Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ทฤษฎีจำนวน
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 08 พฤษภาคม 2016, 19:11
Beatmania's Avatar
Beatmania Beatmania ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 พฤษภาคม 2011
ข้อความ: 279
Beatmania is on a distinguished road
Default แฟคทอเรียล!

สำหรับจำนวนนับ $n>1$ จงแสดงว่า

$$n!\prod_{d|n}[d^{\frac{n}{d}}(\frac{n}{d})!]^{\mu(d)}$$

เป็นจำนวนนับ

ปล. $\mu(n)$ คือ $Mobius$ $Function$ นะครับ
__________________
I'm Back
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 10 พฤษภาคม 2016, 08:18
Thgx0312555's Avatar
Thgx0312555 Thgx0312555 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 885
Thgx0312555 is on a distinguished road
Default

สามารถแยกเป็นสองส่วนครับ
(1) $\displaystyle n!\prod_{d|n}[d^{\frac{n}{d}}]^{\mu(d)}$ เป็นจำนวนเต็ม
และ
(2) $\displaystyle \prod_{d|n}[(\frac{n}{d})!]^{\mu(d)}$ เป็นจำนวนเต็ม

ขอเขียนส่วนที่ยาก (2) ก่อนละกันครับ ส่วนง่าย (1) เดี๋ยวมาเฉลยต่อแต่ถ้าคนอื่นอยากทำก็ทำเลยครับ

สมมติ $p_1p_2 \cdots p_m \mid n$ เป็นจำนวนเฉพาะที่หาร $n$ ทั้งหมด

พิจารณากำลังของ $p$ เมื่อ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะใดๆ
$$\displaystyle \prod_{d|n}[(\frac{n}{d})!]^{\mu(d)}$$

จะได้ว่าเท่ากับ $\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}(\left\lfloor \frac{n}{p^i} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{n}{p^ip_1} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{n}{p^ip_2} \right\rfloor - \cdots - \left\lfloor \frac{n}{p^ip_m} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^ip_1p_2} \right\rfloor + \cdots + (-1)^m \left\lfloor \frac{n}{p^ip_1p_2 \cdots p_m} \right\rfloor)$

$= \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}(\left\lfloor n/p^i \right\rfloor - \left\lfloor \frac{\left\lfloor n/p^i \right\rfloor}{p_1} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{\left\lfloor n/p^i \right\rfloor}{p_2} \right\rfloor - \cdots - \left\lfloor \frac{\left\lfloor n/p^i \right\rfloor}{p_m} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{\left\lfloor n/p^i \right\rfloor}{p_1p_2} \right\rfloor + \cdots + (-1)^m \left\lfloor \frac{\left\lfloor n/p^i \right\rfloor}{p_1p_2 \cdots p_m} \right\rfloor)$

นั่นคือเราเหลือเพียงแสดงว่า
$f(k) := \displaystyle \left\lfloor k \right\rfloor - \left\lfloor \frac{k}{p_1} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{k}{p_2} \right\rfloor - \cdots - \left\lfloor \frac{k}{p_m} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{k}{p_1p_2} \right\rfloor + \cdots + (-1)^m \left\lfloor \frac{k}{p_1p_2 \cdots p_m} \right\rfloor \ge 0$

ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ว่า
$f(k)-f(k-1) = \cases{1 & , \gcd (k,n)=1 \cr 0 & , \gcd (k,n)>1} $

นั่นคือ $f(k)$ มีค่าเท่ากับจำนวนของจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ $n$ ที่มีค่าตั้งแต่ $1$ ถึง $k$ จึงได้ว่า $f(k) \ge 0$

ปล. รอดูผลผู้แทนปีนี้นะครับ
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล
---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้

10 พฤษภาคม 2016 08:22 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thgx0312555
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 10 พฤษภาคม 2016, 12:37
Beatmania's Avatar
Beatmania Beatmania ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 พฤษภาคม 2011
ข้อความ: 279
Beatmania is on a distinguished road
Default

ครับผม ผมคงไม่ได้หรอกครับ

จริงๆแล้ว โจทย์สามารถลดให้เหลือเป็น จงแสดงว่า

$$\prod_{d|n}[d^{\frac{n}{d}}(\frac{n}{d})!]^{\mu(d)}$$

เป็นจำนวนนับได้ครับ (อันนี้ผมสะเพร่าเอง นึกว่า $\mu(1)=0$ = =*)

และจะได้ว่า

$$\prod_{d|n}[d^{\frac{n}{d}}(\frac{n}{d})!]^{\mu(d)}=\prod_{1<d<n,(d,n)=1}d$$

__________________
I'm Back

10 พฤษภาคม 2016 12:38 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Beatmania
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 10 พฤษภาคม 2016, 23:25
Beatmania's Avatar
Beatmania Beatmania ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 พฤษภาคม 2011
ข้อความ: 279
Beatmania is on a distinguished road
Default

เฉลยสำหรับผู้ที่สนใจนะครับ

__________________
I'm Back

10 พฤษภาคม 2016 23:33 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Beatmania
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 16:27


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha