ม.3ขอถามบ้างคับ

ธนบัตรมีหมายเลข 0000 0000 - 9999 9999 ให้ธนบัตรที่ผลรวมของ 4 หลักแรกเท่ากับผลรวมของ 4 หลักหลังเป็นธนบัตรพิเศษ ให้พิสูจน์ว่าธนบัตรพิเศษมีจำนวนเท่ากับธนบัตรที่มีผลรวมของ 8 หลัก เป็น 36

ช่วยคิดให้หน่อยครับขอบคุณมาก

เดี๋ยวจะคิดให้ครับ.รอนิดนึง

0000-0000,9999-9999 -->0000-9999,9999-0000
0001-0001,9998-9998 -->0001-9998,9998-0001
0010-0001,9989-9998 -->0010-9998,9989-0001
0100-0001,9899-9998 -->0100-9998,9899-0001
1000-0001,8999-9998 -->1000-9998,8999-0001
0001-0010,9998-9989 -->0001-9989,9998-0010
0010-0010,9989-9989 -->0010-9989,9989-0010
.... ..... ...
and so on.

ขอรายละเอียดที่เขียนอธิบายได้หน่อยครับ
เพราะข้อนี้เค้าให้ที่มา 2 หน้า 25 คะแนน

จะเริ่มจากอันที่ง่ายที่สุดให้ดูก่อนก็แล้วกัน
จำนวนธนบัตรที่มีผลรวมของเลข 4 หลัก เป็น x เราสามารถเขียนโจทย์ข้อนี้ได้อีกรูปแบบหนึ่งคือ

จงหาจำนวนคำตอบของสมการ a + b + c + d = x โดยที่ 0 <= a,b,c,d <= 9

ซึ่งโจทย์ข้อนี้หากกำหนดเงื่อนไขมาเป็น 0 <= a,b,c,d ก็จะได้จำนวนคำตอบเป็น ((x + 3) C 3) คำตอบ หวังว่าคงคิดกันได้นะ

ทีนี้ถ้าโจทย์เปลี่ยนเป็นอีกเงื่อนไขหนึ่งคือ จงหาจำนวนคำตอบของสมการ a + b + c + d = x โดยที่ 10 <= a ก็จะได้จำนวนคำตอบเป็น ((x+3-10) C 3) = ((x - 7) C 3) คำตอบ
ทีนี้ถ้าโจทย์เปลี่ยนเป็นอีกเงื่อนไขหนึ่งคือ จงหาจำนวนคำตอบของสมการ a + b + c + d = x โดยที่ 10 <= a,b ก็จะได้จำนวนคำตอบเป็น ((x+3-20) C 3) = ((x - 17) C 3) คำตอบ
ทีนี้ถ้าโจทย์เปลี่ยนเป็นอีกเงื่อนไขหนึ่งคือ จงหาจำนวนคำตอบของสมการ a + b + c + d = x โดยที่ 10 <= a,b,c ก็จะได้จำนวนคำตอบเป็น ((x + 3- 30) C 3) = ((x - 27) C 3) คำตอบ
ทีนี้ถ้าโจทย์เปลี่ยนเป็นอีกเงื่อนไขหนึ่งคือ จงหาจำนวนคำตอบของสมการ a + b + c + d = x โดยที่ 10 <= a,b,c,d ก็จะได้จำนวนคำตอบเป็น ((x + 3 - 40) C 3) = ((x - 37) C 3) คำตอบ

