ข้อสอบ ศิลปหัตถกรรม อัจฉริยภาพทางคณิตศาสตร์ ระดับชาติ ยากไหมอ่ะ

[ํYinna]

จะสอบ Pat รอบ 2 แล้ว อยากฝึกโจทย์จากหลายๆรายการ

ใครได้ไปแข่งระดับชาติบ้างอ่ะ ข้อสอบออกยากไหม พอจะจำโจทย์ได้ไหมอ่ะ
อยากได้เป็นแนวทางในการฝึกโจทย์

[กขฃคฅฆง]

ยากครับ ไม่ใช่โจทย์ยาก แต่ให้เวลาน้อยครับ เฉลี่ยข้อละ3นาที เฉพาะข้อที่จำได้

1.ให้ ABCD เป็นสี่เหลี่ยมนูน เพิ่มจุดบนด้าน AB 2 จุด ด้าน BC 3 จุด CD 4 จุด DA 5 จุด รวมเป็น 18 จุด จงหาจำนวนวิธีสร้างสี่เหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่ที่ 18 จุดนี้

2. จงหาค่าของ $tan^420^o+tan^480^o+tan^4140^o$

3. จงหาค่า N ที่มากที่สุดที่เป็นไปได้โดยที่ $N=a_n10^n+a_{n-1}10^{n-1}+...+a_0$ , $a_i \in \mathbb{N} $ , $0\leqslant a_i \leqslant 9$ ทุก $i=0,...,n$ , $a_n \not= 0$ และ $a_i<\dfrac{a_{i-1}+a_{i+1}}{2} $ ทุก $i=1,...,n-1$

4. จงหาผลบวกคำตอบของสมการ $\left\lfloor\,x\right\rfloor+ \left\lfloor\,2x\right\rfloor+ \left\lfloor\,3x\right\rfloor +...+\left\lfloor\,9x\right\rfloor =44x$

5. ให้ $P(x)=\dfrac{64(x-1)(x-2)(x-3)}{(4-1)(4-2)(4-3)} +\dfrac{27(x-1)(x-2)(x-4)}{(3-1)(3-2)(3-4)} +\dfrac{8(x-1)(x-3)(x-4)}{(2-1)(2-3)(2-4)} + \dfrac{(x-2)(x-3)(x-4)}{(1-2)(1-3)(1-4)} $ จงหาค่าของ $P'(9)+P''(13)$

[Benten10]

ทำข้อ 2 ให้ดูหน่อยได้ไหมครับ

[กขฃคฅฆง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Benten10

ทำข้อ 2 ให้ดูหน่อยได้ไหมครับ

ลองคูณ 3 ที่มุมแต่ละมุมดูครับ

[Benten10]

แล้วไงต่ออะครับ ใบ้เพิ่มอีกนิดได้ไหมครับ

[กขฃคฅฆง]

$tan3A=\dfrac{3tanA-tan^3A}{1-3tan^2A} $ จะได้ว่า $tan20^o,tan80^o,tan140^o$ เป็นรากของ.......

[Benten10]

ช่วยเขียนวิธีทำเต็มๆให้หน่อยนะครับ ขอบคุณครับ

[กขฃคฅฆง]

$tan20^o,tan80^o,tan140^o$ เป็นรากของสมการ $\sqrt{3}=\dfrac{3x-x^3}{1-3x^2}$ ลองต่อดูครับ

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กขฃคฅฆง

ยากครับ ไม่ใช่โจทย์ยาก แต่ให้เวลาน้อยครับ เฉลี่ยข้อละ3นาที เฉพาะข้อที่จำได้

1.ให้ ABCD เป็นสี่เหลี่ยมนูน เพิ่มจุดบนด้าน AB 2 จุด ด้าน BC 3 จุด CD 4 จุด DA 5 จุด รวมเป็น 18 จุด จงหาจำนวนวิธีสร้างสี่เหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่ที่ 18 จุดนี้

2. จงหาค่าของ $tan^420^o+tan^480^o+tan^4140^o$

3. จงหาค่า N ที่มากที่สุดที่เป็นไปได้โดยที่ $N=a_n10^n+a_{n-1}10^{n-1}+...+a_0$ , $a_i \in \mathbb{N} $ , $0\leqslant a_i \leqslant 9$ ทุก $i=0,...,n$ , $a_n \not= 0$ และ $a_i<\dfrac{a_{i-1}+a_{i+1}}{2} $ ทุก $i=1,...,n-1$

4. จงหาผลบวกคำตอบของสมการ $\left\lfloor\,x\right\rfloor+ \left\lfloor\,2x\right\rfloor+ \left\lfloor\,3x\right\rfloor +...+\left\lfloor\,9x\right\rfloor =44x$

5. ให้ $P(x)=\dfrac{64(x-1)(x-2)(x-3)}{(4-1)(4-2)(4-3)} +\dfrac{27(x-1)(x-2)(x-4)}{(3-1)(3-2)(3-4)} +\dfrac{8(x-1)(x-3)(x-4)}{(2-1)(2-3)(2-4)} + \dfrac{(x-2)(x-3)(x-4)}{(1-2)(1-3)(1-4)} $ จงหาค่าของ $P'(9)+P''(13)$

ไม่คิดว่าโจทย์จะยากขนาดนี้ครับ
เอาข้อที่คิดได้เร็วๆไปก่อน

1. $\binom{18}{4}-\binom{4}{3}14-\binom{5}{3}13-\binom{6}{3}12-\binom{7}{3}11-\binom{4}{4}-\binom{5}{4}-\binom{6}{4}-\binom{7}{4}$

3. $96433469$

5. $P(x)=x^3$

Edit 1

4. $\dfrac{199}{2}$

Hint

คำตอบอยู่ในรูป $a_i + \dfrac{i}{44}$ และ $a_i+a_{44-i}=8$ เมื่อ $i \neq 11,22,33$

[กขฃคฅฆง]

ข้อสอบมี40ข้อครับ 30ข้อแรกจะอยู่ในระดับง่ายมากถึงปานกลาง จะยากก็10ข้อสุดท้าย 5ข้อที่ผมยกมาน่าจะเป็น5ข้อที่ยากที่สุดแล้วครับ

[Thgx0312555]

คือหลายๆข้อผมว่าเวลา 3 นาทีมันน้อยเกินไปจริงๆแหละ
อย่างข้อ 2 กับข้อ 4

แต่อย่างข้อ 5 นี่เด็กที่เข้าค่าย สสวท นี่มองตอบได้เลยครับ

[Pitchayut]

ข้อ 5 คือ Lagrange Interpolation Formula ครับ