สอวน. มอ. 54

[Beatmania]

สวัสดีครับ ปีนี้ผมก็เสร็จจากเข้าค่าย 1 ตั้งนานแล้วนั่นแหละ แต่ต้องปั่นงานที่โรงเรียน เลยไม่ได้มีเวลามาโพสอ่ะครับ

งั้นเริ่มเลยแล้วกัน

ข้อสอบปิดค่าย 1


Logic

1.เราสามารถปูตารางขนาด $2^n x 2^n$ ที่นำสี่เหลี่ยมที่มุมใดมุมหนึ่งออกไปด้วยตารางขนาด $2x2$ ที่นำ

สี่เหลี่ยมที่มุมใดมุมหนึ่งออกไปได้เสมอ

NT

1. จงแสดงว่า $\frac{2n!}{2^n} $ เป็นจำนวนเต็มทุกๆ $n$ เป็นจำนวนนับ

2. จงแสดงว่า $\frac{2^2n+1+5^n+3}{7}$ เป็นจำนวนเต็มทุก $n$ เป็นเลขคู่

3.จงแสดงว่า ถ้า $\frac{a^2+b^2+c^2}{4} $ เป็นจำนวนเต็มแล้ว $\frac{a^2}{4} ,\frac{b^2}{4} ,\frac{c^2}{4} $ เป็นจำนวนเต็มด้วย

4.จงแสดงว่า มี $n$ เป็นจำนวนอนันต์ที่ทำให้ $10^n+1$ เป็นจำนวนประกอบ

Combinatorics

1. มีตึก 7 ชั้น และมีบันได 2 ข้าง มีลิฟต์ 2 ตัว ตัวแรก จอดได้เฉพาะชั้น 1 5 7 ตัวที่สองจอดได้เฉพาะชั้น 1 3

จงหาจำนวนวิธีที่จะขึ้นจากชั้น 1 ไปยังชั้น 7

2. มีหนังสือ 13 เล่มที่ต่างกัน จัดใส่กล่อง 3 กล่อง โดยแต่ละกล่องจะมีหนังสืออย่างน้อย 2 เล่ม จะจัดได้กี่วิธี

3. จงหาค่าของ $\frac{1}{1} \binom{n}{0} +\frac{1}{2} \binom{n}{1} +...+\frac{1}{n+1} \binom{n}{n} $

Algebra

1.ให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนเต็ม จงหาคำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ

$x^2+2y^2+3z^2+4x+5y+6z+7=0$

2. จงแยกตัวประกอบของ $abc(a+b+c)+bcd(b+c+d)+cda(c+d+a)+dab(d+a+b)+(ab+cd)^2$

3. กำหนดให้
$a=\sqrt{45+\sqrt{14+a} } $
$b=\sqrt{45-\sqrt{14+b} } $
$c=\sqrt{45+\sqrt{14-c} } $
$d=\sqrt{45-\sqrt{14-d} } $

จงหา $abcd$

Geometry

1.1 สามเหลี่ยม ABC ลากเส้นมัธยฐานจากจุด A B C พบด้านตรงข้ามที่ Q M N ตามลำดับ เส้นมัธยฐาน

พบกันที่จุด O ให้ P แบ่งครึ่ง BO จงแสดงว่า NPOQ เป็น สี่เหลี่ยมด้านขนาน

1.2 ถ้า NP ตั้งฉาก BM BM ยาว 5หน่วย AQ ยาว 7 หน่วย จงหาพื้นที่ สี่เหลี่ยม NOQP

2. สามเหลี่ยม ABC เป็น สามเหลี่ยมมุมแหลม ให้ O เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมแนบใน ลากเส้นแบ่งครึ่งมุม A พบ

BC ที่จุด D จากจุด D ลากเส้นตั้งฉากกับ AO พบ AC ที่จุด P จงพิสูจน์ว่า AP = AB

Inequalities

1. จงแสดงว่า $x^2+y^2+1\geqslant \frac{x(y+2)+y(x+2)}{2} $ อสมการเป็นสมการเมื่อใด

2.จงหาค่าสูงสุดของ $(10-x)^2(5+x)$ โดย $x$ มีค่าระหว่าง $-5$ ถึง $5$

3. $a, b, c$ เป็นด้านของ สามเหลี่ยม

จงแสดงว่า $\frac{a+b+c}{\sqrt{2} } \leqslant \sqrt{a^2+b^2} +\sqrt{b^2+c^2} +\sqrt{c^2+a^2} $

