สงสัยเกี่ยวกับปัญหาการทอยลูกเต๋า

[เอกสิทธิ์]

ผมขอถามว่าการทอยลูกเต๋าไปเรื่อย ๆ จนกว่าแต้มที่ได้จากลูกเต๋า จะเป็น 1 กับ 1 ติดกัน คิดว่าจะต้องทอยลูกเต๋ากี่ครั้ง โดยเฉลี่ย

และอีกคำถามคือ การทอยลูกเต๋าไปเรื่อย ๆ จนกว่าแต้มที่ได้จากลูกเต๋า จะเป็น 1 กับ 2 ติดกัน คิดว่าจะต้องทอยลูกเต๋ากี่ครั้ง โดยเฉลี่ย

มองเผิน ๆ ใคร ๆ ก็คงจะตอบว่า 36 เท่ากันทั้งสองคำถาม แต่ความเป็นจริงแล้วไม่ใช่ ที่ถูกเป็นอะไรลองมาช่วยกันทายดูนะครับ ถ้าคิดไม่ออก มีเอกสารอ้างอิงที่ช่วยให้งงยิ่งขึ้น MY MATHS ฉบับเดือนธันวาคม 2552 ลองไปหาอ่านดูนะครับ บทความเรื่อง state machine และลำดับการทอยลูกเต่า (ชื่อประมาณนี้) แต่งโดยคุณศล

[เอกสิทธิ์]

ผมลองตรองดูเองแล้วครับ จำนวนครั้งของการทอยน่าจะอยู่ที่ 36 ทั้งรูปแบบที่ต้องการ 11 กับ 12 จากการลองไล่เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นได้ทั้งหมดครับ

[nooonuii]

ไม่ว่าเลือกคู่ไหนก็ให้ค่าคาดหวังเท่ากันครับ

[เอกสิทธิ์]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ไม่ว่าเลือกคู่ไหนก็ให้ค่าคาดหวังเท่ากันครับ

ขอบคุณครับ แต่รบกวนคุณสละเวลาอ่านบทความเรื่อง state machine กับลำดับการทอยลูกเต๋า (ชื่อประมาณนี้) แต่งโดยคุณศล มันให้แง่คิดดีนะครับ ทำผมงงไปเลยครับ

[banker]

ไม่รู้เหมือนกัน

แต่คิดว่า โอกาสเกิด 1,1 กับ 1,2 มีโอกาสเท่ากันคือ 1/36

ส่วนจะต้องทอยลูกเต๋ากี่ครั้งโดยเฉลี่ย ผมยังไม่เคยลอง

แต่คิดๆดู ถ้าทอยสัก 3600 ครั้ง(สมมุติ) มันก็ต้องออก 1,1 รวม 100 ครั้ง
ดังนั้นถ้าเอาเป็นค่าเฉลี่ยก็น่าจะเป็น 36 ครั้ง ทั้งสองกรณี

[เอกสิทธิ์]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

ไม่รู้เหมือนกัน

แต่คิดว่า โอกาสเกิด 1,1 กับ 1,2 มีโอกาสเท่ากันคือ 1/36

ส่วนจะต้องทอยลูกเต๋ากี่ครั้งโดยเฉลี่ย ผมยังไม่เคยลอง

แต่คิดๆดู ถ้าทอยสัก 3600 ครั้ง(สมมุติ) มันก็ต้องออก 1,1 รวม 100 ครั้ง
ดังนั้นถ้าเอาเป็นค่าเฉลี่ยก็น่าจะเป็น 36 ครั้ง ทั้งสองกรณี

ขอบคุณครับ ผมก็คิดเช่นนั้นเหมือนกัน

[khlongez]

ลองคิดดูแล้วหนึ่งกับหนึ่งติดกัน ได้ 42ครั้ง
ส่วนหนึ่งกับสองติดกันได้ 36ครั้ง
ไม่รู้ว่าจะถูกหรือเปล่า แต่ก็พอเข้าใจว่าทำไมทั้งสองรูปแบบถึงได้ค่าคาดหวังไม่เท่ากันซึ่งพอจะอธิบายได้ดังนี้



ให้คำว่า "ทำสำเร็จ" หมายถึงการที่ทอยลูกเต๋าเรื่อยๆจนกว่าจะได้แต้มหนึ่งติดกัน2ครั้ง

