อยากทราบเกี่ยวกับ factorial

Destiny · #1 27 พฤศจิกายน 2005, 00:12

เคยอ่านหนังสือเจอ ว่า factorial คือ n! โดยที่ n เป็น จำนวนเต็มบวก แต่เขาบอกว่าเป็น 0 และเป็นลบได้ แม้กระทั่งทศนิยม แต่อยู่ในระดับอุดมศึกษา ผมจะหาอ่านได้ที่ไหนหรอคับ ยังไม่เคยเจอเลย แปลกดีอยากรู้ครับ

nongtum · #2 27 พฤศจิกายน 2005, 02:12

Google
Mathworld
Wikipedia

ท"๐ทุย · #3 17 ตุลาคม 2008, 22:20

สวัสดีครับ
ผมสงสัยมากมายเลยครับ ว่าทำไม 0! จึงมีค่าเท่ากับ 1 ละครับ
ครูที่สอนเขาบอกว่าให้จำไป จะพิสูจน์ยังไงอะครับ

t.B. · #4 18 ตุลาคม 2008, 03:12

จากนิยามของ n!

$n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times ....$
$n!=n\times (n-1)!$

แทน n=1

$1!=1\times (1-1)!$
$\therefore 1=0!$

คุณชายน้อย · #5 18 ตุลาคม 2008, 06:02

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ t.B.

จากนิยามของ n!

$n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times ....$
$n!=n\times (n-1)!$

แทน n=1

$1!=1\times (1-1)!$
$\therefore 1=0!$

------- ผิดครับผม ไม่มีเฉลย ไปดูเองครับ --------

[SIL] · #6 18 ตุลาคม 2008, 12:58

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คุณชายน้อย

------- ผิดครับผม ไม่มีเฉลย ไปดูเองครับ --------

แต่ผมว่าถูกต้องแล้วนะครับ ในหนังสือผมก็เขียนพิสูจน์แบบนี้ ผิดตรงไหนก็โปรดชี้แนะด้วย

คุณชายน้อย · #7 18 ตุลาคม 2008, 14:47

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

แต่ผมว่าถูกต้องแล้วนะครับ ในหนังสือผมก็เขียนพิสูจน์แบบนี้ ผิดตรงไหนก็โปรดชี้แนะด้วย

คำตอบไม่ผิดหรอกครับ แต่ผิดที่หลักการคิด (ค่อนข้างอธิบายยาก....... ผู้พิทักษ์ทั้งหลายช่วยเติมเต็ม หรือ comment ให้ด้วยครับ ...) ขบวนการ recursive relation , n! = nx(n-1)! ทำให้เกิดค่าของ 0! = 1 ก็จริง แต่ถ้ามองลึก ๆ ดี ๆ จะพบว่าเกิดจากการใช้นิยาม $n! = \prod_{k = 1}^{n} k$ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก จึงพบว่า n! = nx(n-1)! จะต้องสอดคล้องเมื่อ $n \geqslant 2$ เท่านั้น เพราะถ้า n = 1 แล้วจะไม่เกิดการนิยาม (n-1)! ในด้านขวามือของสมการ จึงต้องมีการเติมนิยาม 0! = 1 ลงไปในฟังก์ชัน factorial เพื่อให้เกิดขบวนการทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า nullary product เราจึงไม่จำเป็นต้องพิสูจน์ ให้เป็นนิยามเลย แต่เมื่อมีการ generate factorial จึงเกิดพบว่า 0! = 1 ตามที่คุณ SIL ใช้ขบวนการ recursive relative แต่ก็ได้เฉพาะ n = 0 เท่านั้น ขบวนการ recursive จึงตกไป เลยมีการ generate ใหม่โดยใช้ฟังก์ชันแกมม่าเพื่อเติมเต็มให้กับฟังก์ชัน factorial โดยขยายให้ n! นิยามได้ใน $\mathbb{R} $ ยกเว้นจำนวนเต็มลบ ....

