ฝึกอินทิเกรตกัน

[Ne[S]zA]

$\int \frac{e^x}{\sqrt{1+e^{2x}}} dx$
ให้ $u=\sqrt{1+e^{2x}}$ ดังนั้น $\frac{du}{dx}=\frac{2e^{2x}}{2u}$ ได้ $dx=\frac{2u du}{2e^{2x}}$
แทนในโจทย์ $\int \frac{e^x}{u}\cdot \frac{2u du}{2e^{2x}}=\int \frac{1}{e^x}du$____(1)
เพราะว่า $u=\sqrt{1+e^{2x}}$ ดังนั้น $e^x=\sqrt{u^2-1}$
แทนใน(1); $\int \frac{1}{\sqrt{u^2-1}}du$
อินทิเกรตได้ $\ln (u+\sqrt{u^2-1})+c$
แทนค่ากลับ $\ln (\sqrt{1+e^{2x}}+e^x)+c$

[JamesCoe#18]

ถูกต้องแล้วคับ ลองดิฟกลับดูได้คับ

[JamesCoe#18]

คุณNe[S]zA เหมือนจะผิดนะคับลองดูใหม่นะคับตรงบรรทัดที่ 2

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JamesCoe#18

คุณNe[S]zA เหมือนจะผิดนะคับลองดูใหม่นะคับตรงบรรทัดที่ 2

แก้แล้วครับเป็นแบบนี้ใช่ไหมครับ
$$\frac{du}{dx}=\frac{1}{2u}\cdot \frac{d(e^{2x})}{dx}=\frac{2e^{2x}}{2u}$$

[Mastermander]

\[
\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin ^7 x}}{{\sin ^7 x + \cos ^7 x}}dx}
\]
แถมให้ครับ

[V.Rattanapon]

11.\[
\int {\frac{{x^3 + 1}}{{x + 1}}dx = \int {\frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x^2 - x + 1} \right)}}{{x + 1}}} dx} = \int {\left( {x^2 - x + 1} \right)dx = \frac{{x^3 }}{3} - \frac{{x^2 }}{2} + x + c}
\]
12.\[
\int {\frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)^2 }}{{\sqrt x }}dx = \int {\left( {\frac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}} \right)} } dx = \int {\left( {\sqrt x - 2 + \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)dx = \frac{{2x^{\frac{3}{2}} }}{3} - 2x + 2\sqrt x + c}
\]
13.\[
\int {\sec x\left( {\tan x + \cos x} \right)dx = \int {\sec x\tan xdx + \int {\sec x\cos xdx = \sec x + x + c} } }
\]
14.\[
\int {\sqrt {1 - \cos x} dx = \sqrt 2 \int {\sin \frac{x}{2}dx} } = - 2\sqrt 2 \cos \frac{x}{2} + c
\]
15.\[
\int {\left( {e^{2x} + 1} \right)} e^{ - x} dx = \int {\left( {e^x + e^{ - x} } \right)} dx = e^x - e^{ - x} + c
\]
16.\[
\int {\frac{{\tan ax + \tan bx}}{{1 - \tan ax\tan bx}}} dx = \int {\tan \left( {ax + bx} \right)} dx = \frac{1}{{a + b}}\int {\tan \left( {a + b} \right)xd\left( {\left( {a + b} \right)x} \right) = } \frac{1}{{a + b}}\ln \left| {\sec \left( {a + b} \right)x} \right| + c
\]
17.\[
\int {\left( {1 + \cos x} \right)^{\frac{3}{2}} dx = \int {\left( {\sqrt 2 \cos \frac{x}{2}} \right)^3 dx = 2\sqrt 2 \int {\cos ^3 \frac{x}{2}dx = } } } 4\sqrt 2 \int {\left( {1 - \sin ^2 \frac{x}{2}} \right)} d\left( {\sin \frac{x}{2}} \right) = 4\sqrt 2 \left( {\sin \frac{x}{2} - \frac{1}{3}\sin ^3 \frac{x}{2}} \right) + c
\]