X แทนเหตุการณ์ที่จะ "ทำสำเร็จ" ได้ด้วยการทอยลูกเต๋าทั้งหมดXครั้ง

เช่น X=4 หมายถึงเหตุการณ์ที่ทอยลูกเต๋าสี่ครั้ง โดยการทอยครั้งที่สามและสี่ได้แต้มหนึ่งทั้งคู่ และการทอยครั้งที่หนึ่งได้แต้มอะไรก็ได้
แต่การทอยครั้งที่สองต้องไม่ได้หนึ่ง (ไม่งั้นจะถือว่าทอยสำเร็จตั้งแต่ครั้งที่สาม)
X= 2 หมายถึงเหตุการณ์ที่ทอยลูกเต๋าเพียงสองครั้งและได้แต้มหนึ่งทั้งสองครั้ง
ซึ่งจะเห็นว่า X=1,X=2,X=3,...ต่างก็เป็นเหตุการณ์ที่แยกจากกันโดยเด็ดขาดทั้งหมด

ให้ P(X) แทนความน่าจะเป็นที่เกิดเหตุการณ์X
เช่น P(X=5) หมายถึงความน่าจะเป็นที่ "ทำสำเร็จ" ด้วยการทอยลูกเต๋า5ครั้ง
จะได้ว่า P(X=1) = 0
P(X=2) = 1/(6^2)
P(X=3) = (5/6)(1/(6^2))
P(x=4) = (5/6)(1/(6^2))
P(X=5) = (35/36)(5/6)(1/(6^2)) เป็นต้น


ให้คำว่า "ทำงานเสร็จ" หมายถึงการที่ทอยลูกเต๋าเรื่อยๆจนได้แต้มหนึ่งและสองติดกัน (ได้หนึ่งก่อนแล้วค่อยต่อด้วยสอง)

Yแทนเหตุการณ์ที่จะ "ทำงานเสร็จ" ได้ด้วยการทอยลูกเต๋าทั้งหมดYครั้ง

ในทำนองเดียวกันกับด้านบนเราจะได้ว่า
P(Y=1) = 0
P(Y=2) = 1/(6^2)
P(y=3) = 1/(6^2)
P(Y=4) = (35/36)(1/(6^2)) เป็นต้น
จะเห็นว่า P(Y) กับ P(X) มันไม่เท่ากันหลายค่า เลยทำให้ค่าคาดหวังออกมาไม่เท่ากัน

[Onasdi]

ผมเห็นด้วยว่่าค่าคาดหวังอาจจะไม่เท่ากันได้ คุณ nooonuii ลองช่วยดูหน่อยครับว่าเป็นยังไง

[nooonuii]

ใช่ครับ ถ้าเลขซ้ำกันจะให้ Probability Distribution แตกต่างจากเลขที่ไม่ซ้ำกัน

ผมคิดแบบหยาบๆว่ามันน่าจะเหมือนกันทุกแบบแต่ลืมคิดไปว่าถ้าต้องการเลขสองตัวเหมือนกันติดต่อกัน

จะต้องคิดอีกแบบนึง

[jikgui]

ผมได้อ่านแล้วครับ มันเจ๋งมากๆ

ตอนแรกก็ยังสงสัยเลย ว่ามันจะต่างกันยังไง

[เอกสิทธิ์]

อ๊ากพวกคุณทำผมปวดหัวอีกแล้ว งง สุด ๆ เลยครับ รบกวนผู้รู้ลึกรู้จริง ช่วยอธิบายให้หน่อยครับ อย่างน้อยว่าที่มาของการแปลงจาก state machine เป็นสมการทำกันอย่างไรครับ

[beginner01]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ khlongez

ผมลองคิดดูแล้วหนึ่งกับหนึ่งติดกัน ได้ 42ครั้ง
ส่วนหนึ่งกับสองติดกันได้ 36ครั้ง
ไม่รู้ว่าจะถูกหรือเปล่า แต่ก็พอเข้าใจว่าทำไมทั้งสองรูปแบบถึงได้ค่าคาดหวังไม่เท่ากันซึ่งพอจะอธิบายได้ดังนี้ครับ



