[สอวน. สวนกุหลาบ 2559] ข้อสอบ สอวน.ค่าย 2/2559 ศูนย์สวนกุหลาบวิทยาลัย

[หัวหมาหางสิงโต]

ปีนี้พิเศษ คัดแค่ 18 คน ไม่มีค่าย 3 ครับ เลยอาจยากเป็นพิเศษ
ผมทำไม่ค่อยได้เลย เข้าค่ายครั้งแรก ไม่ติดผู้แทนศูนย์แน่ ๆ ครับ

ทฤษฎีจำนวน

เรขาคณิต

พีชคณิต

คอมบินาทอริก

สมการเชิงฟังก์ชัน

[tngngoapm]

ตามข้อสอบที่ให้มาพีชคณิตข้อ4.....จงหารากของสมการ $x^5-5x^2+2=0$
แยกตัวประกอบได้$x^5-5x^2+2=(x^2-x-1)(x^3+x^2+2x-2)$ ครับ

[Panithi Vanasirikul]

พีชคณิต ข้อสี่ ไม่ทราบว่ามีเทคนิคในการเเยกตัวประกอบยังไงอ่ะคับ

[tngngoapm]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Panithi Vanasirikul

พีชคณิต ข้อสี่ ไม่ทราบว่ามีเทคนิคในการเเยกตัวประกอบยังไงอ่ะคับ

ขออนุญาติเขียนละเอียดนะครับ เผื่อคนอื่นๆยังไม่รู้ แต่ผมเชื่อว่าเด็ดค่ายสอวนน่าจะรู้ดีกันอยู่แล้ว
.....อันดับแรกต้องวิเคราะห์รากสมการก่อนครับว่ามีรากเป็นจำนวนตรรกยะหรือไม่จะเห็นว่าไม่มี
แสดงว่ารากสมการของ $x^5-5x^2+2$ ต้องเป็นจำนวนอตรรกยะหรือจำนวนเชิงซ้อนที่เป็นคู่สังยุคกัน
จำนวน 2 คู่ และรากอีกหนึ่งตัวต้องเป็นจำนวนอตรรกยะแสดงว่าต้องมีพหุนามกำลังสองที่สามารถหาร
$x^5-5x^2+2$ ได้ลงตัว สมมติให้เป็น $x^2-ax+b$
......ตั้งหารยาว $x^2-ax+b$ หาร $x^5-5x^2+2$ ได้เศษ $[b^2-3a^2b+(a^4-5a)]x+[2ab^2+(5-a^3)b+2]$
แสดงว่า $b^2-3a^2b+(a^4-5a)=0....(1) และ 2ab^2+(5-a^3)b+2=0.......(2)$
(คราวนี้ก็เป็นงานเดาล่ะครับ แต่ไม่ถึงกับมั่วนะครับมันมีเทคนิคในการเดาอยู่)
a,b ต้องเป็นจำนวนเต็ม สรุปได้ $a=1,b=-1$
แสดงว่า $x^2-x-1$ เป็นตัวระกอบของ $x^5-5x^2+2$

[Pitchayut]

โดยรวม เรขายากขึ้น, NT เท่าเดิม, Algebra ยากขึ้นครับ ข้างล่างนี้เป็นวิธีทำโดยย่อครับ

Geometry 1 (Trigonometry)

จาก Law of Sine
$$\frac{AR}{RC}=\frac{\dfrac{AR}{DR}}{\dfrac{RC}{DR}}=\frac{\dfrac{\cos(\angle RDC)}{\sin A}}{\dfrac{\sin(\angle RDC)}{\cos A}}=\frac{\cot(\angle RDC)}{\tan A}$$
ในทำนองเดียวกัน $\dfrac{CQ}{QB}=\dfrac{\tan B}{\cot(\angle QDC)}$ แต่จาก Ceva $\dfrac{AR}{RC}\cdot \dfrac{CQ}{QB}=\dfrac{AD}{BD}$ คูณสองสมการแรก จะได้
$$\frac{AD}{BD}=\frac{\cot(\angle RDC)}{\cot(\angle QDC)}\frac{\tan B}{\tan A}=\frac{\cot(\angle RDC)}{\cot(\angle QDC)}\frac{\dfrac{DC}{BD}}{\dfrac{DC}{AD}}$$
ซึ่งให้การเท่ากันที่ต้องการ

Geometry 1 (Projective)

ให้ $S=CD\cap QR, T=QR\cap AB$ จาก $CD,BR,AQ$ concurrent จะได้ $(S,T:Q,R)=-1$ แต่ $\angle SDT=90^{\circ}$ ซึ่งให้การแบ่งครึ่งมุมที่ต้องการ

Geometry 2.1 (Complex)