พิจารณาด้วยว่าอสมการเป็นสมการเมื่อใด

Complex Number

1.ไม่แน่ใจ รู้สึกว่า ถ้า $|\frac{3+2zi}{2-3z} \leqslant 1|$ แล้ว $|z| \leqslant 1$

2.ให้ $W$ และ $\bar W $ เป็นรากสังยุคของสมการ $z^6+(1+i)z^3+i=0$

ให้ $a=|w-\bar w |^4$

จงหาค่าของ $(-1+i)^a$

[PP_nine]

ลองใช้ปุ่ม ฃ (ข.ขวด) ดูครับ มันจะมีสัญลักษณ์ | อยู่ ใช้แทนเครื่องหมาย absolute ครับ จะได้อ่านง่ายๆ

[~ToucHUp~]

inequalities
1.จาก cauchy-schwarz inequality ได้เป็นสมการทุกค่าของ x และ y ???
2.จัดรูปใหม่ได้ $\frac{1}{2}(10-x)(10-x)(10+2x)$
จาก AM-GM $\frac{(10-x)+(10-x)+(10+2x)}{3}\geqslant \sqrt[3]{(10-x)(10-x)(10+2x)}$
จะได้ $10^3\geqslant(10-x)(10-x)(10+2x)$
คูณ $\frac{1}{2}$ เข้าทั้งสองข้าง ได้ค่าสูงสุดคือ 500

ปล.ช่วยตรวจสอบอีกทีนะครับ

[~ToucHUp~]

Algebra
1.$(-2,0,-1)$

[No.Name]

ผมได้ 3 คำตอบเองครับ

Algebra ข้อ 1

$(x,y,z)=(-2,-1,-2),(-2,-1,0),(-2,0,-1)$

[~ToucHUp~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ No.Name

ผมได้ 3 คำตอบเองครับ

Algebra ข้อ 1

$(x,y,z)=(-2,-1,-2),(-2,-1,0),(-2,0,-1)$

ทำยังไงอะครับ

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania

1.ให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนเต็ม จงหาคำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ

$x^2+2y^2+3z^2+4x+5y+6z+7=0$

คำใบ้ที่ 1

คูณ 4 เข้าไปทั้ง 2 สมการแล้วจัดรูป

$x^2+2y^2+3z^2+4x+5y+6z+7=4y^2+(2x+4)^2+(2y+5)^2+12(z+1)^2-25$

$4y^2+(2x+4)^2+(2y+5)^2+12(z+1)^2=25$

คำใบ้ที่ 2

พิจารณาพจน์ $12(z+1)^2$ สามารถเป็นค่าใดได้บ้าง

[No.Name]

1. จงแสดงว่า $x^2+y^2+1 \ge \dfrac{x(y+2)+y(x+2)}{2}$ อสมการเป็นสมการเมื่อใด

อันนี้มันจริงแน่หรอครับ มันมีกำหนดอะไรมากนี้หรือเปล่าครับ

4.จงแสดงว่า มี $n$ เป็นจำนวนอนันต์ที่ทำให้$ 10^n+1 $เป็นจำนวนประกอ

$10^n+1= (10+1)(10^{n-1}-10^{n-2}+...+1$

$\forall n=2k+1 \in \mathbf{N} $

[nooonuii]

อสมการข้อ 3 เครื่องหมายอสมการกลับข้างรึเปล่าครับ

[Singularity]

Combinatoric ข้อ 2 ตอนผมทำ ผมแยกเป็น 8 case อะครับ ไม่ค่อยแน่ใจสักเท่าไหร่
ส่วน Algebra ข้อ 3 มอง a b -c -d เป็นรากสมการ ก็น่าจะออกนะครับ แต่เสียดายตอน สอบทำข้อนี้ ไม่ได้

[PP_nine]

1. จงแสดงว่า $x^2+y^2+1\geqslant \frac{x(y+2)+y(x+2)}{2} $ อสมการเป็นสมการเมื่อใด

ข้อนี้ลองจัดรูปดูก่อนครับ ไม่ยาก สุดท้ายจะได้ $(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2 \ge 0$

นั่นคืออสมการเป็นจริงเสมอ และเป็นสมการเมื่อ $x=y=1$

2.จงหาค่าสูงสุดของ $(10-x)^2(5+x)$ โดย $x$ มีค่าระหว่าง $-5$ ถึง $5$

อย่างที่คุณ ~ToucHUp~ ได้เฉลยไปแล้ว ได้ 500 (สมการเกิดเมื่อ $x=0$)

