|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
โจทย์อนุกรมที่เกี่ยวข้องกับ e
กำหนดให้ $e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...$
1. จงหาค่าของ $\frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{6!} + ...$ 2. จงหาค่าของ $\frac{2}{1!} + \frac{3}{2!} + \frac{4}{3!} + \frac{5}{4!} + ...$ อีกข้อนึง ไม่เกี่ยว 1. จงหาค่าของอนุกรม $2\bullet 1! + 5\bullet 2!+ 10\bullet 3! + ... + (n^2+1)\bullet n!$
__________________
เมื่อไรเราจะเก่งเลขน้าาาาาา ~~~~ T T ไม่เก่งซักที ทำไงดี |
#2
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
e = 1 + \frac{1}{{1!}} + \frac{1}{{2!}} + \frac{1}{{3!}} + ... \] \[ e^{ - 1} = 1 - \frac{1}{{1!}} + \frac{1}{{2!}} - \frac{1}{{3!}} + ... \] จะได้ \[ e + e^{ - 1} = \left( {1 + 1} \right) + \left( {\frac{1}{{1!}} - \frac{1}{{1!}}} \right) + \left( {\frac{1}{{2!}} + \frac{1}{{2!}}} \right) + \left( {\frac{1}{{3!}} - \frac{1}{{3!}}} \right) + ... \] ดังนั้น\[ \frac{1}{{2!}} + \frac{1}{{4!}} + \frac{1}{{6!}}+... = \frac{{e + e^{ - 1} }}{2} - 1 \] 18 มีนาคม 2009 20:15 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ V.Rattanapon |
#3
|
||||
|
||||
$$\frac{2}{1!} + \frac{3}{2!} + \frac{4}{3!} + \frac{5}{4!} + ... = \sum \frac{n+1}{n!}=\sum \frac{n}{n!}+\sum \frac1{n!}$$
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ |
#4
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
แล้วจะได้คำตอบคือ $n(n+1)!$ |
#5
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac1{n!}=e^1-1$$ $$e^1=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+...=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+...=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{(n-1)!}=\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{n!}$$ ดังนั้น $$ \frac{2}{1!} + \frac{3}{2!} + \frac{4}{3!} + \frac{5}{4!} + ... =\sum \frac{n}{n!}+\sum \frac1{n!}=2e^1-1$$
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#6
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$\sum_{n = 1}^{n} (n^2+1)!=\sum_{n = 1}^{n}[(n+1)^2-2n]n!=\sum_{n = 1}^{n}(n+1)(n+1)!-2n(n)!=\sum_{n = 1}^{n}[(n+2)!-(n+1)!]-[2(n+1)!-2(n)!]=\sum_{n = 1}^{n}(n+2)!-3(n+1)!+2n!$ นำออกมากระจาย $\sum_{n = 1}^{n}(n+2)!-3(n+1)!+2n!=[(n+2)!-3(n+1)!+2n(n)!]+[(n+1)!-3(n)!+2(n-1)!]+[(n)!-3(n-1)!+2(n-2)!]+...+[(4)!-3(3)!+2(2)!]+[(3)!-3(2)!+2(1)!]$ สังเกตุว่าพจน์สุดท้ายของวงเล็บใด้ยกเว้น 2 วงเล็บสุดท้ายจะ ตัดกันหมดภายใน 2 วงเล็บต่อไป แบบ telescoping อย่างที่คุณ หยินหยางได้ กล่าวไว้ จะเหลือ $(n+2)!-2(n+1)!+2(1)!-(2)!=(n+2)!-2(n+1)!=n(n+1)!
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
|
|