18.\[
\int {\frac{{1 + \sin x}}{{1 + \cos x}}} dx = \int {\frac{{\left( {1 + \sin x} \right)\left( {1 - \cos x} \right)}}{{\sin ^2 x}}} dx = \int {\left( {\csc ^2 x - \csc x\cot x + \csc x - \cot x} \right)dx = - \cot x} + \csc x + \ln \left| {\csc x - \cot x} \right| - \ln \left| {\sin x} \right| + c
\]
19.\[
\int {\left( {\sqrt x - \csc ^2 x} \right)} dx = \frac{{2x^{\frac{3}{2}} }}{3} + \cot x + c
\]
20.\[
\int {\frac{1}{{\sqrt x }}} \sec ^2 \sqrt x dx = 2\int {\sec ^2 \sqrt x } d\left( {\sqrt x } \right) = 2\tan \sqrt x + c
\]

[Ne[S]zA]

ทำไมข้อ16)ติด $\frac{1}{a+b} $ด้วยอ่ะครับ

[V.Rattanapon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mastermander

\[
\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin ^7 x}}{{\sin ^7 x + \cos ^7 x}}dx}
\]
แถมให้ครับ

\[
I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin ^7 x}}{{\sin ^7 x + \cos ^7 x}}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos ^7 x}}{{\sin ^7 x + \cos ^7 x}}dx}
\]
จะได้\[
2I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin ^7 x + \cos ^7 x}}{{\sin ^7 x + \cos ^7 x}}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {dx} = \frac{\pi }{2}
\]
ดังนั้น
\[
\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin ^7 x}}{{\sin ^7 x + \cos ^7 x}}dx} = \frac{\pi }{4}
\]

[V.Rattanapon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

ทำไมข้อ16)ติด $\frac{1}{a+b} $ด้วยอ่ะครับ

ลองให้ u = (a+b)x

[Ne[S]zA]

อ่อเข้าใจแล้วครับต้องเปลี่ยนตัวแปรก่อนเหอๆ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ V.Rattanapon

\[
I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin ^7 x}}{{\sin ^7 x + \cos ^7 x}}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos ^7 x}}{{\sin ^7 x + \cos ^7 x}}dx}
\]

ทำไมสรุปได้เลยว่า $\sin^7 x=\cos^7x $อ่ะครับ

[JamesCoe#18]

มาเพิ่มให้้คับ

1) $\int ln(x^2+x+1)dx$
2) $\int\sqrt{25-x^2}dx$
3) $\int\frac{dx}{x^2-3x-10}dx$
4) $\int\frac{dx}{x\sqrt{4x^2-9}}$
5) $\int cos^5xdx$
6) $\int sin^7xdx$
7) $\int\frac{sinx}{cos^8x}dx$
8) $\int\frac{dx}{e^x+1}dx$
9) $\int\tan^4xdx$
10) $\int\frac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}dx}$

[Ne[S]zA]

ข้อ8)ไม่มั่นใจ
$$\int \frac{dx}{e^x+1}=\ln |\frac{e^x}{e^x+1}|+c$$
edit:$e^{2x}>>e^x$

[JamesCoe#18]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

ข้อ8)ไม่มั่นใจ
$$\int \frac{dx}{e^x+1}=\ln |\frac{e^x}{e^{2x}+1}|+c$$

ผิดตรง $e^{2x}+1$ คับลองดูใหม่คับ

[Ne[S]zA]

ข้อ3)
$$\int \frac{dx}{(x-\frac{3}{2})^2-(\frac{7}{2})^2}=\frac{1}{7}\ln \frac{x-5}{x+2}+c$$

[JamesCoe#18]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

ข้อ3)
$$\int \frac{dx}{(x-\frac{3}{2})^2-(\frac{7}{2})^2}=\frac{1}{7}\ln \frac{x-5}{x-2}+c$$

ดูเหมือนเครื่องหมายจะยังผิดอยู่นะคับ