ใช้จำนวนเชิงซ้อน ให้ $a,b,c,p,m,q$ แทนจำนวนเชิงซ้อนที่สมนัยกับ $A,B,C,P,M,Q$ ตามลำดับ

จากรูป สังเกตว่า $A$ เกิดจากการหมุน $B$ รอบ $P$ ไป $90^{\circ}$ จะได้
$$(a-p)=i(b-p)\implies p=\frac{a-bi}{1-i}$$
ทำนองเดียวกัน จะได้ $q=\dfrac{b-ci}{1-i}$ และ $m=\dfrac{a+c}{2}$

ดังนั้น
$$\frac{p-m}{q-m}=\frac{2(a-bi)+(-1+i)(a+c)}{2(b-ci)+(-1+i)(a+c)}=\dfrac{a-2bi+(-1+i)c}{ai+2b+(-1-i)c}=-i$$
ซึ่งหมายความว่า $PM=QM$ และ $PM\perp QM$ ตามต้องการ

Geometry 2.2 (Complex)

ใช้จำนวนเชิงซ้อน ให้ $a,b,c,p,q,r,s$ แทนจำนวนเชิงซ้อนที่สมนัยกับ $A,B,C,P,Q,R,S$ ตามลำดับ

ทำนองเดียวกับ 2.1 จะได้ $p=\dfrac{a-bi}{1-i},q=\dfrac{b-ci}{1-i},r=\dfrac{c-di}{1-i},s=\dfrac{d-ai}{1-i}$

ดังนั้น $$\dfrac{p-r}{q-s}=\dfrac{a-bi-c+di}{ai+b-ci-d}=-i$$

ซึ่งหมายความว่า $PR=QS$ และ $PR\perp QS$ ตามต้องการ

Geometry 3.1

ให้สามเหลี่ยม orthic เป็น $\Delta DEF$ เมื่อ $AD,BE,CF$ เป็นส่วนสูง

สะท้อน $D$ ข้าม $AB,AC$ เป็น $D_1,D_2$ โดยการไล่มุมจะได้ $D_1,E,F,D_2$ colinear นั่นคือเส้นรอบรูปที่โจทย์บอกคือ $D_1D_2$

แต่ $AD_1=AD_2=AD$ เพราะฉะนั้นโดย triangle inequality จะได้ $D_1D_2<AD_1+AD_2=2AD$ ตามต้องการ

Geometry 3.2

ให้ $\Delta=[ABC],a=BC,b=CA,c=AB$

ทำนองเดียวกับข้อ 3.1 ไล่มุมเพิ่มเติม จะได้ $\angle D_1AD_2=2A$ ดังนั้น จะได้ว่า $D_1D_2=2AD\sin A=4\dfrac{\Delta\sin A}{a}=\dfrac{2\Delta}{R}$

ดังนั้น $\dfrac{D_1D_2}{a+b+c}=\dfrac{2\Delta}{R(a+b+c)}=\dfrac{r}{R}$ ตามต้องการ

Geometry 4

Second Lemoine Circle ไล่มุมครับ (ผมก็จำรายละเอียดไม่ได้แล้วเหมือนกันครับ)

Number Theory 1

กวน? ตอบ $p-1$ ใช้ Fermat, Wilson

Number Theory 2

หา $x,y,z$ ในรูป $m$ จะได้ $9x=10^{2m}-1,9y=10\cdot 10^m-1,9z=6\cdot 10^m-6$

เลือก $n=2\cdot 10^m+33$ จะได้ $$9(x+y+z+n)=10^{2m}-1+10\cdot 10^m-1+6\cdot 10^m-6+18\cdot 10^m+297=10^{2m}+34\cdot 10^m+289=(10^m+17)^2$$ ตามต้องการ

Number Theory 3

ขาไปชัดเจน ส่วนขากลับ ให้ $n$ เป็นจำนวนประกอบ ดู $\sigma(n)$ bound ตัวหารที่ไม่ใช่ 1 เป็น $n$ ให้หมด นั่นคือ $\sigma(n)<1+(n-1)\tau(n)$

แต่ $\phi(n)<n-1$ ดังนั้น $\phi(n)+\sigma(n)<n\tau(n)$ ตามต้องการ

Number Theory 4

เลือก prime $2nk$ ตัว $p_{i,j}$ เมื่อ $i\in\{1,2,...,2n\},j\in\{1,2,...,k\}$ ที่ไม่ซ้ำกัน

โดย CRT มีจำนวนนับ $M$ ที่ทำให้
$$M+i\equiv 0\pmod{p_{i,1}p_{i,2}...p_{i,k}}$$
สำหรับทุกๆ $i\in\{1,2,...,2n\}$ ดังนั้น $M+1,M+2,...,M+2n$ สอดคล้องกับโจทย์

