุกคนต้องมีคะแนนรวม 4n-1 คะแนน
(ค่าเฉลี่ยสูงสุด =ค่าเฉลี่ยต่ำสุด จึงได้ ว่า ข้อ 1) 2) ด้านล่างเป็นจริง ใช่รึเปล่าครับ??)
Credit: คุณpolsk133
เราจึงได้ว่า
1) ทุกคน ที่เเข่งกับเพศเดียวกัน ต้องเเข่งเเล้วเสมอ
2) ถ้าเเข่งกับต่างเพศ ฝ่ายชายต้องชนะ หรือเสมอ=> ชายเเต่ละคนชนะ nครั้ง,เสมอnครั้ง
ดังนั้นจากสองข้อนี้จึงได้ ว่ามีการเสมอทั้งหมด = จำนวนการเเข่งขันที่เป็นเพศเดียวกัน+ 2n(n)=(2n)(3n-1)
จึงได้ $\frac{p}{q}=\frac{3n-1}{4n-1}$
คืออยากทราบว่า ข้อ1),2) นี้จำเป็นต้องจริงเพราะจาก ค่าเฉลี่ยต่ำสุด =ค่าเฉลี่ยสูงสุดรึเปล่าครับ??