Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > พีชคณิต
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 21 พฤษภาคม 2016, 16:39
poohmathman's Avatar
poohmathman poohmathman ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 05 พฤษภาคม 2014
ข้อความ: 16
poohmathman is on a distinguished road
Default ขอโจทย์สมการเชิงฟังก์ชันหน่อยครับ

อยากได้โจทย์ระดับแข่งขันTMOของสมการเชิงฟังก์ชันอะครับที่มีการใช้เทคนิคแปลกๆ อย่ายากมากนะครับพอดีว่าผมไม่ค่อยถนัดวิชานี้เท่าไรน่ะครับ555
ขอหน่อยนะครับ
__________________
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 21 พฤษภาคม 2016, 16:54
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องสมการ $f(xf(y)+yf(x))=2f(x)y$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 21 พฤษภาคม 2016, 17:58
Pitchayut Pitchayut ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 มกราคม 2015
ข้อความ: 352
Pitchayut is on a distinguished road
Default

ข้อของคุณ nooonuii ง่ายไปไหมครับ มันทำไม่กี่บรรทัดหลุดเลยนิ

เอาข้อนี้ดีกว่า จงหา $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ทั้งหมดที่ทำให้ $f(yf(x+y)+f(x))=4x+2yf(x+y)$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 21 พฤษภาคม 2016, 18:34
กขฃคฅฆง's Avatar
กขฃคฅฆง กขฃคฅฆง ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 เมษายน 2015
ข้อความ: 419
กขฃคฅฆง is on a distinguished road
Default

ง่ายๆครับ

หา $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{N} $ ทั้งหมดที่ $21f(n) = 2f(n-1)+5f(n-2)+5f(n-3)+9f(n-4)$
__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 21 พฤษภาคม 2016, 19:08
Beatmania's Avatar
Beatmania Beatmania ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 พฤษภาคม 2011
ข้อความ: 279
Beatmania is on a distinguished road
Default

สวัสดีครับ ส่งโจทย์มาร่วมสนุกนะครับ

จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ ที่สอดคล้องกับสองเงื่อนไขต่อไปนี้

1.) $\forall n\in\mathbb{N},f(n!)=f(n)!$

2.) $\forall m,n\in\mathbb{N},m-n|f(m)-f(n)$

@ข้อน้อง Pichayut

__________________
I'm Back

21 พฤษภาคม 2016 19:24 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Beatmania
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 21 พฤษภาคม 2016, 23:04
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut View Post
ข้อของคุณ nooonuii ง่ายไปไหมครับ มันทำไม่กี่บรรทัดหลุดเลยนิ

เอาข้อนี้ดีกว่า จงหา $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ทั้งหมดที่ทำให้ $f(yf(x+y)+f(x))=4x+2yf(x+y)$
ข้อ ของผมไม่เหมาะกับระดับเหรียญทอง TMO อยู่แล้วล่ะครับ
ผมเอามาให้เจ้าของกระทู้ฝึกทำน่ะ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 22 พฤษภาคม 2016, 16:12
Pitchayut Pitchayut ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 มกราคม 2015
ข้อความ: 352
Pitchayut is on a distinguished road
Default

สงสัยปล่อยโจทย์ยากไปหน่อย ขอโทษด้วยครับ

พอดีไปเจอมาจาก EGMO เห็นว่าสวยดี เลยเอามาลง

คราวนี้ง่ายลงมาหน่อยละกัน จงหา $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{R}$ ทั้งหมดที่ทำให้

$f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+f(x)+f(y)$

Hint : ความยากอยู่ที่การหา f(1)

22 พฤษภาคม 2016 16:21 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Pitchayut
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #8  
Old 22 พฤษภาคม 2016, 17:28
poohmathman's Avatar
poohmathman poohmathman ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 05 พฤษภาคม 2014
ข้อความ: 16
poohmathman is on a distinguished road
Default


ข้ออาจารย์nooonuii f(xf(y)+yf(x))=2f(x)y

แทนxด้วยyกับแทนyด้วยx
สมการที่1 f(xf(y)+yf(x))=2f(x)y
สมการที่2 f(yf(x)+xf(y))=2f(y)x

จับเท่ากัน ได้ f(x)y=f(y)x เป็นสมการที่3
จะแสดงว่าเป็น1-1 สมมติ f(x)=f(y)
xyf(x)=xyf(y)
จากสมการที่3ได้ว่า x=y ดังนั้นf 1-1
แทนyด้วยx f(2xf(x))=2xf(x)
แทนxด้วย1/2 f(f(x))=f(x)
เนื่องจากf 1-1 f(x)=x

--------------------------

ข้อคุณpitchayut คิดอยู่นานเลยแหละครับไม่รู้ได้รึป่าว555
f(yf(x+y)+f(x))=4x+2yf(x+y)

แทนyด้วย0 f(f(x))=4x เป็นสมการที่1

แทนyด้วย-2x/f(x+y)
f(-2x+f(x))=4x-4x
ใส่f f(f(-2x+f(x))=f(0)
จากสมการที่1 4(-2x+f(x))=f(0)
ได้ f(x)=f(0)/4+2x
นำไปแทนค่าในโจทย์ได้f(0)=0
ดังนั้น f(x)=2x

ขอบคุณทุกท่านที่ช่วยส่งโจทย์มานะครับได้ฝึกโจทย์ดีๆหลายข้อเลย
__________________

22 พฤษภาคม 2016 18:13 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ poohmathman
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #9  
Old 22 พฤษภาคม 2016, 18:04
Pitchayut Pitchayut ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 มกราคม 2015
ข้อความ: 352
Pitchayut is on a distinguished road
Default

ได้ครับเพราะว่าถ้า
f(x)=f(y)
f(f(x))=f(f(y))
4x=4y
x=y
นั่นคือ f เป็น injective ครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #10  
Old 22 พฤษภาคม 2016, 18:05
poohmathman's Avatar
poohmathman poohmathman ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 05 พฤษภาคม 2014
ข้อความ: 16
poohmathman is on a distinguished road
Default

อ๋อครับผมโง่เอง555เพิ่งนึกออกเมื่อกี้
__________________
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #11  
Old 23 พฤษภาคม 2016, 00:04
กขฃคฅฆง's Avatar
กขฃคฅฆง กขฃคฅฆง ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 เมษายน 2015
ข้อความ: 419
กขฃคฅฆง is on a distinguished road
Default

สงสัยหลายจุดเลยครับ

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poohmathman View Post

ได้ f(x)y=f(y)x เป็นสมการที่3
ตรงนี้แทน y=1 ก็ออกละครับ

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poohmathman View Post
จะแสดงว่าเป็น1-1 สมมติ f(x)=f(y)
xyf(x)=xyf(y)
จากสมการที่3ได้ว่า x=y ดังนั้นf 1-1
ถ้า f(x)=0 ล่ะครับ

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poohmathman View Post
แทนyด้วยx f(2xf(x))=2xf(x)
แทนxด้วย1/2 f(f(x))=f(x)
แทน x ด้วย 1/2 ตรงไหนหรอครับ

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poohmathman View Post
แทนyด้วย-2x/f(x+y)
f(-2x+f(x))=4x-4x
ค่า y ใน f(x+y) ก็ต้องเปลี่ยนด้วยหนิครับ
__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #12  
Old 23 พฤษภาคม 2016, 06:40
poohmathman's Avatar
poohmathman poohmathman ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 05 พฤษภาคม 2014
ข้อความ: 16
poohmathman is on a distinguished road
Default

เออจริงด้วย555ผมสะเพร่าไปหลายจุดเลยนะครับเนี่ย
__________________
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 19:26


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha