trigonometry

[Amankris]

จงแสดงว่า $\tan\dfrac{2\pi}{13}+4\sin\dfrac{6\pi}{13}=\sqrt{13+2\sqrt{13}}$

[k.non]

ให้ $w=\cos\frac{2\pi }{13}+i\sin\frac{2\pi}{13} $
จะได้ว่า $w^{12}+w^{11}+w^{10}+...+w+1=0---------------------(1)$
พิจารณา $i\tan\frac{2\pi}{13}=\frac{2i\sin\frac{2\pi}{13}}{\cos\frac{2\pi}{13}}$
$=\frac{w-\frac{1}{w}}{w+\frac{1}{w}}$
$=\frac{w^2-1}{w^2+1}$
พิจารณา $4i\sin\frac{6\pi}{13}=2(w^3-\frac{1}{w^3})$
ดังนั้น $i(\tan\frac{2\pi}{13}+4\sin\frac{6\pi}{13})=\frac{w^2-1}{w^2+1}+2(w^3-\frac{1}{w^3})$
เมื่อจัดรูปแล้วจะได้ว่า
$$i(\tan\frac{2\pi}{13}+4\sin\frac{6\pi}{13})=(w+w^2+w^3+w^5+w^6+w^9)-(w^4+w^7+w^8+w^{10}+w^{11}+w^{12})------(2)$$
ให้ $A=w+w^2+w^3+w^5+w^6+w^9$
และ $B=w^4+w^7+w^8+w^{10}+w^{11}+w^{12}$
พบว่า $A+B=-1$ (จากสมการ $(1)$)
พิจารณาค่า $AB$ พบว่า
$AB=4+(w+w^3+w^4+w^9+w^{10}+w^{12})$ (กระจาย+จัดรูป)
$2AB-7=1+2(w+w^3+w^4+w^9+w^{10}+w^{12})$
$(2AB-7)^2=1+4(w+w^3+w^4+w^9+w^{10}+w^{12})+4(w+w^3+w^4+w^9+w^{10}+w^{12})^2$
$(2AB-7)^2=25+12(w+w^2+...+w^{12})$ (กระจาย+จัดรูป)
$\therefore (2AB-7)^2=13$
นั่นคือ $2AB-7=\pm \sqrt{13} $
จาก $A+B=-1 และ (A-B)^2+4AB=(A+B)^2$
ได้ว่า $(A-B)^2=(-1)^2-2(7\pm \sqrt{13} )$
ดังนั้น $A-B=\pm i\sqrt{13\pm 2\sqrt{13} } $ แทนใน $(2)$ ได้ว่า
$i(\tan\frac{2\pi}{13}+4\sin\frac{6\pi}{13})=\pm i\sqrt{13\pm 2\sqrt{13} } $
$\tan\frac{2\pi}{13}+4\sin\frac{6\pi}{13}=\pm \sqrt{13\pm 2\sqrt{13} }$
เนื่องจาก $\tan\frac{2\pi}{13}+4\sin\frac{6\pi}{13}>0 (\because 0<\frac{2\pi}{13},\frac{6\pi}{13}<\frac{\pi}{2})$
นั่นคือ $\tan\frac{2\pi}{13}+4\sin\frac{6\pi}{13}=\sqrt{13\pm 2\sqrt{13} }$
และจาก $4\sin\frac{6\pi}{13}>4\sin\frac{\pi}{3}>\sqrt{13-2\sqrt{13}}$ ดังนั้นเลยได้ว่า
$$\tan\frac{2\pi}{13}+4\sin\frac{6\pi}{13}=\sqrt{13+2\sqrt{13} }$$

[k.non]

ขอยกตัวอย่างโจทย์ที่คล้ายกับโจทย์ของคุณ Amankris นะครับ แต่จะง่ายกว่า เผื่อคนที่สนใจครับ
จงแสดงว่า
$$\tan\frac{3\pi}{11}+4\sin\frac{2\pi}{11}=\sqrt{11} $$

[Aquila]

ไปเจอมา เลยเอามาให้ดู (ยังไม่ได้เชคนะ)

$\tan \frac{\pi}{13}+4\sin \frac{4\pi}{13}=\tan \frac{3\pi}{13}+4\sin \frac{3\pi}{13}$
$\tan \frac{2\pi}{13}+4\sin \frac{6\pi}{13}=\tan \frac{5\pi}{13}+4\sin \frac{2\pi}{13}$

ว่าแต่โจทย์คุณ Amankris มีวิธีไม่เชิงซ้อนโหดๆเหมือนข้างบนไหมครับ