Number Theory 5

Well known มาก ตอบ $p\equiv 1,2\pmod 4$ $p=2$ แยกออกไป พิจารณาเฉพาะ $2\nmid p$

ให้ $x$ เป็นคำตอบ จะได้
$$1\equiv x^{p-1}\equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}}\pmod p$$
ซึ่งให้ว่า $p\equiv 1\pmod 4$ ส่วนอีกขานึง พิจารณา
$$-1\equiv (p-1)!\equiv (1)(2)...\left(\frac{p-1}{2}\right)(-1)(-2)...\left(-\frac{p-1}{2}\right)\equiv (-1)^{p-1}{2}\left(\frac{p-1}{2}\right)!^2\equiv \left(\frac{p-1}{2}\right)!^2\pmod p$$
ซึ่งให้ผลตามต้องการ

[Panithi Vanasirikul]

ขอบคุณมากคับ

[Jashan337]

ผมอยากทราบวิธีคิดข้อ3 คอมบิครับ อยากรู้ว่าจะได้คำตอบตรงกันมั้ย

[Thgx0312555]

ขอซ่อนไว้ก่อนละกันเผื่อใครมีไอเดียอย่างอื่น

Combi3

ทำคล้ายๆฟังก์ชันก่อกำเนิด
คือพิจารณาว่าโอกาสที่จะหยิบได้สีแดงเป็นจำนวน $r$ เท่ากับ สปส ของ $x^r$ ในพหุนาม

$P(x)=\dfrac{(2+x)(4+x)\cdots (2n+x)}{3 \ast 5 \ast \cdots \ast (2n+1)}$

โอกาสที่จะหยิบได้สีแดงเป็นจำนวนคี่จึงเท่ากับ $\dfrac{P(1)-P(-1)}{2} = \dfrac{n}{2n+1}$

[Jashan337]

ขอวิธีการสร้างgenerating function แบบละเอียดได้มั้ยครับ

[Panithi Vanasirikul]

ขอเเนวความคิด ฟังก์ชั่นข้อ 5 หน่อยคับ

[กขฃคฅฆง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut

Number Theory 2

หา $x,y,z$ ในรูป $m$ จะได้ $9x=10^{2m}-1,9y=10\cdot 10^m-1,9z=6\cdot 10^m-6$

เลือก $n=2\cdot 10^m+33$ จะได้ $$9(x+y+z+n)=10^{2m}-1+10\cdot 10^m-1+6\cdot 10^m-6+18\cdot 10^m+297=10^{2m}+34\cdot 10^m+289=(10^m+17)^2$$ ตามต้องการ

n = 8 ก็ได้ครับ

[หัวหมาหางสิงโต]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กขฃคฅฆง

n = 8 ก็ได้ครับ

ใช่เลยครับ ผมเอา $x+y+z$ มาจัดรูปทางพีชคณิตแล้วสังเกตเห็นว่ามันเป็นกำลังสองสมบูรณ์ลบด้วย $8$


แต่คำตอบที่ผมได้ไม่น่าจะครบนะครับ อิอิ

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Jashan337

ขอวิธีการสร้างgenerating function แบบละเอียดได้มั้ยครับ

ผมก็ไม่ได้ทำตรงนี้มานานพอสมควรเหมือนกัน
แนะนำเว็บนี้ครับ http://imomath.com/index.php?options=353&lmm=1

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Panithi Vanasirikul

ขอเเนวความคิด ฟังก์ชั่นข้อ 5 หน่อยคับ

Function5 (Only Hint)

Idea ของมันคือพิสูจน์ว่าถ้า $\forall x \forall y, f(\dfrac{x+y}{2}) \le \dfrac{f(x)+f(y)}{2} - k \left| x-y \right|$ แล้ว $\forall x \forall y, f(\dfrac{x+y}{2}) \le \dfrac{f(x)+f(y)}{2} - ck \left| x-y \right|$

เมื่อ $c$ เป็นอะไรสักอย่างที่มากกว่า $1$
แล้วก็ทำไปเรื่อยๆเป็นอนันต์ครั้งก็จะขัดแย้ง

แต่แน่นอนว่าการเขียนถ้าจะให้ดูดี อาจจะต้องใช้ supremum, infremum มาช่วย เขียนให้รัดกุมอาจจะยากเล็กน้อยครับ

ส่วนวิธีพิสูจน์ข้อความดังกล่าวก็ไล่ไปเรื่อยๆน่ะแหละ ตามแบบฉบับทั่วไป

[tngngoapm]

พีชคณิตข้อ2 ........คิดว่าตอบ $P(2n+2)=\frac{2^{(2n+2)}-1}{2n+3} $นะครับ