ให้คำว่า "ทำสำเร็จ" หมายถึงการที่ทอยลูกเต๋าเรื่อยๆจนกว่าจะได้แต้มหนึ่งติดกัน2ครั้ง

X แทนเหตุการณ์ที่จะ "ทำสำเร็จ" ได้ด้วยการทอยลูกเต๋าทั้งหมดXครั้ง

เช่น X=4 หมายถึงเหตุการณ์ที่ทอยลูกเต๋าสี่ครั้ง โดยการทอยครั้งที่สามและสี่ได้แต้มหนึ่งทั้งคู่ และการทอยครั้งที่หนึ่งได้แต้มอะไรก็ได้
แต่การทอยครั้งที่สองต้องไม่ได้หนึ่ง (ไม่งั้นจะถือว่าทอยสำเร็จตั้งแต่ครั้งที่สาม)
X= 2 หมายถึงเหตุการณ์ที่ทอยลูกเต๋าเพียงสองครั้งและได้แต้มหนึ่งทั้งสองครั้ง
ซึ่งจะเห็นว่า X=1,X=2,X=3,...ต่างก็เป็นเหตุการณ์ที่แยกจากกันโดยเด็ดขาดทั้งหมด

ให้ P(X) แทนความน่าจะเป็นที่เกิดเหตุการณ์X
เช่น P(X=5) หมายถึงความน่าจะเป็นที่ "ทำสำเร็จ" ด้วยการทอยลูกเต๋า5ครั้ง
จะได้ว่า P(X=1) = 0
P(X=2) = 1/(6^2)
P(X=3) = (5/6)(1/(6^2))
P(x=4) = (5/6)(1/(6^2))
P(X=5) = (35/36)(5/6)(1/(6^2)) เป็นต้น


ให้คำว่า "ทำงานเสร็จ" หมายถึงการที่ทอยลูกเต๋าเรื่อยๆจนได้แต้มหนึ่งและสองติดกัน (ได้หนึ่งก่อนแล้วค่อยต่อด้วยสอง)

Yแทนเหตุการณ์ที่จะ "ทำงานเสร็จ" ได้ด้วยการทอยลูกเต๋าทั้งหมดYครั้ง

ในทำนองเดียวกันกับด้านบนเราจะได้ว่า
P(Y=1) = 0
P(Y=2) = 1/(6^2)
P(y=3) = 1/(6^2)
P(Y=4) = (35/36)(1/(6^2)) เป็นต้น
จะเห็นว่า P(Y) กับ P(X) มันไม่เท่ากันหลายค่า เลยทำให้ค่าคาดหวังออกมาไม่เท่ากัน

ช่วยอธิบายว่าทำไมถึงได้ความน่าเป็นแบบนี้ ได้ไหมครับ ผมยังไม่ค่อยเ้ข้าใจสักเท่าไร
ขอบคุณล่วงหน้า

[khlongez]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ khlongez

ผมลองคิดดูแล้วหนึ่งกับหนึ่งติดกัน ได้ 42ครั้ง
ส่วนหนึ่งกับสองติดกันได้ 36ครั้ง
ไม่รู้ว่าจะถูกหรือเปล่า แต่ก็พอเข้าใจว่าทำไมทั้งสองรูปแบบถึงได้ค่าคาดหวังไม่เท่ากันซึ่งพอจะอธิบายได้ดังนี้ครับ



ให้คำว่า "ทำสำเร็จ" หมายถึงการที่ทอยลูกเต๋าเรื่อยๆจนกว่าจะได้แต้มหนึ่งติดกัน2ครั้ง

X แทนเหตุการณ์ที่จะ "ทำสำเร็จ" ได้ด้วยการทอยลูกเต๋าทั้งหมดXครั้ง

เช่น X=4 หมายถึงเหตุการณ์ที่ทอยลูกเต๋าสี่ครั้ง โดยการทอยครั้งที่สามและสี่ได้แต้มหนึ่งทั้งคู่ และการทอยครั้งที่หนึ่งได้แต้มอะไรก็ได้
แต่การทอยครั้งที่สองต้องไม่ได้หนึ่ง (ไม่งั้นจะถือว่าทอยสำเร็จตั้งแต่ครั้งที่สาม)
X= 2 หมายถึงเหตุการณ์ที่ทอยลูกเต๋าเพียงสองครั้งและได้แต้มหนึ่งทั้งสองครั้ง
ซึ่งจะเห็นว่า X=1,X=2,X=3,...ต่างก็เป็นเหตุการณ์ที่แยกจากกันโดยเด็ดขาดทั้งหมด