3. $a, b, c$ เป็นด้านของ สามเหลี่ยม

จงแสดงว่า $\frac{a+b+c}{\sqrt{2} } \leqslant \sqrt{a^2+b^2} +\sqrt{b^2+c^2} +\sqrt{c^2+a^2} $

พิจารณาด้วยว่าอสมการเป็นสมการเมื่อใด

ข้อนี้ต้องเป็นอย่างนี้หรือเปล่าครับ หรือถูกแล้ว? $$\sqrt{2}(a+b+c) \le \sqrt{a^2+b^2} +\sqrt{b^2+c^2} +\sqrt{c^2+a^2} $$ แต่ถ้าเป็นแบบนี้ก็ไม่จำเป็นต้องมีเงื่อนไขการเป็นความยาวด้านของสามเหลี่ยมก็ได้ เลยไม่แน่ใจน่ะครับ

[Keehlzver]

จริงอย่างที่ pp_nine บอกครับ ไม่จำเป็นต้องมีด้านของสามเหลี่ยม จาก $(a-b)^2 \geq 0$ ได้ว่า $\frac{a+b}{\sqrt{2}}\leq \sqrt{a^2+b^2}$ ถ้าโจทย์เป็นแบบนี้นะครับ

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania

3. $a, b, c$ เป็นด้านของ สามเหลี่ยม

จงแสดงว่า $\frac{a+b+c}{\sqrt{2} } \leqslant \sqrt{a^2+b^2} +\sqrt{b^2+c^2} +\sqrt{c^2+a^2} $

พิจารณาด้วยว่าอสมการเป็นสมการเมื่อใด

อ๋อ รู้แล้ว! ว่าทำไมต้องเป็นสามเหลี่ยม เพราะมันจะได้หารสองไปนี่เอง

(จากความรู้ที่ว่า $a+b>c$, $b+c>a$ และ $c+a>b$) $$\sqrt{a^2+b^2} +\sqrt{b^2+c^2} +\sqrt{c^2+a^2} \ge \sqrt{2}(a+b+c) = \frac{1}{\sqrt{2}}(a+b+b+c+c+a)>\frac{1}{\sqrt{2}}(a+b+c)$$ ซึ่งเป็นอสมการแท้ ไม่มีทางเกิดสมการได้แน่นอน

[Beatmania]

เอ๊ะ คุณ singularity นี่ใครอ่ะครับ

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania

3.จงแสดงว่า ถ้า $\frac{a^2+b^2+c^2}{4} $ เป็นจำนวนเต็มแล้ว $\frac{a^2}{4} ,\frac{b^2}{4} ,\frac{c^2}{4} $ เป็นจำนวนเต็มด้วย

ไม่รู้ว่าทำแบบนี้ได้ไหม
ให้ $a=4m+r_a$
$b=4n+r_b$
$c=4p+r_c$
เมื่อ $m,n,p$ เป็นจำนวนนับ และ $r_a,r_b,r_c$ เป็นเศษ โดยที่ $0 \leqslant r_a,r_b,r_c \leqslant 3$

ดังนั้น $a^2=16m^2+8mr_a+r^2_a=4(4m^2+2mr_a)+r^2_a$
$b^2=16n^2+8nr_b+r^2_b=4(4n^2+2nr_b)+r^2_b$
$c^2=16p^2+8pr_c+r^2_c=4(4p^2+2pr_c)+r^2_c$

โจทย์กำหนดให้ $\frac{a^2+b^2+c^2}{4} $ เป็นจำนวนเต็ม คือ $a^2+b^2+c^2$ หารด้วย 4 ลงตัว ซึ่งจะเป็นไปได้เมื่อ $r^2_a+r^2_b+r^2_c $ หารด้วย 4ลงตัว จากที่กำหนดให้ $0 \leqslant r_a,r_b,r_c \leqslant 3$ จะได้คู่ลำดับที่ตรงกับเงื่อนไขคือ $(0,0,0),(0,2,0),(0,2,2),(2,2,2)$ ซึ่งคู่ลำดับที่เขียนสลับตำแหน่งกันไปมาได้ เมื่อนำค่าไปแทนใน $a^2,b^2,c^2$ ในแต่ละกรณีแล้วจะได้ว่า $\frac{a^2}{4} ,\frac{b^2}{4} ,\frac{c^2}{4} $ เป็นจำนวนเต็ม