สอวน เข้ารอบ 3 ที่เกษตร

[SPLASH]

มันเเบ่งออกเป็นสองวันนะครับ
เเต่จะเอาเเต่ข้อที่ดูไม่ยากเเละน่าสนใจ เเละข้อที่ทำไม่ได้มานะครับหวังว่าทุกคนคงจะสนใจ

เอาข้อเเรกข้อนี้ทำไม่ได้
ในโรงเรียนsovn เเห่งหนึ่งมีอยู่ 6 ชั้น เด็กนักเรียนมีเลขประจำตัวคือ 1,2,3,...,2007 ผู้อำนวยการผู้มีความเป็นเลิศทางคณิตศาสตร์
เลยคาดเดาว่า มีนักเรียนอย่างน้อย 1 คนที่มีเลขประจำตัว เป็นผลบวกของนักเรียน 2 คนในระดับชั้นเดียวกัน หรือไม่ก็เป็น 2 เท่าของอีกของคนนึงในระดับชั้นเดียวกัน ถ้าคุณเป็นคนที่มีความเป็นเลิศเช่นเดียวกันช่วยบอกได้ไหมผู้อำนวยการพูดถูกหรือไม่คุณจงเเสดงให้เห็นด้วย

[SPLASH]

พอดีผมเริ่มจะจำขอสอบไม่ได้บ้างเเล้วบางอย่างอาจขาดไป

[SPLASH]

ข้อนี้อยู่ในข้อสอบชุดเเรก(คณิตฉบับง่าย มี 2 ชุด)

[SPLASH]

เอาไป 3 ข้อก่อนนะครับเดี่ยววันหลังมาโพสอีกที

[gon]

ข้อ 3. นะครับ ลองดูว่าผมหาครบหรือยัง มั่วพิลึกชอบกล

จงหา $P(x)$ ทั้งหมดที่ทำให้ $x^2 + 1 | P(x) , x^3 + x + 1 | P(x) + 1$

$P(x) = (x^2 + 1)Q(x) = (x^3 + x + 1)G(x) - 1 \iff (x^3 + x + 1)G(x) - (x^2 + 1)Q(x) = 1 \cdots (*)$

เพราะว่า $\gcd (x^3 + x + 1 , x^2 + 1) = 1 | 1 $ ดังนั้น สมการ (*) มีคำตอบ (มีไหมนี่ทฤษฎีนี้)

ชัดเจนว่า $(G(x), Q(x)) = (1, x)$ เป็นคำตอบหนึ่ง

ดังนั้นคำตอบทั่วไปจึงเป็น $(G(x), Q(x)) = (1-k(x^2+1)), x - k(x^3 + x +1))$

นั่นคือ $P(x) = (x - k(x^3 + x + 1))(x^2 + 1)$ เมื่อ k เป็นค่าคงตัวใดๆ


Note. น่าจะได้ข้อสอบตัวเต็มๆมาลงนะครับ.. จะได้สมบูรณ์

[warut]

3. จงหา $P(x)$ ทั้งหมดที่ทำให้ $x^2+1\mid P(x)$ และ $x^3+x+1\mid P(x)+1$

จากที่ $x^3+x+1\mid P(x)+1$ แสดงว่า $P(x) = (x^3+x+1)Q(x)-1$ นั่นคือ $$P(x)= (x(x^2+1)+1)Q(x)-1 = x(x^2+1)Q(x)+Q(x)-1 $$ แต่เรารู้ว่า $x^2+1\mid P(x)$ ดังนั้น $x^2+1\mid Q(x)-1$ นั่นคือ $Q(x)=(x^2+1)R(x)+1$ ดังนั้น $$ \begin{array}{rcl} P(x) & = & (x^3+x+1)Q(x)-1 \\ & = & (x^3+x+1)((x^2+1)R(x)+1)-1 \\ & = & (x^3+x+1)(x^2+1)R(x) +x^3+x \end{array} $$

[gon]

ดูของคุณ warut แล้วรัดกุมกว่ามากเลย แต่ในขณะเดียวกัน ผมก็ได้เทคนิคใหม่ โดยขอเปลี่ยนจาก $k$ เป็น $f(x)$ ครับ.

[nooonuii]

Another Solution for #3 : (Abstract Algebra Version)

Use Chinese Remainder Theorem for polynomial ring .

[SPLASH]

ขอเเก้ข้อเเรกตรงเป็น 2 เท่าในระดับชั้นเดียวกันนะครับ
ส่วนข้อ 2 ใช้phi funtion
ส่วนอีกข้อนึงเป็น ของ APMO เรื่องfunction เลขคณิต คงคุ้นเคยกันบ้างเเล้วเเละคงข้ามการถามข้อนี้ไป
เเต่ที่เเค้นที่สุดคืออกข้อสอบ IMO 1999 ในตอนสอบเข้าค่าย 2 ทั้งๆที่มีโจทย์ข้ออื่นให้ทำตั้ง 15 ข้อ ภายใน 3 ชั่วโมง

ผมค่อนข้างมั่นใจกับโจทย์ 2 ข้อเเรก

[SPLASH]

อีกข้อ เป็นเทาฟังก์ชัน

[SPLASH]

ข้อนี้เป็นphi function อีกเเล้ว
ข้อนีผมลดทอนด้วยออยเลอร์บ้างเเล้วอานนี้อยุในคนิตง่ายนะจ๊ะ
จำตัวเลขที่เเท้จริงไม่ได้ จำได้เเต่ลดทอน

[SPLASH]

อีกข้อนึงที่จะถามอยากถาม ข้อ 8 ในเเบบฝึกหัดของ สอวน. เรื่ง ceva เเละเมเนลอสอ่าครับ

[SPLASH]

ช่วยเฉลยให้ผมหน่อยเถอะครับ ผมอยากพัฒนาความคิดด้วย เพราะผมทำมันยางไม่ค่อยได้เลย

[warut]

Prove that $\tau(n)\ge\sqrt n$.

$\tau(n)$ คืออะไรครับ ถ้าคือจำนวนของตัวประกอบของ $n$ ล่ะก็ ข้อความข้างบนไม่เป็นจริงครับ ยกตัวอย่างเช่น $\tau(5)=2<\sqrt5$

[SPLASH]

ขอเเก้ด่วนเลยนะครับ$\tau (n)\leq \sqrt n$