[SIL] · #8 18 ตุลาคม 2008, 17:27

อื้ม ขอบคุณครับถ้าใช้วิธีที่ผมว่า โดยนิยาม $n! = n(n-1)! \rightarrow 0! = 0(-1)!$ แล้ว -1!จะมีค่าเท่าไหร่หว่า โลกคงแตกแน่ๆ มันมีช่องโหว่มากมายที่จะใช้วิธีที่ผมสนับสนุน ดังนั้น 0! = 1 เป็นนืยามที่ตั้งขึ้น ไม่ใช่มาจากการทนค่า แต่ผมยังมีข้อสงสัยอยู่ (ความรู้น้อย

)
1. 1.5! ผมเคยเห็นในบอร์ดวิชาการเมื่อนานมาแล้ว มันมีค่าเท่าไหร่หรอครับ
2. -2! ผมเคยกดเครื่องคิดเลขดู มันบอกว่า = 1

คุณชายน้อย · #9 18 ตุลาคม 2008, 23:41

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

แต่ผมยังมีข้อสงสัยอยู่ (ความรู้น้อย

)
1. 1.5! ผมเคยเห็นในบอร์ดวิชาการเมื่อนานมาแล้ว มันมีค่าเท่าไหร่หรอครับ
2. -2! ผมเคยกดเครื่องคิดเลขดู มันบอกว่า = 1

ตอบข้อ 2. จากความเดิม กรณีที่มีการคำนวณนอกเหนือจากการนิยามใน $n!=\prod_{k = 1}^{n}k $ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก คือ 0! เพือป้องกันการเกิดขบวนการ recursive ที่ error เราจะต้องนิยามในส่วนนี้โดยให้มีค่าเท่ากับ 1 เสมอ นั่นคือ ต้องนิยาม 0! = 1 ซึ่งเราเรียกส่วนนี้ว่าเป็น empty product หรือ nullary product ในทำนองเดียวกันกับเครื่องคิดเลข Process ที่ต้องมีการคำนวณ recursive เพื่อป้องกันการเกิด error จากการคำนวณ (-2)! ซึ่งไม่ได้นิยามค่า หรือ $(-2)! = \Gamma (-1) = หาค่าไม่ได้ $ จะใช้วิธีการ empty product หรือ nullary product เพื่อใม่ให้มีการ error โดยให้คำตอบเป็น 1 เสมอ ซึ่งสามารถกำหนดค่าได้โดยไม่เสียความเป็นทั่วไป สามารถดูเพิ่มเติมได้ที่นี่

ตอบข้อ 1.
===> คิดแบบสูตร จากสูตร $ (n+\frac{1}{2})! = \sqrt{\pi } \prod_{k = 0}^{n}\frac{2k+1}{2} $ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ จะได้ว่า $$ \frac{3}{2}! = (1+\frac{1}{2})! = \sqrt{\pi } \prod_{k = 0}^{1}\frac{2k+1}{2} = \sqrt{\pi } \cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2} =\frac{3\sqrt{\pi } }{4} $$
ปล. สูตรคิดไม่ยากจากวิธีการคิดโดยใช้นิยามปกติ เราอาจคิดสูตร $ (n+\frac{1}{m})! $ เมื่อ m เป็นจำนวนเต็มใด ๆ และ n เป็นจำนวนเต็มบวกหรือศุนย์ ไว้ใช้เองก็ได้.... ไม่ยาก
===> คิดแบบนิยามปกติ โดยอาศัยองค์ประกอบของนิยามต่อไปนี้
$$ \Gamma (n+1) = n! , \Gamma (n+1) = n\Gamma (n) , \Gamma (n)=\int_{0}^{\infty}\,{t}^{n-1}{e}^{-t}dt $$
เอาละลุยเลย ก่อนอื่นต้องคำนวณ $\Gamma (\frac{1}{2} )$ ก่อน ซึ่งจะได้ $$ \Gamma (\frac{1}{2} )=\int_{0}^{\infty}\,{t}^{-1/2}{e}^{-t}dt = \sqrt{\pi } $$ ซึ่งการคำนวณค่อนข้างยุ่งยากในระดับ Basic เอาเป็นว่าได้คำตอบคือ $\sqrt{\pi } $ ก็แล้วกัน ต่อไปก็คำนวณ $\frac{3}{2}! $ เลย จะได้ว่า
$$\frac{3}{2}! = \Gamma (\frac{3}{2} +1) = \frac{3}{2}\Gamma (\frac{3}{2} ) =\frac{3}{2}\Gamma (\frac{1}{2}+1 ) = \frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \Gamma (\frac{1}{2} )= \frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \sqrt{\pi }=\frac{3\sqrt{\pi } }{4} $$
จะเห็นว่าเป็นขบวนการ recursive ไปเรื่อยๆ จนถึง $\Gamma (\frac{1}{2} )$
ปล. ให้ Source ของคำตอบของ $\Gamma (\frac{1}{m} )$ เมื่อ m เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 2 ไว้ให้เผื่อใครจะคิดสูตร $ (n+\frac{1}{m})! $ ไว้ใช้เอง ................. จบบริบูรณ์