โดยอาศัยหลักการรวมเข้าและหักออก จะได้ว่า
จำนวนคำตอบของสมการ a + b + c + d = x โดยที่ 0 <= a,b,c,d <= 9 คือ
จำนวนคำตอบของสมการ a + b + c + d = x โดยที่ 0 <= a,b,c,d
- 4 * จำนวนคำตอบของสมการ a + b + c + d = x โดยที่ 10 <= a
+ 6 * จำนวนคำตอบของสมการ a + b + c + d = x โดยที่ 10 <= a,b
- 4 * จำนวนคำตอบของสมการ a + b + c + d = x โดยที่ 10 <= a,b,c
+ จำนวนคำตอบของสมการ a + b + c + d = x โดยที่ 10 <= a,b,c,d
= ((x + 3) C 3) - 4((x - 7) C 3) + 6((x - 17) C 3) - 4((x - 27) C 3) + ((x - 37) C 3)
= ((x + 3) C 3) - 4((x - 7) C 3) + 6((x - 17) C 3) - 4((x - 27) C 3)
จะได้จำนวนธนบัตรที่มีผลรวมของเลข 4 หลัก เป็น 0 , 1 , 2 , ... , 36 ดังนี้
1 , 4 , 10 , 20 , 35 , 56 , 84 , 120 , 165 , 220 , 282 , 348 , 415 , 480 , 540 , 592 , 633 , 660 , 670 , 660 , 633 , 592 , 540 , 480 , 415 , 348 , 282 , 220 , 165 , 120 , 84 , 56 , 35 , 20 , 10 , 4 , 1
ดังนั้นจะได้ว่าจำนวนธนบัตรที่มีผลรวมของเลข 4 หลักแรก และผลรวมของเลข 4 หลักหลังเท่ากัน คือ
1^2 + 4^2 + 10^2 + 20^2 + 35^2 + 56^2 + 84^2 + 120^2 + 165^2 + 220^2 + 282^2 + 348^2 + 415^2 + 480^2 + 540^2 + 592^2 + 633^2 + 660^2 + 670^2 + 660^2 + 633^2 + 592^2 + 540^2 + 480^2 + 415^2 + 348^2 + 282^2 + 220^2 + 165^2 + 120^2 + 84^2 + 56^2 + 35^2 + 20^2 + 10^2 + 4^2 + 1^2
= 4,816,030

ในทำนองเดียวกัน จะได้จำนวนธนบัตรที่มีผลรวมของเลข 8 หลักเป็น 36 เท่ากับ
จำนวนคำตอบของสมการ a + b + c + d + e + f + g + h = 36 โดยที่ 0 <= a,b,c,d,e,f,g,h
- 8 * จำนวนคำตอบของสมการ a + b + c + d + e + f + g + h = 36 โดยที่ 10 <= a
+ 28 * จำนวนคำตอบของสมการ a + b + c + d + e + f + g + h = 36 โดยที่ 10 <= a,b
- 56 * จำนวนคำตอบของสมการ a + b + c + d + e + f + g + h = 36 โดยที่ 10 <= a,b,c
+ 70 * จำนวนคำตอบของสมการ a + b + c + d + e + f + g + h = 36 โดยที่ 10 <= a,b,c,d
- 56 * จำนวนคำตอบของสมการ a + b + c + d + e + f + g + h = 36 โดยที่ 10 <= a,b,c,d,e
+ 28 * จำนวนคำตอบของสมการ a + b + c + d + e + f + g + h = 36 โดยที่ 10 <= a,b,c,d,e,f
- 8 * จำนวนคำตอบของสมการ a + b + c + d + e + f + g + h = 36 โดยที่ 10 <= a,b,c,d,e,f,g
+ จำนวนคำตอบของสมการ a + b + c + d + e + f + g + h = 36 โดยที่ 10 <= a,b,c,d,e,f,g,h
= ((36 + 7) C 7) - 8((36 - 3) C 7) + 28((36 - 13) C 7) - 56((36 - 23) C 7) + 70((36 - 33) C 7) - 56((36 - 43) C 7) + 28((36 - 53) C 7) - 8((36 - 63) C 7) + ((36 - 73) C 7)
= ((36 + 7) C 7) - 8((36 - 3) C 7) + 28((36 - 13) C 7) - 56((36 - 23) C 7)
= (43 C 7) - 8(33 C 7) + 28(23 C 7) - 56(13 C 7)
= 4,816,030