ขอแนวคิดครับ

[Char Aznable]

ให้ a,b,c เป็นจำนวนจริงบวก ซึ่ง a²+b²+c² = 1
จงพิสูจน์ว่า \[ \frac{1}{1-ab} + \frac{1}{1-bc} + \frac{1}{1-ca} \leq \frac{9}{2}\]

[Punk]

WLOG: \( a\geq b,c\,\, \) และให้ \( b=Xa,c=Ya\,\, \) จะได้ว่า\( \,\,1+X^2+Y^2=1/a^2\,\, \) โดย \( 0<X,Y\leq1 \)

อสมการในเทอมของ \( X,Y \) คือ
\[
3+\frac{X}{1+X^2+Y^2-X}+\frac{Y}{1+X^2+Y^2-Y}+\frac{XY}{1+X^2+Y^2-XY}\leq\frac{9}{2}.
\]
โดยการหาอนุพันธ์ย่อยเทียบ \( X,Y \) จะเห็นว่าซ้ายมือเป็นฟังก์ชันเพิ่ม ของ \( X,Y \) ดังนั้นจะมีค่ามากที่สุดก็ต่อเมื่อ \( X=Y=1 \)

[Char Aznable]

มีวิธีไม่ใช้แคลคูลัสไหมครับ

[Punk]

อสมการข้างบน
\[
\frac{X}{1+X^2+Y^2-X}+\frac{Y}{1+X^2+Y^2-Y}+\frac{XY}{1+X^2+Y^2-XY}\leq\frac{3}{2}
\]
พิสูจน์ตรงๆก็ได้ครับง่ายกว่าเยอะ

[Char Aznable]

ข้อความเดิมของคุณ Char Aznable:
ให้ a,b,c เป็นจำนวนจริงบวก ซึ่ง a²+b²+c² = 1
จงพิสูจน์ว่า \[ \frac{1}{1-ab} + \frac{1}{1-bc} + \frac{1}{1-ca} \leq \frac{9}{2}\]

พิจารณา ab+bc+ca ฃ a²+b²+c² = 1
ให้ x = ab , y = bc , z = ca
ดังนั้น x+y+z ฃ 1
จะได้มี r ซึ่ง xr+yr+zr = 1 โดย r ณ 1
ให้ X = xr Y =yr Z=zr
จะได้ X+Y+Z = 1
พิจารณา\[ \frac{1}{1-X} เป็นฟังก์ชัน concave ดังนั้น\frac{1}{1-X}+\frac{1}{1-Y}+\frac{1}{1-Z} \leq \frac{3}{1-\frac{X+Y+Z}{3}} = \frac{9}{2}
แต่ \frac{1}{1-X}=\frac{1}{1-xr} \geq \frac{1}{1-x} ทำนองเดียวกันกับ y และ z จะได้ตามต้องการ\]