วิธีแก้คำตอบแบบแน่นอน

[MiNd169]

ใครมีวิธีแก้คำตอบแบบแน่นอนของข้อนี้ ช่วยด้วยครับ ตอนนี้ผมได้คำตอบจากการเดาอย่างเดียวเลย

กำหนดให้ $x$ เป็นเซตของจำนวนจริง $f: R \rightarrow R, g: R \rightarrow R$ ที่ $f^{-1} (x) = log_{3a} (\frac{x}{b})$ และ $g(x) = -(2a+1)x + (b+2)$ สำหรับบางจำนวนเต็ม $a,b$ ถ้า $g(f(0)) = -16 = (f^{-1} + g)(3)$ แล้ว จงหาค่าของ $a^b$ (โควตา มช. 56)

ตอบ 27

ขอบคุณครับ

[nooonuii]

แทน $x=b$ ในสูตรของ $f^{-1}(x)$ จะได้สมการจาก $g(f(0))=-16$

ส่วนสมการที่สองก็แทนค่าไปตามสมการ $(f^{-1}+g)(3)=-16$

ที่เหลือก็แก้หา $a,b$ ครับ

[MiNd169]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

แทน $x=b$ ในสูตรของ $f^{-1}(x)$ จะได้สมการจาก $g(f(0))=-16$

ส่วนสมการที่สองก็แทนค่าไปตามสมการ $(f^{-1}+g)(3)=-16$

ที่เหลือก็แก้หา $a,b$ ครับ

ผมทำมาแล้วครับ เพียงแต่ไม่รู้จะแก้สมการในแบบที่มี log ด้วยยังไง

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

$f(x)=(3a)^x(b)$ ; $ f(0)=b$

$g(b)=-(2a+1)b + (b+2)=-2ab+2=-16$

$\therefore ab=9...(1)$


$f^{-1}(3)+g(3)$
$=log_{3a}(\frac{3}{b} )+[-(2a+1)3 + (b+2)]$
$=log_{3a}(\frac{3}{b} )-6a+b-1=-16$

$log_{3a}(\frac{3}{b} )=6a-b-15...(2)$

จาก (1) ; $log_{3a}(\frac{3}{b} )=log_{3a}(\frac{3a}{9} )=1-log_{3a}(9 )$

แทนลงใน (2) ;

$1-log_{3a}(9 )=6a-b-15$

$log_{3a}(9 )=b-6a+16$

$9=(3a)^{b-6a+16}=3^{b-6a+16}a^{b-6a+16}$

แทน a=3; $3^2=3^{2(b-2)}$

$\therefore b=3$

จะได้ว่า $a^b=3^3=27$

[MiNd169]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o

$f(x)=(3a)^x(b)$ ; $ f(0)=b$

$g(b)=-(2a+1)b + (b+2)=-2ab+2=-16$

$\therefore ab=9...(1)$


$f^{-1}(3)+g(3)$
$=log_{3a}(\frac{3}{b} )+[-(2a+1)3 + (b+2)]$
$=log_{3a}(\frac{3}{b} )-6a+b-1=-16$

$log_{3a}(\frac{3}{b} )=6a-b-15...(2)$

จาก (1) ; $log_{3a}(\frac{3}{b} )=log_{3a}(\frac{3a}{9} )=1-log_{3a}(9 )$

แทนลงใน (2) ;

$1-log_{3a}(9 )=6a-b-15$

$log_{3a}(9 )=b-6a+16$

$9=(3a)^{b-6a+16}=3^{b-6a+16}a^{b-6a+16}$

แทน a=3; $3^2=3^{2(b-2)}$

$\therefore b=3$

จะได้ว่า $a^b=3^3=27$

ทำไมถึงแทน 3 เข้าไปหรอครับ

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

ตรงนี้ผมไม่รู้ว่า หาวิธีคิดอย่างไร เพราะมี1 สมการ แต่ 2ตัวแปร
เนอกจากการแทนค่า
ตอนแรก แทน a=1 ก่อน แต่ยังไม่ใช่ เลยแทน
a=3 ได้คำตอบ

[Amankris]

#3
บอกว่าทำมาแล้วแต่ติด

อยากทราบว่าทำถึงไหนแล้ว

[MiNd169]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

#3
บอกว่าทำมาแล้วแต่ติด

อยากทราบว่าทำถึงไหนแล้ว

ผมทำถึง $9=3^{b-6a+16}a^{b-6a+16}$ เหมือนคุณ lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o อ่ะครับ

[Thgx0312555]

a,b เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นจะมี $(a,b)$ 3 คู่ ก็แทนได้เลยครับ
(a>0)

[Amankris]

#8

ทำให้เหลือตัวแปรเดียวก่อนดีไหมครับ

edit จัดรูปต่ออีกนิดก่อน

[MiNd169]

ขอบคุณทุกคนมากครับ ^^