ให้ P(X) แทนความน่าจะเป็นที่เกิดเหตุการณ์X
เช่น P(X=5) หมายถึงความน่าจะเป็นที่ "ทำสำเร็จ" ด้วยการทอยลูกเต๋า5ครั้ง
จะได้ว่า P(X=1) = 0 <<< เพราะการทอยลูกเต๋าเพียง1ครั้งแล้วได้แต้ม1 แล้วก็ได้แต้ม1ซ้ำอีกครั้งมันเป็นไปไม่ได้ความน่าจะเป็นก็เลยเป็น 0

P(X=2) = 1/(6^2) <<<ความน่าจะเป็นที่ทอยครั้งแรกได้แต้ม1 เป็น1/6 เพราะงั้นทอย2ครั้งแล้วได้แต้ม1ทั้งครั้งก็เลยเป็น (1/6)(1/6) = 1/(6^2)

P(X=3) = (5/6)(1/(6^2)) << "ทำสำเร็จ"ด้วยการทอยลูกเต๋า3ครั้ง ก็หมายความว่าทอยครั้งที่2และทอยครั้งที่3ต้องออก1ทั้งคู่เลยได้ 1/(6^2) แต่การทอยครั้งแรกต้องไม่ได้แต้ม1จึงต้องคูณ5/6เพิ่ม เพราะถ้าทอยครั้งแรกได้แต้ม1แต่ครั้งที่2เรากำหนดให้มันได้แต้ม1ไปแล้วจะกลายเป็นว่าเรา "ทำสำเร็จ"ด้วยการทอย2ครั้ง ไม่ใช่3ครั้ง

P(x=4) = (5/6)(1/(6^2)) << ทอยครั้งที่3และ4ต้องออกแต้ม1ทั้งคู่เลยได้1/(6^2) และคูณ5/6เพิ่มเข้าไปด้วยเหตุผลทำนองเดียวกับP(X=3) ส่วนการทอยครั้งแรกจะได้แต้มอะไรก็ได้

P(X=5) = (35/36)(5/6)(1/(6^2)) << ทอยครั้งที่4และ5ต้องออกแต้ม1ทั้งคู่เลยได้1/(6^2) และคูณ5/6เพิ่มเข้าไปด้วยเหตุผลทำนองเดียวกับP(X=3)และP(X=4) ส่วนการทอย2ครั้งแรก จะได้แต้มออกมารูปแบบใดก็ได้ ที่ไม่ใช่ 1 1 ซึ่งการทอย2ครั้งแรกเป็นไปได้6*6=36รูปแบบ แต่ไม่เอา 1 1 เลยตัดไป1แบบเหลือ35แบบจากทั้งหมด36แบบ จึงคูณ35/36เพิ่มเข้าไป

ให้คำว่า "ทำงานเสร็จ" หมายถึงการที่ทอยลูกเต๋าเรื่อยๆจนได้แต้มหนึ่งและสองติดกัน (ได้หนึ่งก่อนแล้วค่อยต่อด้วยสอง)

Yแทนเหตุการณ์ที่จะ "ทำงานเสร็จ" ได้ด้วยการทอยลูกเต๋าทั้งหมดYครั้ง

ในทำนองเดียวกันกับด้านบนเราจะได้ว่า
P(Y=1) = 0
P(Y=2) = 1/(6^2)
P(y=3) = 1/(6^2)
P(Y=4) = (35/36)(1/(6^2)) เป็นต้น
จะเห็นว่า P(Y) กับ P(X) มันไม่เท่ากันหลายค่า เลยทำให้ค่าคาดหวังออกมาไม่เท่ากัน

อธิบายเพิ่มเติมด้วยสีแดงแล้วนะครับ

ถ้าเข้าใจP(X)ก็คิดว่าน่าจะเข้าใจ P(Y ) ด้วย

ทีนี้ปัญหาอยู่ที่ว่าจะหารูปทั่วไป ของP(X=n)และ P(Y=n) ยังไง

ซึ่งขอติดเอาไว้อธิบายคราวหน้า